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1、立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用
2、球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径.【常用结论】接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为db1C1外接球的半径为R则2R=炳庐信.）,秒杀公式：R2=-J可求出球的半径从而解决问题.有以外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等2-2-72于长方体的体对角线长，即2R=2+从+C?（长方体的长、宽、高分别为纵b、c）.秒杀公式：K?=O（三棱锥的三组对棱长分别为X、八Z）.可求
3、出球的半径从而解决问题.接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是ABC的外心Oi与AiBiC1的外心。2连线的中点，算出小圆Oi的半径AOl=r,00=-i2=r2+.24新接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心。的位置是CBD的外心Oi与4人良5的外心。2连线的中点，算出小圆Oi
4、的半径A0=r,00=AhC朝接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面48UL平面8CD,如类型I,AABC与ABCO都是直角三角形，类型II,ZiABC是等边三角形，ABCD是直角三角形，类型山，AABC与ABCO都是等边三角形，解决方法是分别过AABC与C。的外心作该三角形所在平面的垂线，交点。即为球心.类型W,ZkABC与48CQ都一般三角形，解决方法是过8CZ）的外心Oi作该三角形所在平面的垂线,用代数方法即可解决问题.设三棱锥ABCD的高为儿外接球的半径为R,2=r2+w2,球心为0.BCD的外心为Oi,Oi到BD的距离为d,O与。I的距离为
5、m,则Jy,lzf、，解得R.可R-=d-（h-m内切球思路：以三棱锥PABC为例，求其内切球的半径.方法：等体积法，三棱锥尸一ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；3 VP-八 8C第三步：解出=3V第二步：设内切球的半径为，球心为0,建立等式：Vp-ABC=Vo-ABC-Vo-Vo-PAC-V-PBCP-ABC=So-So-PAB+So-CSo-PBC二、题型精讲精练【典例1（2023浙江高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36万的球面上，则该正四面体的棱长是.【答案】26【解析】如图所示：因为正四面体内接于
6、球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为ABCD-AMGA,则正四面体为A-CBQ,设球的半径为凡则4万/?2=36乃，解得R=3,所以AG=6则正方体的棱长为2右，所以正四面体的棱长为鹤=26,故答案为：2指【典例2】（2023河南开封高中校考模拟预测）已知四面体ABC。中，AB=CD=亦,AC=BD=后,AD=BC=如,则四面体ABCD外接球的体积为（）A.45B.3叵C.竺叵D.24522【答案】C【解析】设四面体ABCQ的外接球的半径为R,则四面体ABCQ在一个长宽高为出加C的长方体中，如图，a2+b2=20, /+不=29,故R a2 +c2 =41,ya2 +b2 +c2 745故
7、四面体ABCD外接球的体积为V=-泅3=S如画=逛,3382故选：C【典例3】（2023黑龙江齐齐哈尔,高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱48C-AqG的所有顶点都在一个表面积是40乃的球面上，且AB=AC=A41,NBAC=I20,则此直三棱柱的表面积是（）A.!6+83B.8+123C.8+l63D.16+123【答案】D【解析】设AB=AC=AA1=2切，因为8AC=120,所以ZACB=30.于是粤7=2厂（，是JWC外接圆的半径），=2怙sn30又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA的一半，所以球的半径为y（2m）2+n2=岛.所以球的表面积为4兀（百”=40,解得=因
8、此AB=AC=AA1=2&,8C=2#.于是直三棱柱的表面积是22222+2622+2i2222sinl20=I6+I23.【典例4】（2023安徽宣城高三统考期末）在三棱锥P-ABC中，ABC是边长为3的等边三角形，侧棱%_L平面A8C,且抬=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为.【答案】28【解析】根据已知，底面.ABC是边长为3的等边三角形，PAjL平面AB（I可得此三棱锥外接球，即以一ABC为底面以外为高的正三棱柱的外接球.设正三棱柱的上下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心。为MN的中点，一ABC的外接圆半径为r=AN=233=J,d=ON=gpA=2,322所以球的半径为R=O
9、A=Jy+/=近,所以四面体P-ABC外接球的表面积为S=4?2=28,故答案为：28.【典例5】（2023四川乐山高三期末）已知正AABC边长为1,将以BC绕BC旋转至ADBC,使得平面ABCl平面BCD,则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.【答窠】【解析】如图，取BC中点G,连接AG,DG,则AG_LBC,DGLBC9分别取一ABC与一OBC的外心瓦/分别过E/作平面ABC与平面OBC的垂线，相交于O,则。为四面体A-Ba）的球心，由AB=AC=OB=OC=BC=1,所以正方形。皿的边长为*邛，则。G=择时邛,所以四面体A-58的外接球的半径R=JoG2+商=J圉+0j=股,球。的表面积为
10、4冗故答案为:【典例6】（2023山东滨州高三校考期中）已知正四棱锥P-A8的底面边长为3正，侧棱长为6,则该四棱锥的外接球的体积为.【答案】32后【解析】如图，Pa是正四棱锥P-AeCQ的高，而A8=3,E4=6,则4=丝=正竺=3,PO1=yjPA2-AO;=33,显然正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在直线Pa上，令PO=AO=R,则Oa=I3-R,在RtZXAQO中，R2=AO1=A+0（=32+（33-R）2,解得R=2J,所以该四棱锥的外接球体积为V=gN=g（26）3=32扃.故答案为：32后【典例7（2023高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）A.典B.叵C.N
11、D.近8126216【答案】D【解析】将棱长为1的正四面体ABCD补成正方体AECr-G8”。，则该正方体的棱长为也,2D设正四面体ABC。的内切球半径为，正四面体A88每个面的面积均为且xF=走,44由等体积法可得%=*=；代诋+S*+S,+SABCD）=争，解得“将因此，该正四面体的内切球的体积为V=g（噂=条兀.故选：D.【题型训练I-刷真题】一、单选题1. （2022全国统考高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为次8和4L其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.l（X）B.128C.144D.192【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小弓，
12、再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小与，所以叵,2与=必即4=3科=4,设球心sin60sin60到上下底面的距离分别为44,球的半径为/?,所以4=刷石，4=/二记，故|4-4|=1或4+&2=1,即|病万一笈一16卜1或病万+痛无=,解得a=25符合题意，所以球的表面积为5=4？2=100.2. （2022全国统考高考真题）己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.-B.；C.BD.也3232【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥
13、的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2/,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】方法一:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为。，则邑”/）=LAC8OsinLAC6wL2r2r=2,八”ttk,u222（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2户又设四棱锥的高为力，则/+川=/,*/JJW）乙9当且仅当/=2/r即邛时等号成立.故选：CI
14、方法二：统一变量+基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为L贝b=也,2所以该四棱锥的高力=F（2223V=L2jZZ=*色工工F，必=逑3V23V442333,327（当且仅当9=1-即=g时，等号成立）所以该四棱锥的体积最大时，其高,?=后=R=岑.故选：C.方法三:利用导数求最值由题意可知当四棱锥为正四棱锥时其体积最大设底面边长为底面所在圆的半径为，则，二v = 设/(/) = 一则所以该四棱锥的高=Fv=r2f令a2=t(0t2),Or09单调递增，r2,f,（r）0,当2#Y3有时，V,C=-2-=,323而OM=-BM=-2y2-=
15、-.MD=-AC=y2,33232贝!1OD=JMD2+MO?=A=半，即。A=OB=OC=。，即O点即为三棱锥A-88外接球的球心，故外接球半径为R=半，所以外接球表面积为S=4R2=,故选：B【点睛】关键点睛，解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的位置，进而求得半径.6. （2023秋江苏南通高三统考开学考试）已知ABC是边长为4的等边三角形，将它沿中线AO折起得四面体A-BCD,使得此时BC=2J,则四面体A-BC。的外接球表面积为（）A.16B.18C.21D.28【答案】D【分析】根据题意可得A。_L平面BCQ,将四面体A-88转化为直三棱柱AEF
16、-BCZ）,四面体A-BCQ的外接球即为直三棱柱诋-88的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.【详解】因为为等边三角形，且为中线，则AOlBC,即AO_L8,AD_LDC,且BODC=D,BD,DCYfflBCD,可得AO_L平面5CQ,设ABCD的外接圆圆心为O1,半径为L因为BD = 8 = 2,8C = 2J,由余弦定理可得COSNBoC =BD1+CD2-BC22BD CD4 + 4-12_ 1 222 29且N8DC（0,兀），贝!N4OC = T，所以,=BC2sin NBDC=2,将四面体A-BC。转化为宜三棱柱AEF-BCD,四面体A-BCO的外接球即为宜三棱柱AEF-BC
17、D的外设四面体4-BCQ的外接球的球心为。，半径为R,贝!O0=Ja8=,贝R2=0q2+/=7,所以四面体A-BCD的外接球表面积为4兀店=28兀.故选：D.7. （2023山西吕梁统考二模）在三棱锥尸-ABC中，已知PA，底面ABC,CA=CB=PA=I,ACJ.BC,则三棱锥尸-ABC外接球的体积为（）A.16B.43C.48D.123【答案】B【分析】设A4中点O,PA中点。，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知?A,所以OOj_底面ABC,则。为三棱锥P-ABC外接球的球心，可解.【详解】设AB中点。，r中点。，由GA=CB=2,AClBCt所以.,AC的外接圆直径2r=AB=
18、2,且圆心为O由于尸A_L底面ABC,OO,PA,所以0O_L底面ABC,则。为三棱锥P-ABC外接球的球心,所以外接球的直径2R=PB=26,所以外接球的体积V=g兀W=43.故选：B8. (2023四川成都校联考二模)在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2戈，AC=4,NABC=90,平面4C_L平面ABC,若三棱锥P-MC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为()A.23B.3C.25D.4【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心。点在Pa上，再利用勾股定理求解即可.取AC的中点为。I,连接P。，因为PA=PC=2#,AC=4,所以Pa_LAC,AOl=AC=2f29所以Pa
19、=yPA2-AOf=(26)2-(22)2=4,又因为平面PACJ_平面ABC,平面尸Ae平面ABC=4C,所以Pa_L平面A8C,又ABC=90,则球心O在直线P。上，连接OA,设球。的半径为火，则O4=OP=R,即有14-M+Q0y=相,得看=3,故选：B9. （2023秋陕西西安高三校联考开学考试）在三棱锥尸-ABC中，一ABC是边长为3的等边三角形，侧棱尸AJ_平面ABC,且PA=2石，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）A.32B.28C.26D.24【答案】A【分析】应用补体法，将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题，找到球心，求解半径即可.【详解】由底面ABC是边长为3的等
20、边三角形，E4_L平面ABC,可得此三棱雉的外接球即以.ABC为底面，以为高的正三棱柱的外接球.设正三棱柱的上、下底面的中心分别为M,N9则外接球的球心O为MN的中点,一ABC外接圆的半径r=4N=gx*x3=G,球心到下底面的距离d=ON=;PA=小,所以球的半径R=OA=J尸+/=2五，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4?2=32.10. （2023春四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥P-ABCQ的体积是36L底面ABCO是正方形，AQ钻是等边三角形，平面的_L平面A88,则四棱锥P-ABCO外接球表面积为（）A.89兀B.88C.84D.81【答案】C【分析】
21、过尸点作尸ELAB于E,则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.设正方形ABCO的边长为2%,在等边三角形PAB中，过尸点作尸E_LAB于E,由于平面PAB_L平面ABCD,PE_L平面ABCD.由于B是等边三角形，则PE=5,VP-ABCD=2SAm）PE=3（2x6=36万，解得X=3.设四棱锥外接球的半径为R,。1为正方形ABCD中心，2为等边三角形PAB中心，o为四棱锥P-ABCD外接球球心，则易知OaEa为矩形，则OQ=Ea=1aD=x=3,PO2=PE=I33=23,R=OP=Qo0；+P=J9+I2=T,外接球表面积S
22、=4（0T）2=84.故选：C.11. （2023江西南昌南昌市八一中学校考三模）己知四棱锥P-ABCD的底面ABa）是矩形，高为0,AD=2瓜,AB=2,ABtPD,PA=PD,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（）256A.12yB.48yC.36D.-y-【答案】C【分析】作出辅助线，求出平面尸Ao外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的表面积.【详解】如图，在矩形ABCQ中，连接对角线AC8。，记ACC8。=尸，则点尸为矩形ABC。的外接圆圆心，取AO的中点E,连接记D的外接圆圆心为G,易知瓦7448,杆=；48=1,尸七_14。，且尸,26共线.因为AB工PD,A
23、BtAD,ADcPD=D,A。,PDU平面幺。，所以平面抬。,所以EFl平面尸A。，PEU平面EU）,EFYPE,EFAD=EtEEAoU平面ABC0,所以尸Ej_平面ABCZ）,所以PE=0,所以PA=PD=个心丫+（&丫=2,易得NAPD=120,）所以由正弦定理得尔的外接圆半径为=即GP=2&.2snAPD过G作GOj平面PAD,RGO=EF=It连接F0,由GO_L平面尸A。，可知GQ尸，则四边形EFoG为矩形，所以F01PG,JMFO!平面ABCzX根据球的性质，可得点。为四棱锥P-ABC。的外接球的球心，因为PO=JPG2+OG?=8+T=3，所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积
24、为432=36.故选：C12. （2023秋陕西西安高三校联考开学考试）已知在三棱锥P-ABC中，PA+BC=4,ABlACf24_1_平面ABC,则三棱锥P-ABC的外接球表面积的最小值为（）A.兀B.4C.8D.12【答案】C【分析】通过补形的方法，求得外接球半径的表达式，结合二次函数的性质求得半径的最小值，进而求得外接球表面积的最小值.【详解】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示，设点O,R为上下底面的外心，则DA分别是3C,4G的中点，点。为宜棱柱的外接球的球心，则。为。A的中点，A。为底面外接圆的半径，设=X,BC=4-xt当乘=2时，R有最小值为应，此时球。的表面积为：4（2）2=8.故
25、选：CC1B【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径.方法有直接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径.13. （2023秋湖南衡阳高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球。内接三棱锥A-BCO,AC_L平面BCBDLCD.若BD=I,球。表面积为9兀.则三棱锥A-BCO体积最大值为（）A.1B.；C.D.一322【答案】B【分析】利用线面垂直的性质有ACXBC,AC-LBDt根据线面垂直的判定得80/面ACO,进而易得ABC-AOB都为宜角三角形，找到
26、外接球的球心为AB的中点。，根据已知求球体半径，结合%.A8XSAs和基本不等式求体积最大值【详解】由AC_L平面6C。，BC,BDu面BCD,则AC上BC,AClBDt又BgCD,ACCD=CtACCDu面ACz）,所以5。1面ACD,由Af）U面AC。，故BDLAD,所以,A8C,4）8都为直角三角形，且AB为它们的斜边，所以A6的中点。为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径R=QA=QB=OC=OD,1I由4R2=9,则 R = 7，即 A8=3,而/_礼。=； BOxS:XBoXACXCO,236又BD = L BD2+ CD2+ AC2 = AB2t 即C。? + AC? =82C0
27、AC,故CDAC4,仅当AC = CD = 2取等号，所以（/e）1三=故选：B14.（2023秋四川成都高三树德中学校考开学考试）己知四面体ABCD满足48=CO=J，4。=BC=6，R4C=8D=2,且该四面体ABCQ的外接球的球半径为R,四面体的内切球的球半径为&，则子的值是（）A.511B.yV11C./6D./6【答案】A【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即可得结果.【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为6,I1,所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径心守邛,由题意,四面体的四个侧面均为全等三角形喘丁苦邛,
28、WD为三角形内角，所以SinzA8。=3,则SAB。=J2x3=边6262又VA-BCD=6义V2X1-4XWX-3X3X,V2X1=9且A-BCD=QXR2、4xSABD所以JH,4巫=如，即6=半，3,23211综上，卷=而.K2故选：AJT15. （2023河南开封统考三模）在三棱锥P-ABC中，PA=AB,%_L平面ABaZABC=-,AB+BC=6,则三棱锥尸-Aee外接球体积的最小值为（）A. 86B. 166C. 246D. 326【答案】A【分析】将三棱锥P-ABC可以补成长方体，从而得到PC为三棱锥尸-ABC的外接球的直径，要想体积最小，则PC最小即可，设A8=x,表达出IP
29、CI=J3(x-2)2+24,从而得到IPqnM=2,进而求出外接球体积的最小值.【详解】根据题意三棱锥P-ABC可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的对角线，则三棱锥P-ABC的外接球球心即为尸C的中点，要使三棱锥P-AeC的外接球的体积最小，则PC最小.设AB=X,贝!)4=,BC=6-x9PC=JAB2+PA2+BC2=y3(x-2)2+24,所以当=2时，IPqmin=2指，则有三棱锥尸-ABC的外接球的球半径最小为近，4L所以匕in=兀*=8倔.故选：A16. (2023河南统考三模)如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为,它的
30、内切球的体积为则卜：匕=()【答案】D【分析】轴截面四边形PB的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解.【详解】如图，四边形RAPB为该几何体的轴截面，则四边形尸A尸8的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为L由OP=OA=1,得2贝IIK=2=叵，233V.=2-l2l=,1 33所以MM=TLl故选：D.17. （2023福建宁德校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（）A.3B,33C.2（痒OD,GM33【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为2+Ej,表示出圆锥的体
31、积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切圆的半径.【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为2+73,所以圆锥的体积V=lr2(2+437),令1=“-产(0r2),贝!|，=4-/，所以VQ)=g(4产)(2+)=gM3.2z2+4f+8),则v,(t)=(-3r2-4r+4)=-(+2)(3r-2),当0f0,当(，2时，r(r)0,所以VG)在园上递增，在(|,2)上递减，所以当即厂=平时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为g,母线长为/=J乎+(Ij=半,设圆锥的内切球半径为R,圆锥的截面如图所示，贝I
32、lAD=B,AC=亚,OC=逑，AO=-RtOD=OE=R,3333l_R因为AEsA。,所以老嘿金二金，解得R=1,故选：D【点睛】关键点点睛，此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.18. (2023全国高三专题练习)已知四棱锥P-ABCQ的各棱长均为2,则其内切球表面积为()PA.(8-23)B.(8-43)C.(8-6)D.(8-33)【答案】B【分析】求出四棱锥的表面积和体积，利用等体积法即可求出内切圆半径，从而得解.【详解】因为四棱锥的各棱长均为2,所以四棱锥P-ABCO是正四
33、棱锥，则SAzO)=2x2=4,S表面积=4+4过P作底面垂线，垂足为H,则PH=,故其内切圆表面积为4=(8-43),故选：B.19. (2023全国高三专题练习)若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为()A.33lB.5:1C.55:1D.6:1【答案】C【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外接球的半径，进而由体积公式求解即可.【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径，则内切球的半径入=好,正三棱柱的高=2%=半。.设正三角形的外接圆半径为R,易得R二条所以它的外
34、接球与内切球体积之比为（坐Md=55l.故选：c20. （2023湖北统考二模）已知直三棱柱ABC-A4G存在内切球，若A8=3,8C=4,A8_LBC,则该三棱柱外接球的表面积为（）A.26B.27C.28D.29【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.【详解】因为AB=3,8C=4,A8_LBC,故AC=5,故RtZXABA的内切圆的半径为A+：A。=1.因为直三棱柱A8C-AMG存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为b故直三棱柱的高为2.将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为I 22+32 +42 =29,故外接球的的表面积为
