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1、第八章相量法求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算.所谓相量法,就是电压、电流用相量表示,RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握：(1)正弦信号的相量表示；(2)KCL,KVL的相量表示；(3)RLC元件伏安关系式的相量形式；(4)复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.8-1将以下复数化为极坐标形式：(1)=-5-/；(2)F2=-4+/3;(3尸3=20+严；
2、3。=JO;R=;(6)吊=2.78+J9.2解：(1)Fl=5-f=aNoa=5)2+-5)2=52O=arctan=-135o-51因t在第三象限)故2的极坐标形式为4=5、：2/-135。(2) F=-4+j3=-4)2+3arctan(3,-4)=5/143.13.(一在第一、少224人一象限)(3) F3=20+J40=J2(h+4O2rctan(40/20)=44.72/63.43.4)7=IoJ=l90o=3=3/180.(6)Fe-2.78+/9.20=32.782+9.202rctan(9.20/2.78)=9.61/73.19.注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型
3、或指数型表示,即尸=QJjG=，它们相互转换的关系为：a,O=arctan一a=Ja2+(22aI2I和a-acosOa-asinQ需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到.的取值及实部一和虚部“2的正负.8-2将以下复数化为代数形式：(04=10273.；(2)月=15/112.6.；(s)F=1.2Z152osG)4=1090.；(5).=5/180.；勺=10T35.解：(1)=IOZ-73o=10Xcos(-73o)+jlXsin(-73o)=2.92-j9.56(2)尸二15Z112.6o=15cos112.6o+15sin112.6o=-5.76+)3.85(
4、3)F=1.2Z152o=1.2cosl52o+1.2sinl52o=-1.06+J0.56G)F=10Z-90o=-jl(5)F=5/-180.=-5(6)勺=10/135.=IOcos(-135o)+10sin(-135o)=-7.07-j-7.0783假设10。/0.+AN600=175Nep.求人和平.解：原式=1+Acos60.+jsin60o=175cos(p+j-175sin(p根据复数相等的定义,应有实部和实部相等,即Acos60O+100=175cos(p虚部和虚部相等Asin60.二175Sin把以上两式相加,得等式2+100A-20625=0,-10071002+4x20
5、625102.07解得2-202.069所以,A sin 60sin 甲二一175二30. 34.102.07 X 2_: 0.5051758-4求8T题中的F2布和FF.解：X 用=(-4 + 3) X (2. 78+ 力，20) = 5/143. 13.* 9. 61/73. 19.=48.05/216.32.=48.05/-143.68.=0.52/69.94.-4-5/143.13.2=2.78+J9.209.61/73.19.8-5求8-2题中的Fl的和J&解E+F5=1()/-73.+5/-180.二IOcos(-73.)+jlsin(-73.)-5=-2.08-.56=9.78/
6、-102.27.FF=锄-7=2/-73,+180.=2/107.155/-180.8-6假设.力=-5cos(314/+60.)4=10sin(314/+60.)4=4cos(314+60.)43(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图；力与和力与人的相位差；(3)绘出Z的波形图；(4)假设将表达式中的负号去掉将意味着什么(5)求力的周期7和频率E解：(1)(=-5cos(314/+60.)=5cos(314/+60,-180.)=5cos(314/-120.)i=10sin(3147+60.)=10cos(314/-30.)故(,2；和人的相量表达式为戌二2Z-120”,戌=-ZTO-
7、曲目612,Z;1212二一二T200-60,二一180oi3i3(3)力(t)的波形图见题解图(b)所示.(4)假设将Z(t)中的负号去掉,意味着力的初相位超前了180。.即力的参考方向反向.(5)(t)的周期和频率分别为2兀2兀T=一=0.02s=20ms33141=50Hz0.02注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在比拟相位差时,两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数，即都是正弦或都是余弦；(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.8-7假设两个同频正弦电压的相量分别为IJ=50/30。/,=TOoZT50。匕其频率f=100%.求：(1)写出U/
8、,3的时域形式；(2)/与比的相位差.(1)Ui(t)=50姮CoS(2兀立+30.)=50V2cos(6287+30o)VUi(t)=-1002cos(2Kft-150.)=1002cos(628/-150.=180.；V=W0v2cos(6287+30.；V(2)由于=50/30V,U=-100/-150.V：10030V30300故相位差为二.二.,即小与S同相位.88Ui(=22072cos(314-120o)VUi(t)=2202cos(3147+30.)V(I)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率/和周期T;(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；解：(1)波形如
9、题解88图(a)所示.%(0-U2(L)产题解88图U=U-220Ku频率(3)如果把电压S的参考方向反向,重新答复(1),(2).有效值为314=0.02s周期if 50（2）“和2的相量形式为U=220/-120.VU=220Z30.V12,、，_八A120301故相位差为5QQ二.二so.相量图见题解图（b）所示.（3）法的参考方向反向,2（t）变为一2（t）,有效值、频率和周期均不变,一U2的相量为吟=220Z30-180.=200Z-150.V,12015030故匕和彳的相位差为5=QQ=.（J=.波形图和向量图见题解图（a）和（b）.8-9一段电路的电压、电流为：u=IOsindO
10、?/-20.）Vi=2cos(l3-50.)/（1）画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差.t10sin(10320解：=t -.)=IOcos(103110),1.故U和i的相量分别为咫二 Z-50.A2回段/T10/2其波形和相量图见题解图（a）和图（b）相位差W=QgJ10题解8-9图5。）=60,说明电压落后于电流6（）.8-10图示三个电压源的电压分别为:U=22012cos(t+IOJV,Ub=220cos(t-IlOJV,u=220J,2cos（t+130.）V,求：（1）3个电压的和；（2）Zf；（3）画出它们的相量图.题解8-10图解：匕，,%的相量为U=220Z1
11、0.VaU=220/110.VbU=220Z130.VC(1)应用相量法有或+或+U=220Z10.+220Z110.+220Z130.(0即三个电压的和，)+心)+心)=,Pr段t/=ZZUZlU.-ZZU/-11U.ab州=2203Z40.VU二曲F=220/Tlo.-220Z130.bcbc二220c3-80.V（3）相量图如题解8-10图所示.题解8-10图8-11图(a)中电压表读数为匕：Q.Z60r；图/)中的：100r2,w,r;与,0(电压表的读数为正弦电压的有效值.)求图中电压。题8-11图解法一:(a)图：设回路中电流隹0.,根据元件的电压、电流相量关系,可得题8-11图U
12、=Rr=Rlh=30/0.VR或二口恒XZ/90.=60/90.Vlll那么总电压火=U+色=3+J60v6026708所以的有效值为，S=瓷02+=-丫(b)图：设回路中电流相量匡7/Q4由于IfRr=RIO=15/0.VR港=J*恒XZ/90.=80/90.V1.LL兀件相量关系有效值关系位关系相量图电阻RU二R仪RRifUr=RIr二-j才匡才立-90cm=4.=100Z-90oFccc寸2，良6FrIIrr/ra,1580100._1520所以总电压US=队IhU=+j-j=-j3220225故外的有效值为%二-门+二解法二：利用相量图求解.设电流隹广。为参考相量，电阻电压加与1同相位
13、，电感电压叫超前戌90.,电容电压要滞后戌90.,总电压与各元L件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图（a）和（b）为对应原图（a）和（b）的相量图.由题解图（a）可得US=U+U2=(302+602=67.08V由题解图（b）可得Us=4UR+(UC-Ul”=152+(100-80)2：258V题解811图注：这一题的求解说明，R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.电感L改二jX投LLLUL=jXF0=0.+90Oji卜电容CU=-jx戌CCCUC=XCk0=0.90o8-12图示正弦电流电路中，电流表
14、的读数分别为A：5A；4：2A；A：求：(1)图中电流表A的读数；(2)如果维持，的读数不变,而把电源的频率提升一倍,再求电流表A的读数.题812图解法一:。并联,设元件的电压为根据元件电压、电流的相量关系,可得戌二曾二”二5Z0oJRRRz-Z-90o=20A1.jXl乂乙戌=U=fZ90o=25Z90O=J25Ac-JXcXcJ应用KLC的相量形式,总电流相量为恒戌+戌+戌=5-/20+725=5+/5=5%；2Z45ARLC故总电流表的读数=52590.=50/90.A是戌+戌+戌=5JlO+J50=5题解812图解法二：利用相量图求解.设隹0/.二专=4=啤为参考向量,根据元件电压、电
15、流的相位关系知,耳和港同相位,与超前90.,号滞后幽0.,相量图如题解8-12图所示,总电流龙与岑,丹和耳组成一个直角三角形.故电流表的读数为即(1)=2+(25-20=7.07A(2)=,52+(25-10)2=40.3IA注：从811题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系,最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对串联电路,选电流作参考方向较方便,如8-11题.对并联电路,那么选电压作参考相量较方便,如8-12
16、题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.8-13对RL串联电路作如下两次测量：（1）端口加90V直流电压（二。）时，50输入电流为3A；（2）端口加f=处的正弦电压90V时,输入电流为.求和上的值.题解813图解：由题意画电路如题解813图所示.（1）当“为90V直流电压时，电感L看作短路,那么电阻R=彳93O=aoQ（2）当a为90V交流电压时,设电流隹/.=L8/0.4,根据相量法,U=RNM是30X1.8+JXX1.8U=90=1.8X32+X2SL:90X=.（）2302=40Q,1Q40根据”2对100兀一8-14某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时,它可能是什么元
17、件u= IOCoS(Io2+45 JP i =2Sin(Io2+135. )4Ju= IOsin(IOO)K (2) I I=2COS(IOOz)ZJu-IOcos2Vi=u-10cos(3142+45.) Ki =2cos(3142/,.2cos(1013590、2cos(1045和了的相量为国山/45W2U , *二50.在即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5的电阻元件.a -cos(10090 )把电压变为余弦形式有“二 一，.103 -0 /45.和，的相量为 V2或L 2隹一/0.A 2下二 545= 1 + 7) = ? + jX10cs(103)及斤和j二
18、串联组成.电感端电压的有 效值为25V.求火值和电流的表达式.解：由题意画电路的相量模型如题解8-15图所示,相量图如题解图 (b)所示.由于毋100小段=/0.S 2、/ 二人二 103 义 0.025 =25.解：(1)把电流变为余弦形式有/=2+.)=2+.)，,25-iA由图(b)知电阻电压的有效值为1100U-UizUi-1()2252=66.144KR飞SL1、266.144=66.144Q所以电阻为1滞后的角度(由于是感性电路)为U225=arcsin-L-arcsin-=20.70./1002s因此电流的瞬时表达式为/()=2cos(10s/-20.70.)A100是一一二理=1/-20.70.A也可根据RjXL66.144+/25(t)=2cos(l3/-20.70.)J8-16图示电路/8二叱求胸口U.解：设及为参考相量.4与同相位,超前90.,相量图如题解8-题解8-16图题解8-16图I=V,72+12=.；IO2+102：102A*12甲-arctanL-arctan1=45.ZII由电路图知Us=7=10义10=100K故和/分别为U=100Z0,VS缸Z=IO应/45.A8-17图示电路中I=2/0.：求电压U解：岑,耳*4=火UI=-IL-=铲;一=2Z45oV.,lv2Z-45oI即J
