《第03讲5.3.1函数的单调性（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲5.3.1函数的单调性（解析版）.docx（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导，若/()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数；若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数；若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意：讨论函
2、数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/(x)的图象，则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A：当-3xv0时，(x)0,则/(x)在(-3,0)上单调递
3、减，故A正确；对于选项B：当lx0；当2x4时，,(x)0:则/(力在(1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故B错误；对于选项C当0x2时，/0,则%)在(0,2)上单调递增，故C错误;对于选项D：当3x4时，/(x)o,解不等式，求单调增区间令r)0(或/(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/(X)=I-L由r()=jLo有：x已知函数/(X)在区间。
4、上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/(x)0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间3xD使得f,(x)0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/(X)0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增，则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增，所以当x0,+)时，/(
5、x)=e+O恒成立，即-e*在。,+8)恒成立，又(YX)=-1,所以07./max故答案为：-1,+）【即学即练4】（2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习）已知函数/（X）=InX-存在单调递减区间，则实数。的取值范围是.【答案】信，+【详解】函数/。）=】政-3及-工的定义域为（，+功，求导得/（X）-如-1,依题意，不等式/（x）0在（0,+e）上有解，等价于在（0,+e）上有解，而4-L=（1-IT-J当且仅当=2时取等号，则。一，X2XU2；444所以实数a的取值范围是（-：,内）.故答案为：.知识点04：含参问题讨论单调性第一步：求，=（x）的定义域第二步：求/（X）（导函数
6、中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为g（）对于y=（）进行求导得到/（X），对/（X）初步处理（如通分），提出/）的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为了（X）的有效部分（如：/0=珑，-广+2）,则记8（不）=/一+2为/口）的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了（X）的正负.第四步：确定导函数有效部分g（）的类型：g（）为一次型（或可化为一次型）g（）为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论歹=（）的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】（2022下湖北高二统考期末）函数/（x）=；/-Mx的单调递减区间为（）A.（-1,1）B.
7、（0,1）C.（l,+）D.（,+oo）【答案】B【详解】解：因为/（x）=；r-nx,所以/，LG)(+),XX令,()0,得Oxl,所以x)的单调递减区间为(0,1)，故选：B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0，【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()o,解得ox0,x-,因此/&)的增区间是(士+，ce因此ABD正确，C错误.故选：ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/(X)的图象如图，则下列结论正确的是
8、()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知，当x(T2)U(4,5)时，/(力0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增，故C正确；当2x4时，(x)0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减，-3x-lW,0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，故A、B、D错误；故选：C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/(X)是函数/(x)的导函数，V=(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【
9、详解】由导函数的图象可得当x0,函数/(切单调递增；当0vx2时，,(x)2时,/钢0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y=()(eR)的导函数/()的图像如图所示，则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知：当XV-2时，/(x)O,(x)单调递减，当一2x3时，f(x)OJ(x)单调递增；故选：D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导，y=(x)的图象如图所示，则
10、其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知，/(X)在(y,o)上为单调递减函数，故w(-oo,0)时,Ir(X)0,故排除A,c；%(o,+)时，函数/()的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f(%)的值是先正,再负，最后是正，因此排除B,故选：D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调，求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数，则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数，则/(x)=2-hu-0在(0,+3)上恒成立，X即2a
11、lav+在(0,+8)上恒成立，X设g(x)=lnx+l+2,则g，(X)=J_=j2,XXxx当x(0,2)时，g(x)0,函数g(x)单调递增，可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为：l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设01且；，若函数/(x)=bg.X+lx在(0,+功上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知：/(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0。；时，Ina0,In2a0,所以/(x)O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减；当;vl时，ln40,要使/(
12、x)0,则ln+ln20,整理得InQ所以0,解得2_也.故答案为：TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性，则。的取值范围是()A. (2,+,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时，x)0恒成立，得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng，(X)=I_=!,XXXXX当xl时,g(x)O,g(x)单调递增，当OX1时，g(x)l时,g(x)O,g(x)单调递增，当OX1时，g(x)O,g(H单调递减，所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数，不
13、等式r()o不能恒成立，综上所述，的取值范围是(-8,2,故选：C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增，则X实数的取值范围是.【答案】a2【详解】由y=lnx+g得V=L二，XXx由于函数=111%+4在2,+8）上单调递增，故旷=_1_二20在e2,+8）上恒成立，XXX因此在x对任意的xw2,+e）恒成立，所以2,故答案为：a0）,由题意八x）0在（L2）上有解，即/Wx+-在（1,2）上有解，2x根据对勾函数的性质可知，y=x+（在（1,2）上单调递增，所以在=2时取最大值，故册o,即.-2X有解，令g(x)=f-2x,g()=
14、(-l)2-l-l,.当X=I时，g(x)min=-1,.4-l即可.故答案为：(-1,+8)【变式1(2023下广西高二校联考期中)若函数/(x)=F-；a/+x在1,3存在单调递减区间，则。的取值范围为.【答案】。4【详解】fx)=3x2-ax+t等价于/(x)0在口,3有解，即3fj+l3x+J在1,3有解，所以卜x+j,令g(x)=3x+g,xl,3,则(3=3-=专匚0，即8(可在1,3上是增函数，.g(x)min=g=4,所以a4.故答案为：a4.题型05已知函数/()在的单调区间为(是)D9求参数【典例11(2023下高二课时练习)已知函数/(x)=mj+3(1*-w2+l(m0
15、)的单调递减区间是(0,4),则加=.【答案】；【详解】f,(x)=3mx2+6(m-)x,因为函数/(x)单调递减区间是(0,4),w0所以J(O)=O,解得加=；,(4)=48w+24(w-l)=0则/(x)=f4x,令/(x)=2-4v,得04,所以函数/(x)单调递减区间是(0,4),所以小=；.故答案为：.题型06已知函数/()在区间。上不单调，求参数【典例1】(2023下湖北高二校联考阶段练习)若函数/(x)=22-InX在其定义域的一个子区间(2上-1,2%+1)内不是单调函数，则实数攵的取值范围是()AMBKC同【答案】A【详解】因为函数的定义域为(0,+8),所以2I0,即左
16、弓，XXX令/(X)=O,得X=；或X=-：(舍去)，因为/S)在定义域的一个子区间(2人-1,2%+1)内不是单调函数,113所以2左一1一2片+1,得一一k-,244综上，-ky故选：A【典例2(2022上河南高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=+(x-l)e在区间,3上不是单调函数,则实数。的取值范围是()_e(e_A，46)Bk4,i6jC-36,-16jD，厂可【答案】A【详解】因为/(X)=奴4+(W在区间1,3上不是单调函数，所以r(x)=4=0在区间(1,3)上有解，即-4a=S在区间(1,3)上有解.令g(x)=y,则g,(x)=(；).当x(l,2)时，g,(x)O.故g
17、(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单.调递增.又因为g=e,g(2)=今g(3)=ee，且当Q=-J时，fx)T+Xx=X3f-y-0,1641x4J所以/(x)在区间1,3上单调递增，所以-4ave,解得4e16故选：A【变式1(2022全国高二专题练习)已知函数g(x)=*j2+2x+l.若g(x)在(-2,-1)内不单调，则实数的取值范围是.【答案】(T-2)【详解】由g(x)=g3-+2x+l,得g(x)=/一衣+2,当g(x)在(-2,-1)内为减函数时,则g(x)=2-q+20在(-2,T)内恒成立，所以x+4在内恒成立，X当g(x)在(-2,-1)内为增函数时，则g(x
18、)=Y+20在(-2,T)内恒成立，7z所以x+j在(-2,-1)内恒成立，令y=x+j,因为y=x+；在(-2,-I)内单调递增，在(-应,-1)内单调递减，所以y=x+：在(一2,-1)内的值域为卜3,2&,所以-3或q-2,所以函数g(x)在(-2,7)内单调时，夕的取值范围是(YO,-3卜卜2+oo),故g(x)在(-2,-1)上不单调时，实数a的取值范围是卜3,-2&).故答案为：卜3,-2&).【变式2(2022下福建漳州高二福建省漳州第一中学校考阶段练习)若函数/(x)=y-+4x+l在区间(1,4)上不单调，则实数。的取值范围是.【答案】(4,5)【详解】解：:函数/(x)=A
19、-1f+4x+l,/./Cr)=/一0+4,若函数/W在区间(1,4)上不单调，则/(%)=/ax+4=o在(1,4)上存:在变号零点，4由2-q+4=0得=x+一,Xg(x)=x+-,XW(1,4),g,(x)=-2-2-XX.g()在(1,2)递减，在(2,4)递增，而g(2)=2+g=4,g(l)=l+=5,g(4)=4+=5,所以4o5.故答案为：(4,5).题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)【典例1】(2023上陕西咸阳高三统考期中)已知函数/(x)=lnx-G(R).(1)若=1,求函数/S)的极值；求函数/(x)的单调区间.【答案】函数/U)的极大值为-1，无极
20、小值答案见解析【详解】当。=1时，/(x)=lnx-x,其定义域为(0,+8),XX1 X令r(x)=o,则X=LX当0xOt/(X)单调递增；当xl时,(x)0,/(X)在(0,+00)上单调递增：当4O时，由fx)=O,得X=L,a若Ox0,若L则/(x)0时，/(%)的单调递增区间为(0,：),单调递减区间为(5+,综上，当0时，函数/V)的单调递增区间为(0,+):%0时，函数/W的单调递增区间为(Oq),单调递减区间为【典例2】(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=(x-l)-XlnXgR).求函数/的单调区间.【答案】增区间为(0,eT),减区间为(e“T,+8).【详解】
21、/(x)的定义域为(0,+8),(x)=-(l+lnx)=-Inx+a-l,令一InX+。-1=0,解得=e.令八月0,得0e2,令/(x)eL/W的单调递增区间为(O,e,),单调递减区间为(e,+oo).【变式1(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=ah.ax-3(aeR),讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由函数/(x)=lnx-ar-3的定义域为(0,+),且广令/(x)=O,解得x=l,若O,当x(O,l)时，fx)O；当x(l,+8)时，,(x)0,当XW(M)时，/(x)0,所以函数/(x)在(0,1)单调递减，在+8)单调递增.若。=0,此时函数/(x
22、)=-3为常数函数，无单调性.【变式2(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=(e-2)TieR).讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意,得函数I(X)的定义域为R,则/(x)=e-l,当0时，/(x)0时，令/C(x)O,得XTna,令/()0,得x0时，/()在(-%-Ina)上单调递减，在(-ln,+)上单调递增.题型08含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)【典例1(2023上江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中)已知函数/(x)=0n+(j24),其中R.若=；是函数/U)的极值点，求的值；若。，讨论函数/(x)的单调性.【答案】=T答案见
23、解析【详解】.O,r(x)=22+(1-2)T=(20x+IXA1),XX因为X=；是函数/(X)的极值点，所以/g)=0,解得O=T,当=T时，,(x)=c2+l0,X若八幻0,则gxl,若/(x)0,则0xl.即函数/W在(,(J上单调递减，在京)上单调递增，即x=g是函数/W的极值点.i = -l.(2) vx Of,_2ax1+(1-2a)x-_(2ax+)(x-)J(X)=当0时，令/(X)=O,解得X=-A或x=l,当一-1,即v-!时，2a2当-；=o,当o-!-或时，,()1,即一LvO时，2a2当E0,当0xl或时，V)0.求函数”)的单调区间；【答案】答案见解析【详解】r(
24、力=卜级_伽+1)=RATJ.-啖0),令r(x)=O得x=g,2=。，当时，/(x)0,则函数/(x)在(0,+功上单调递增,当04；时，Oxg时，/(x)0,axg时，(x)O,所以函数/(力在(OM),+)上单调递增，在层)上单调递减,当白；时，0x时，O0,时，z(x)0,所以函数/(x)在,j),(4,+g)上单调递增，在上单调递减.综上所述，当。=g时，函数/(x)的单调递增区间为(O,+s),无单调递减区间；当0。0时，求函数/(%)的单调递增区间.【答案】(I)y=2e3+2e2-4e3答案见解析【详解】(1)当=0时，/(x)=XeX,贝J(x)=(x+l)e,所以切线的斜率
25、左=(2)=3e2,又/(2)=2e2,所以y=(x)在x=2处的切线方程为丁-2，=2/(工-2),即y=2e3+2e2-44.(2)因为,(x)=廿一4(；/+丫)所以(力=(工+1乂。丫一,令f(x)=0,得X=T或X=In,又a0,当=1时，/(x)0恒成立，所以/(x)在R上单调递增.c当OV4J时，InaO,得xT,所以f(x)的单调递增区间为(o,ln),(T,+oo);当。一时，Intz-1,e由/C(x)O,得XVT或xln,所以/(x)的单调递增区间为(-8,T),(lna,+oo);综上所述，当。=1时，/(x)的单调递增区间为R；当040,则/=LX+j=S2+03+1
26、=-(l)(x+D.,XXX又l,当Ox0,当xL时，y0时，讨论/(4)的单调性.【答案】(1)-答案见解析【详解】(1)当W=O时：/(x)=(x+l)e令/(x)=0解得x=1,又因为当XW(Yo,-1),(x)0,此时函数/(x)单调递增.所以f(x)的最小值为/(-I)=-：.(2)/,(x)=(x+l)(er-n),当m0时，由f(%)=O,得X=-I或X=In机.若机=；,则r)=+i)*-jo,故/(%)在(-%+动上单调递增；若加L则lnz-l.故当/(%)0时，XInzzj：e当/(x)0时，一lxln制.所以/(x)在(-,T),(In叫+8)上单调递增，在(-1,InM
27、)上单调递减.若0川：,则Inm0时，x-l；当/(x)0时，Inwx,时，/(%)在(In孙+8)上单调递增，在(TInm)上单调递减.e当0m0,所以2x-o0,令/(x)v得OVXVe,所以/(4)的单调递减区间为(0,e).当0时，若界e,即0“0,当时，,(x)O,所以/(x)的单调递减区间为6,e)；若=e,即=2e,当XW(O,+功时，f(x)O恒成立，/(切没有单调递减区间；若e,即2e,当x(O,e)时，/心)0,当时，,(x)0,所以/(x)的单调递减区间为卜多综上所述，当0时，/(x)的单调递减区间为(O,e)；当0v2e时，/(x)的单调递减区间为(丐)题型09含参问题
28、讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】(2023全国高三专题练习)设函数/(x)=lnx+q,其中。为常数，讨论函数/(幻的单调性.【答案】答案见解析【详解】根据题意，/(x)=lnx+工；则x0,导数C)=(+i)分2种情况讨论：当0时，,(x)0,函数/()在(0,xo)上为增函数;当时，r=-+ X2_ ax2 +(2a + 2)x + aU+1)2令g(x)=OX2+(2a+2)x+af则有A=(2+2)2-4=8+4,当-/时，A0,有g(r)O恒成立,则Wj()O,函数/()为诚当-5q0,+(2+2)+=o有两个根,则在区间(0,一(+1)+后不)和(一(“
29、+1)一,+8)上,g()o,aa则有/(x)0,函数/()为增函数；综合可得：当0时，X)在(0,+8)上为增函数，当a-g时，函数/S)在(0,+8)上为减函数，当一L“0).讨论/(力的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意知，/(、)定义域为(o,+8),ff()=-u-=-2a+1(fl0);X-X厂令g(x)=2-奴+i(0),则a=q2-4当A0,即00,即2时，令g(x)=0,解得再=2&三，g+T三4y22，当“(0,芯)。(%2，”)时，/(x)v;当Xw(XI,/)时，/C(x)0;/(X)在,伫华钙三,q上单调递减，在(邙二,喈三)上单调递增；综上所述：当00恒成立,
30、0,QX)是增函数;女0时，=)t2-16当(),即左4时，由J)=。得=JVT6,=k+加76,424由/(x)O=O*2，/(x)xXX2,故/(X)的单调递减区间为须/2，单调递增区间为(Oj)，(乙，+8)，当0,即04时，/(x)的单调递减区间为k7k：-16k+qk：-16，单调(八Ik2-T6(k+yk2-6递增区间为0,+44Z/【变式2(2023全国高二专题练习)已知函数/(x)=hu+g-2x.讨论当。0时，/(x)单调性.X【答案】答案见解析【详解】由题意可知xO,(x)=二二2=_2/4+jXX2X2对于二次函数旷=2/_工+4,4二1一8。.当白J时，AOJ(x)O恒
31、成立，/()在x0上单调递减；O当0q=-2/+一。有2个大于零的零点，分别是XLl2正亚,=业区，844当0./(x)在xc(上W至，*垣)单调递增；当u0,上手ZMI上守,+8卜，0,.丫)在XepZ咚可和(上午,+8单调递减综上：当J时/(x)在(0,+8)单调递减O业八,IUIr/八f1一Jl-8。1+Jl-8M,阳,湎尢fn1-J8)(l+Jl-8a)当01时/(x)在x,IlL倜递增；在XW0,和,+8上单倜8(44Jk4Jl4)递减.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1. (2023上高二课时练习)函数/(x)=(x-3)e的单调递减区间是()A.(-t2B.0,3C.口，4D.2,+8)【答案】A【详解】函数的导数/(x)=ejf+(x-3)ex=(x-2)e由/(x)0得(不一2度0,np2,所以函数的单调递减区间为(YO,2；故选：A.2. (2023上嘿龙江双鸭山高二双鸭山一中校考期末)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递增区间是()A.(0,3)B.(-,0)和g+8)C.0,JD.(|,+8)【答案】D【详解】()的定义域为(0,+动，,(x)=2-=,XX.当x
