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1、转化与化归思想转化与化归思想：把要解决的问题通过某种转化，化归为一类已经解决或比较容嘉决而1涵导到解决的思维方法。包括但不限于：数与形的转化相等与不等转化整体与局部的转化正与反的转化空间与平面的转化常量与变量的转化数学语言转化等等C转化分成两种情况：等价转化与不等价转化，各有所用，但必须理解其中不同之处，合理选用.典型例题1.已知函数y=/(x+1)的定义域为(-2,0),则y=(2x-l)的定义域为.答案:(0,1).【理解转化的依据】2 .设XJR,3x2+2y2=6x,则X2+jz2的范围是答案：0,4【等价转化才能获得正确解答，必须关注自变量的取值范围】.3 .若3=4=60，M-+-
2、=.a2bc4 .英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列%满足Xe=X”一0则称数列x为牛顿数列.如果函数/(x)=-a2,数列%“为牛顿数列,J(xnX+设=In【答案】七策Z)且q=l,数列q的前项和为S”，则SH)=；X3XnlZ1023与也e4-l【解析】由题设r(x)=2x-1,则XT=X“一工FZ2=叁。，又=ln2j,2xj,-l2xw-1xn-2X：+2I/+2x”+1所以=In%*=In与J-=IJ2;二=2InJ=2a,又q=l,七+1-2X”+22X”-4x”+4Xt,-22xtt-12xa-1所以凡是首项为1,
3、公比为2的等比数列，则Szt=W=2T，所以SK,=20-=1023,%=ln=ln(l+-)=4,则=R+2=1.&-2X3-23CJc4-l故答案为：1023,与也C4-I5 .已知函数/()=工2+。工+6(巴方氏)的值域为0,+00),若关于X的不等式/(x)m(x2-1)对满足I加2的一切实数加都成立，则x的取值范围是.答案:(7-l 31二 二 /22令/ (m) = (x2 - l)n + 2x - 1,原不 等式等价于f (m) 0对于m 一2,2恒成立,【常量与变量的转化】由此得7.古希腊数学家托勒密于公元150年/(2)0/(-2)0给出了托勒密定理，即圆的内接凸 等于两条
4、对角线的乘积.已知4C, 的两条对角线，且2 (1 -2) + 21 - 1 O-2 (l-x2)+2x-l0解之得与.实数的取值范围为(0, 750t1).在他的名著数学汇编里 四边形的两对对边乘积的和 BD为圆的内接四边形ABCDsin NABD: sin ZADB: sin /BCD = 2:3:4,若 JC2 =BCCD,则实数 的最小值为,3【答案】I【解析】根据圆内接四边形的性质可知;/胡O + NBC。=肛SinNA40 = SinNBa),所以 Sin NABD: sin NADB: sin NBCD = 2:3:4,即 sin ZABD: sin ZADB: sin /BAD
5、 = 2:3:4,在历i中,AD _ ABZABD ZADB故 M0：M 例：逮。I= 2:3:4由题意可知：ACBDABCD + ADBC ,则4AC=3CQ+25C,所以 161/Cf= 91CO+4c2+12CD BC,16 JC2=9CD2 +48CF +12CZ5C 24CD5C,当且仅当ICDH 8C I时等号取得,又Mcf = BCCD ,所以 162忸CHCQl 241CQ BC|,则4绦4，则实数人的最小值对,故答案为:I8.已知函数/(X)=四生型三网土在xe1,1上的最大值为“，最小值为？，则 +加二COSX 答案：2【转化成“奇函数十常数”】9.X2 V2若直线y =
6、b+l与椭圆一 +匕=1恒有公共点，则实数机的取值范围为.5 m答案：l,5)U(5,+8)【转化成方程的解个数判断的问题，但不是等价转化，必须考虑容椭圆本身的要求】10.已知函数/(x)的定义域为R ,设/(4)的导数是f(x),且/(x)(x)+sinxO恒成立，则()A. /图0,故y = g(x)在定义域R上是增函数，所以g521511.设 = ypb = ln,c = sin,贝Ij ()A. cabB. cbaC. abcD. bc/(O) = O,因此得当x(,?时，X Sinx ,故QSi哈，即j ,.21 5 .(. 5b-a = n= In 1 +2 11 11 I 11g
7、 g(x) = ln(l + 2x) -X f X ,则 b-q = g2因为gMET =l-2x1 + 2X当0vx0.所以g(x)在(0，；)上单调递增，所以8目趴0)=0,即6。，所以bac.故选：A12 .已知%h=tC=炳，贝U()D. ac bA.cbaB.bacC.abc【答案】C【解析】由Ina=Ine(U=O.1,Ind=In-=InLl,则Ina-In6=0.1-InLI=(M-In(I+0.1),令/(x)7-in(+x),r=-=1当x(0,+oo)时，/心)0,则/(X)单调递增，即/(0.1)(0)=0,JI0.1-In1.10,可得InaInb,即ab;10I=(
8、l+O.l),o=l+O.l+O.l2+C；2o.l10=l+100.1+Cjo0.12+C;0.=2+C0.12+C!0.1,02,综上，6c.故选：C.13 .已知P(X,y)为圆(x2)?+/=1上的动点，则13x+4y-31的最大值为.答案：8【将研究对象转化成点到直线的距离公式，设3x+4y-3=Z,然后圆心到直线的距离不超过半径】14 .已知数列为的首项为。，公差为1的等差数列，数列4满足a二一若对任意的N,都有“”%成立，则实数Q的范围是.答案：(-5,-4)【方法一：转化为不等式问题。方法二：转化成类反比例函数图象问题】15 .在A43C中，旦尸分别为N5,C的中点，Pe线段打
9、，实数x,y满足方+x而+y正=G,设J8C,P8C,PC4,P5的面积分别为S,S,S2,S3,记=4,邑=为邑=4,则44取得最大值时,SSS2x+y的值为.3答案：-【向量关系和面积关系都转化成边长的比】216 .在aO4B中,OA=AB=ZOAB=MG1,若空间点满足SNAB=ISmab，则OP的最小值为：直线OP平面OAB所成角的正切的最大值是.【答案】JB3【解析】过点。作。1力6与点。，过点尸作PC，48与点C,OA=AB=4,则。O=2J,本题主要考查向量和基本不等式的应用。根据题意得 2 A3 = 1 0因为尸是 AABC中位线EF上任意一点，所以 A1 = f ,所以莅+3
10、 = f ,由基本不等式 得A2A3 (号)2 ,当且仅当A2 = A3 = 1 时取等号，此时点尸是EF的中点。因为实数工,y满足PA + xPB + yPC = 0 ,由 PA = -j- (PB + PC)可得y= 1,2ar+ y = o又SmB=；Smb，则PC75,则点尸在以48为旋转轴，底面圆半径为百的圆柱上,当点P与点O、O三点共线时，OP最小；且最小值为2J-J=J;如图所示：以045所在平面为Xoz,建立8-xyz空间直角坐标，则平面NB的法向量为：G=(OJO),O(2350,6),设尸(VJcosa,VJsina,/?)，则OP=(VJcosa-23,3sina,A-6
11、)当=6,且COSa=I时，。尸最小，即当点尸与点0、。三点共线时，OP最小,且最小值为LIop/IIVJsin1记直线。尸与平面。18所成角为。,则Sin0=-T=5因为(一6)2 20,所以sin”|G/M(3cosa-2)+(sina)+(-6)令f=5-4cos,lf9,则COSa=则singJ13=_LJlO-1/+2,lr9,4V5-4cosa4、ItJ9Q1又y=，+：,在1,3上单调递减。在3,9上单调递增，则6z+7lO,所以sin5,当且仅当f=3,即COSa=B时，等号成立，又。,l,所以直线OP与平面048所成角的最大值为此时tan。=苴，故答案为：3;B1.26331
12、7 .椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆和正方形的四边各恰有一个公共点).在平面直角坐标系Xoy中，将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”C:+-y=3,贝厂斜椭圆的离心率为.【答案】&3【解析】“斜椭圆”的中心为坐标原点，所以长半轴的长度为曲线上的点到原点距离最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值，由基本不等式*即y-7,所以一、孙=2+y2-3y解得22=6成立，x=y=l时，=2成立.所以椭圆的长半轴长为木，短半轴长为所以椭圆的离心率为11=乎.故答案为：号
13、.18 .J8C的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为，0H=m(O4+0B+0C)f则实数m=.答案：1【构造平行四边形对边平行且相等，转化成平面向量的结论】【外心出现，垂直相伴】19 .设纥GI的三边长分别为“也,c8,AAnBffCtt的面积为Sft,i=1,2,3,，若Ac1,bl+c1=2al,an+l=an.%+c”an+bllrll二+1，%,则A.Sn为递减数列B.S2.1为递减数列，讲?”为递增数列C.Sn为递增数列D.旨2小为递增数列，订2“为递减数列答案：C【利用海伦公式可用于最值情况】【转化成椭圆中的焦点三角形面积很容易说明】20点/(0,3),直线/:y = 2x-
14、4,设圆C的半径为1,圆心C横坐标的取值范围是.答案：0,【利用解析几何方式转化已知条件，最终依据两圆的位置关系确定答案】21.已知实数X, y满足X y 0且X + y = l ,则41+的最小值是.x +5y X-y圆心在直线/上，若C上存在点“，使MZ = 2A/O,则设点M(1,y),由MA = 2MO,知：1+ (y - 3)2 = 2 J12 + y2 ,化简得：/ + (y + )2=4,.点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆0,又.点M在圆。上，圆。与圆。的关系为相交或相切，. 1 CD 3. MCD = 2 + (2-3)2lAl v2 + (2a - 3)2 3,化
15、简可得0a9答案：-【利用代数变化转化已知或未知条件，达到能够使用均值不等式的条件】222 .如图，椭圆的中心在原点，长轴在X轴上.以A、4为焦点的双曲线交椭圆于。、。、A、G四点，且co=344.椭圆的一条弦/C交双曲线于E，设咎二冗，当i:时，双曲线的离心率的取值范围2EC34为.【答案】7e10【解析】设/(w,0),4(c,0),则设(其中C为双曲线的半焦距，为CO到X轴的距离)，ANQc+f1 c(-2)”，即E点坐标为 1 + Ac(-2) h、. + I)百,B贝吐荏反即(3”丐一3-八)，设双曲线的方程为小和，将吒代入方程，得亨-Q,将C(卦),Ef-2) 2河)代入式,整理得
16、一反4 b2(2-=4 +l +l b消去勺，得24+e2=e2-1,所以2=:-=1-，b22+2e2+2由于；(义了.所以；Kl;-7e210,7eV,故答案为：J7eJi63436+2423 .(多选)已知数列%满足q=L%=3,S.是前项和，若(Sw-SM)-1=(+I)(S(“GN”且2),若不等式见-2/_(+1)/+/一+2对于任意的N;ia恒成立，则实数。的值可能为()A.-4B.OC.2D.5【答案】AD【解析】由(S,lS)T=6+1)(S.-SaJ2,则q+1-1=(+1)。”/2,得-=2;%=2=J4，nn11%4111一所以H-=-7=,1,+1n(+1)nw+1贝
17、Ua_-=_L_L,也_吆=_!L,，nn-W-Inn-n-2n-2n-212上述式子累加可得2-q=l-L所以2=2,0,其解集一；,0不包含L2,故选项B错误；对选项C,当=2时，不等式为(2l)U+2)0,其解集-2,(不包含1,2,故选项C错误；对选项D,当=5时，不等式为-4)(f+5)0,其解集-5,2包含1,2,故选项D正确.方法二：令/(z)=2f-(-l)(f+),若2(4-1)。+丫0对于任意的“1,2恒成立，/(1)0(3-)(1+)0只需1人孑，即wo、/，解得45或-2故选：AD./(2)0(5-)(2+)0小结：通过以上习题的练习，希望能够体会到数学中转化与化归思想的本质，就是将不熟悉不容易解决的问题转化成熟悉的容易解决的问题。而实现转化的基本条件，就是理解数学各种基础概念、基本方法，基本思路，并且善于观察，勤于总结,经常自主地进行联想，这样才能触类旁通，迅速完成转化和化归，获得问题的解答.另外，转化和化归思想的应用，要关注是否是等价转化还是不等价转化，两者都有解题的作用，具体问题具体分析。
