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1、第02讲二次函数的图像与性质一一顶点式课程标准学习目标二次函数y=4(X-)2的图像与性质二次函数N=Or2+左的图像与性质二次函数y=ax-A)2的图像与性质1 .掌握y=q(x-)2、y=02+%y=a(x-h)2+k的函数与性质。2 .能够利用三种函数的图像与性质进行解题。知识点01J=(x)2(a)的图像与性质1 .歹=(xz)2的图像与性质：由函数的平移可知，可将y=?向左右平移h个单位得到函数y=4(xz)2.由y=a/的图像与性质可得到函数y=(X土)2的图像与性质如下:y=a(xh)2(a0)a0QVo大致图像h0(向右平移)0(向右平移)开口方向开口向上开口向下顶点坐标(/7
2、,0)(力，0)对称轴X二hX=h增减性对称轴右边y随X的增大而增大。对称轴左边y随X的增大而减小。对称轴右边y随X的增大而减小.对称轴左边y随X的增大而增大。最值函数轴最小值这个值是一O函数轴最大值这个值是_0_。题型考点：二次函数y二(x-)2的图像与性质,【即学即练1】2 .抛物线歹=(x+l)2的对称轴是()A.直线y=-lB.直线y=lC.直线X=-ID.直线X=I【解答】解：抛物线y=Ql)2的对称轴是直线X=-I,故选：C.【即学即练2】3 .同一坐标系中，二次函数歹=（-）2与一次函数歹=+q的图象可能是（）【解答】解：4、由一次函数歹=。+然的图象可得：qVO或0,此时二次函
3、数y=（x-）2的顶点（,0）,V0,矛盾，故错误；B、由一次函数y=+的图象可得：ao,矛盾，故错误；C、由一次函数y=+”的图象可得：V0或0,此时二次函数y=（x-a）2的顶点0）,0,此时二次函数y=（X-）2的顶点（,O）,fl0,故正确;故选：D.【即学即练3】4 .对于二次函数y=-2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向上B.对称轴是直线X=-3C.当x-4时，歹随X的增大而减小D.顶点坐标为（-2,-3）【解答】解：由y=-2（x+3）2得抛物线开口向下，对称轴为宜线X=-3,顶点坐标为（3,0）,XW-3时歹随X增大而增大，x-3时y随X增大而减小.故选：B.知
4、识点02y=ax2+%（。0）的图像与性质1.y=2+M4）的图像与性质:由函数的平移可知，可将y=ax1向上下平移k个单位得到函数y=OX2左。由=2的图像与性质可得到函数=。（工）2的图像与性质如下:y=ax2+ka0)a0a0大致图像k0（向上平移）ZVO（向下平移）k0（向上平移）十L7T开口方向开口向上-JL口向下顶点坐标(O,k)(0,k)对称轴V轴V轴增减性对称轴右边y随X的增大而增大。对称轴左边y随X的增大而减小。对称轴右边y随X的增大而减小。对称轴左边y随X的增大而增大。最值函数轴最小一值这个值是一k。函数轴最大值这个值是一k。题型考点：二次函数y=2+A的图像与性质。【即学
5、即练1】4 .抛物线的解析式歹=-2f-1,则顶点坐标是（）A.（-2,-1）B.（2,1）C.（0,-1）D.（0,1）【解答】解：抛物线的解析式y=-2x2-L则顶点坐标是（0,-1）,故选：C.【即学即练2】5 .若抛物线y=2xTL3+（ZW_5）的顶点在X轴下方，则打的值为（）A.？=5B.w=-1C.6=5或？=-1D.m=-5【解答】解：.J=2m2-4什3+（zw-5）的图象是抛物线，tw2-4m-3=2,解得：m=5或-1,又Y抛物线的顶点坐标是（0,顶点在X轴下方，：.m-5O）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【解答】解：力、由抛物线可知，a0,bV0,由直线可知，q
6、0,b0,故本选项不可能；B、由抛物线可知，a0tb0f由直线可知，V0,b0,故本选项不可能；C、由抛物线可知，a0,由直线可知，a0,b0,故本选项不可能；、由抛物线可知，0,b0,由直线可知，a0,b0时，y随X的增大而减小【解答】解：二次函数y=2+3,，该函数的图象开口向下，故选项力正确；对称轴是宜线x=0,故选项8错误；顶点坐标为（0,3）,故选项C正确；当x0时，y随X的增大而减小，故选项。正确；故选：B.知识点03=小-4+上的图像与性质1.y=（x-z）2+的图像与性质：由函数的平移可知，可将y=a?先向左右平移六个单位,再向上下平移左个单位得到函数N=q（x）2%。由y=0
7、的图像与性质可得到函数=。（）2%的图像与性质如下：y=a(x-4P+k(a0)a0QVO开口方向开口向上开口向下题型考点：二顶点坐标,k)0, k)次函数对称轴x = hx = hy = (x-/?)2 +k对称轴右边y随X的增大对称轴右边y随X的增大的图像与性质。而增大 。而减小【即学即练1】增减性对称轴左边y随X的增大对称轴左边y随X的增大8.抛物线y= （x而减小 。而增大 。-2）2+3的顶点函数轴最小一值函数轴最大.值坐标是（）最值这个值是k 。这个值是k 。A. (2, 3)【解答】解：yB.=（-2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2,3）.故
8、选：A.【即学即练2】9.关于y=2G-3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A.顶点坐标为（-3,2）B.对称轴为直线y=3C.当x23时，N随彳增大而增大D.当x23时，歹随4增大而减小【解答】解：顶点坐标为（3,2）,故力选项错误；对称轴为直线x=3,故选项8错误；因为二次项系数为20,故函数图象开口向上对称轴为直线x=3,故当xN3时，y随X增大而增大，故C选项正确；。选项错误，故选：C.【即学即练3】10 .关于二次函数y=2（-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6【解答】解：Y二次函数y=2（-4）2+6,a=20
9、,该函数图象开口向上，有最小值，当x=4取得最小值6,故选：D.【即学即练4】11 .二次函数y=2（x+2）2-1的图象是（）【解答】解：Z=20,抛物线开口方向向上；Y二次函数解析式为y=2（x+2）2-1,，顶点坐标为（2,-1）,对称轴x=-2.故选：C.题型Ol二次函数的性质【典例1】二次函数y=2（x1）25的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）A.开口向上，对称轴为直线X=-1,顶点（1,-5）B.开口向上，对称轴为直线x=l,顶点（1,5）C.开口向下，对称轴为直线X=1,顶点（1,-5）D.开口向上，对称轴为直线x=l,顶点（1,-5）【解答】解：=20,抛物线开口向上，V
10、对称轴为直线X=/?,，对称轴为直线x=l,一顶点坐标（,女）,顶点坐标（1,-5）,故选：D.【典例2】由二次函数歹=2（-3）2+1可知（A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为x=-3C.其最大值为1D.当V3时，y随X的增大而减小【解答】解：=2（X-3）2+1,.抛物线开口向上，对称轴为x=3,顶点坐标为（3,1）,函数有最小值1,当V3时，歹随X的增大而减小，故选：D.【典例3】已知二次函数歹=-2（x+3）2+.下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线x=3；其图象顶点坐标为（3,1）；当x3时，y随X的增大而减小.则其中说法正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【
11、解答】解：V-2V0,图象的开LI向下，故正确；图象的对称轴为直线X=-3,故本小题错误；其图象顶点坐标为（-3,1）,故本小题错误；当XV3时，y随X的增大而减小，正确：综上所述，说法正确的有共2个.故选：B.题型02函数图像【典例1】二次函数y=（x+l）2-2的图象大致是（【解答】解：在y=（x+l）22中由=l0知抛物线的开口向上，故X错误；其对称轴为直线x=-l,在），轴的左侧，故8错误；由y=（x+l）22=x2+2X-I知抛物线与y轴的交点为（0,-1）,在y轴的负半轴，故O错误;故选：C.【典例2】在平面直角坐标系中，二次函数y=(x)2(0)的图象可能是().&hc.Xd.5
12、【典例3】已知二次函数y= (X-I) 2 - c的图象如图所示,XBC. ID【解答】解：根据二次函数开口向上则0,则一次函数y=x+c的大致图象可能是(), g 、I斗根据-C是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、 故选：A.【典例4】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=- 必 X、二、三象限，xl与二次函数y=+%的大致图象可以是()XA.B.【解答】解：二次函数y=(x)2(0)的顶点坐标为(九0),它的顶点坐标在彳轴上,故选：D.【解答】解：由y=f+A可知抛物线的开口向上，故8不合题意;:二次函数歹=/+上与y轴交于负半轴，则左V0,-0,，
13、一次函数歹=-履+1的图象经过经过第一、二、三象限，力选项符合题意，C、。不符合题意;故选：A.题型03二次函数的最值【典例1】关于二次函数y=-（x-4）2+3的最值，下列说法正确的是（）A.有最小值3B.有最小值4C.有最大值3D.有最大值4【解答】解：Y二次函数y=（x-4）2+3,=lV0,该函数图象开口向下，有最大值，当x=4取得最大值3,故选：C.【典例2】已知二次函数y=（X-力）2（人为常数），当自变量X的值满足2Wx5时，与其对应的函数值y的最大值为-1,则人的值为（）A.3或4B.1或6C.1或3D.4或6【解答】解：当人V2时，则x=2时，函数值y有最大值，故-（2-r）
14、2=-1,解得：Ai=L42=3（舍去）：当2WY5时，），=（Xf）2的最大值为0,不符合题意;当。5时，则x=5时，函数值y有最大值，故（5）2=-1,解得：人3=4（舍去），Zm=6.综上所述：力的值为1或6.故选：B.典例3已知二次函数y=（-）2+1,当-1WxW2时，歹的最小值为q+l,则。的值为（）A.0或1B.0或4C.1或4D.0或1或4【解答】解：Y二次函数y=（-a）2+l, 当x=时，该函数取得最小值1, 当-IWXW2时，y的最小值为+l, 当V7时，X=-1时取得最小值，此时(-1-)2+l=+L该方程无解；当-lW2时，x=0时取得最小值，此时l=+l,得=0：当
15、2时，当x=2时取得最小值，此时(2-a)2+1=+1,得=4；故选：B.【典例4】已知二次函数尸(x+l)2-4,当(XW2+l时，y有最大值4,则的值为【解答】解:二次函数r=(x+l)2-4,，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=l,当x-l时，歹随X的增大而增大, 当OWXW2+l时，y有最大值4,(2a+l+l)2-4=4,解得=5-1,故答案为：2-1.1 .二次函数y=2(x-3)2+1的图象的顶点坐标是()A.(2,3)B.(2,1)C.(3,-1)D.(3,1)【解答】解：根据二次函数的顶点式方程r=2(X-3)2+1知，该函数的顶点坐标是：故选：D.2 .对于抛物线y=-
16、2(-l)2+3,下列判断正确的是()A.抛物线的开口向上B.抛物线的顶点坐标是(-1,3)C.对称轴为直线x=lD.当x=3时，y0【解答】解：4、-2V0,J抛物线的开口向下，本选项错误，B、抛物线的顶点为(1,3),本选项错误，C、抛物线的对称轴为：X=L本选项正确，。、把x=3代入y=-21)2+3,解得：y=-5VO,本选项错误，故选：C.3 .若二次函数P=(x+2)2+机与歹=f+x+3的图象重合，则也，的值为()A.m=1,n=4B.w=1,n=-4C.n=-4D.m=-1,n=4【解答】解：Vy=(x+2)2+M=+4x+4+m,A/I=4,4+n=3,:m=-1,故选：D.
17、4 .函数y=x-。和y=0r2+2（。为常数，且。0）,在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）【解答】解：y=+2,.二次函数y=0v2+2的图象的顶点为（0,2）,故A8不符合题意；当y=0r-=O时，X=1,一次函数y=-。的图象过点（1,0）,故。不符题意，C符合题意.故选：C.5 .已知二次函数y=-（X-力）2（为常数），当2WxW5时，函数y的最大值为-1,则的值为（）A.1或3B.4或6C.3或6D.1或6【解答】解：y=（x）2,，抛物线开口向下，对称轴为直线x=n顶点坐标为（儿0）将x=2,y=-1代入y=-（工人）2得_=（2-/）2,解得h=3或人=1,当=3时，2
18、V3V5,函数最大值为0,不符合题意，当=1时，xl时，y随X增大而减小，、=2时，函数取最大值，符合题意，当x=5,y=-1时，7=（5-）2,解得力=6或h=4,当人=4时，2V4V5,不符合题意，当=6时，V6时，），随X增大而减小，x=5时，函数取最大值，符合题意，=1或6,故选：D.6 .如果二次函数y=（-w）2+的图象如图所示，那么一次函数y=机x+的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m,），且在第四象限，nO,w0,则一次函数y=w+经过第一、三、四象限.故选:B.7 .已知二
19、次函数y=（X-2）2+2,当点（3,川）、（2.5,”）、（4,心）在函数图象上时，则歹1、户、”的大小关系正确的是（）A.y3yy2B.y2yy3C.y3yyD.yy2y3【解答】解：由二次函数y=(-2)2+2知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线x=2.由于点(3,川)、(2.5,/)、(4,y3)在函数图象上，且2.52V32V42|,所以VV故选：B.8 .设函数y=-(x-a)2,y=-(x-。2)直线4=1的图象与函数”，户的图象分别交于点4(-1，Cl),8(1,C2),得()A.若IValVa2，则B.若aiVlV2，则GVC2C.若则ClVC2D.若则C2C2B.若1V
20、lV2,如图所示，则C1C2则CIVC2，故B选项不合题意，C.若2万时，y随X的增大而增大，当XV力时，y随、的增大而减小，若YlWxW4,X=I时，J，取得最小值5,可得：(1-4)2+1=5,解得：A=-1或力=3(舍)；若IWXW4V人当x=4时，y取得最小值5,可得：(4-)2+l=5,解得：力=6或力=2(舍).当IV力V4时，y的最小值为1,不合题意，综上，h的值为-1或6,故答案为：1或6.12 .点、P(m,)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+x+4的图象上，则m-的最大值等于.【解答】解：点尸(m,w)在以y轴为对称轴的二次函数y=+4的图象上，。=0,=tw2+4,1,
21、15.m-n=m-(w24)=-mjm-4=(m-)2，24，当ZW=工时，L”取得最大值，此时ZW-=,24故答案为：-E.413 .已知抛物线y=(2-1)f-2b+3%,其中为实数.(1)若抛物线经过点(1,3),求人的值；(2)若抛物线经过点(1,a),(3,b),试说明好3.【解答】(1)解：将点(1,3)代入y=(k-1)/-2b+3%中，得：3=h1-2A+3A,解得：k=2i(2)证明：:抛物线经过点(L0),(3,b),：.a=k-1-2k+3k=2k-1,b=9k-9-63k=6k-9,，ab=(2-1)(6k-9)=122-24)1+9=12(k-1)2-3,V12(k-
22、1)20,12(-1)2-3-3,Y二次函数二次项系数不为0,即4-1W0,即L12(-1)20,.,.12(A7)233,即ab-3.14 .定义新运算：对于任意实数b,都有b=2+b-2等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方运算.比如：2(I3)=2(12+13-2)=2(13-2)=22=4(1)求方程X1=0的解；(2)验证点/，/)是否在函数产X(-1)的图象上；(3)用配方法求出函数y=(一4)的对称轴和顶点坐标.【解答】解：(1)由题意得Xl=x2+x-2=0,解得Xi=LX2=-2.(2)y=x(-1)=x2-x-2,将X=/代入P=X2-r-2得y=-，点/，)不在函数尸X(
23、-1)的图象上.(3)y=|xb (-4)=-j- (*-4x-2) = (x2-4x+4)3= (x - 2)23,抛物线对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3).15.如图，点尸(3)在抛物线C：y=4-(6-)2,且在。的对称轴右侧.(1)写出C的对称轴和歹的最大值；(2)求。的值，并求出点尸到对称轴的距离；(3)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点尸及C的一段，分别记为P,C.平移该胶片,使。所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+4x-4.求点P移动的最短路程.【解答】解：(l)y=4-(6-x)2=-(X-6)2+4,，对称轴为直线X=6,V-10,抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4：(2)把尸Q,3)代入y=4-(6-)?中得：4-(6-a)2=3f解得：=5或=7,:点P(,3)在C的对称轴右侧，=7;点尸(7,3),对称轴为x=6,所以点尸到对称轴的距离为1；(3)y=-x2+4x-4=-(x-2)2,：.y=-(-2)2,是由歹=-(4-6)2+4向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到,平移距离为在不=4加，产移动的最短路程为45.
