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1、对数函数的图像与性质(一)考向一对数函数的概念1、下列函数是对数函数的是()A.y=Iog3(x+l)B.y=Iogrt(2x)(a0,且4l)C.y=lnxD.y=logax2(aO,S.a1)【分析】根据对数函数的定义即可得出.【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有)，=/m为对数函数.故选：C.2、若函数y=kg(2,卢+(/一5+4)是对数函数，则=.【解析】因为函数y=log(24-+(q2-5+4)是对数函数，2-10,所以12-ll,解得。=4.d5+4=0,3、对数函数/(%)的图象经过点6，2),则/(%)=.【答案】IogAX2【解析】设数函数f(x)=logax,(QO
2、且1)图象经过点(%2),得Jf(%)=log”2故答案为：Iogix24、已知/(x6)=log2x,那么f(8)等于()4A.？B.83【答案】D【解析】由题可知，%0,令”=8,得=8%=22,所以/(8)=考向二对数函数的图像L441、(1)如图是对数函数)=log“x的图象，已知。值取J,-G，U的。值依次是()A.3,白B.3,LI35103105C.3,3D.3,LJ35103105(2)当l时，在同一坐标系中，函数y=#与y=Iog.X的图象作丸244ABCt(3)若函数y=N(O,0wl)的值域为yyl,则函数y=()Z吗11-fo1ABCD【答案】A(2)D(3)B1解1l
3、og222=则相应于C,C2,0121()gTogaN的图象大致是2、同一直角坐标系中，当0。1时，函数二：与)=Sg=P的图象是【答案】C【解析】当OqVI时，函数b=（,IW（L+8）,所以图象过点沁），在其定aa义域R上是增函数；函数=Iog二1的图象过点（L0）,在其定义域O,+）上是减函数.故选C.3、当（Xal时,在同一坐标系中,函数y=ax与y=logax的图象是（）【答案】D【解析】因为函数y=ax与y=logiix互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,且当OVa0,b.C.b+og2a.0D.+2a.0【分析】因为函数y=l0g2(x+a)+。的图象不经过第四象限，所
4、以当X=O时，y.0,所以Iog2a+b.O.【解答】解：函数y=l0g2(x+a)+8的图象不经过第四象限，当X=O时，y.0,.Iog2+Z.O,故选：C.【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题.6、如图，若G，C2分别为函数y=log“X和y=Iog/,”的图象，则()A.OabB,0力bD.bal【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，得出结论.【解答】解：根据G，4分别为函数丫二叫小和尸唾尸的图象，可得Ovbl,OVa0且“制)与二次函数y=(-1)V-X在同一坐标系内的图象可能【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案.【解答】
5、解：由对数函数y=logr()且。工1)与二次函数y=(-1*-X可知，当0l时，此时a-lv,对数函数.v=log,X为减函数，而二次函数y=(-1)/-X开口向下，且其对称轴为X=!1时，此时一10,对数函数y=Iog.X为增函数，而二次函数y=(-l)f-开口向上，且其对称轴为X=!0,故B错误，而A符合2(a-l)题意.故选：A.8、已知点(?,)在函数.y=log2X的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是()A.(w2,M2)B.(2m,2)C,(h+2,w+1)D.(y,n-l)【分析】把点(7,)代入函数解析式得Iog2,再利用lg2y=Z-l即可判断出点也在函数图象上.【解答
6、】解：点(孙)在函数y=Iogz的图象上,/.y=Iog2m=n,若X=,则log?X=Iog2y=Iog2ZM-I=W-I,点(3，-1)也在该函数的图象上，故选：。.考向三对数函数的性质1、函数/(x)=30(3l2)+2(q0,Wl)恒过定点.【答案】(1,2)【解析】当X=I时，1)=/。乩(32)+2=2.所以函数fx)=loga(3l2)+2(aO,a1)恒过定点(1,2).2、已知函数J(X)=Iogaa+l)+l(4O,且l)的图象恒过定点P,则点P的坐标是令x+l=l,得X=0,则AO)=IOgj+1=1,即定点P的坐标为(0,1).3、已知函数yU)=logx-M+”的图象
7、恒过点(3,5),则Igw+lgn等于()A.10 B.Igl2ClD.-10解析:由已知可得濯J；二：Igm+lgZZ=Ig2+lg5=Ig10=1.4、已知函数+1。8/-1(。0且。工1,力0且Z?HI),则f(x)的图象过定点()A.(0,1)B.(IJ)C.(1,0)D.(0,0)【分析】当X=I时，/(X)=/(1)=+logj-l=l+0-l=0,即可求出结果.【解答】解：当X=I时，f(x)-f(1)=a0+logfr1-1=1+0-1=0,.J(x)的图象过定点(L0),故选：C.5、函数/(x)=Iog2”是()A.(0,也)上的增函数B.Qyo)上的减函数C.R上的增函数
8、D.R上的减函数【分析】对数函数丁=1080(。0且)，定义域为(0,4);当时在(0,)上为增函数；当OVaVl时，在(0,yo)上为减函数.【解答】解：y=log,x(0且1),定义域为(0,+);当41时，在(0,h)上为增函数，当OVaVl时，在(0,”)上为减函数.本题=2l,故y=l0g2X在(0,K2)上为增函数.故选：A.6、函数y=log.三三2(6ZO61)的图象经过的定点坐标为一.x+l【分析】令真数等于1,求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标.【解答】解：令生2=,求得4=_2,可得函数y=log.竺+2=2,x+1x+1Ov+故函数y=Iog“与0且。-1）的
9、图象经过的定点坐标为（-2,2）,+l故答案为：（-2,2）.考向四对数函数的性质应用1、比较下列各组值的大小:34（I）IOg5不与log5;(2)log2与log2;（3）log23与IogS4.【解析】（1）法一（单调性法）：对数函数y=log5%在（0,+动上是增函数，而急，所以1314Iog54log53法二（中间值法）：因为log510,所以iog5Jlog2log2,所以-j_I，所以log2log2.Ig25log25法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y=k）g及y=IoglX的图象，由图易知：log2log22=1=log55log54,所以Iog23log54.2
10、、(1)比较大小(填“域=).Iog052011Iog052012;log”2011Iog152012;IOgo$3Iog063;Iog050.8Iog060.8；kgs3Iog23；Iog150.8Iog20.8.(2)若=log34,b=Iog76,c=Iog20.8,贝J().A.abcB.bacC.cabD.bca(3)若=O.32,b=Iog20.3,c=Iog34,贝J().A.abcB.bacC.cabD.bOa(4)若bL0cvl,则()A.aebcB.abcbatC.alogz,cblogcD.Iogflc;.(2)A;(3)C;4C;3、若1。8)118.1108而.1nl
11、(B)nml(C)0nm1(D)0mnl时.底数越大,函数值越小,故选C.4、若函数f(x)=IOg“Ma0且。工1)在区间a,2a”上的最大值比最小值多2,则a=()A.2或JB.3或1C.4三Jc-D.2或，2322【分析】先由2八”碓小)。，有且“I,再对a分情况讨论,利用指数函数的单调性即可解题.【解答】解：由2/-=(2-l)0,有a/且awl,2当时，loge(2a2)-logaa=21得a=2,logaa-loga(2a2)2,得=过,5、设力都是不等于1的正数,贝上333”是log.3clog,3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B【解
12、析】由指数函数的性质知，若333,则a8l,由对数函数的性质,得Ioga3VIogz,3；反之，取Q=g,b=；,显然有Ioga3Vlog/,3,此时0Z?vi33所以“3363”是以g03VlogQ的充分不必要条件,选B.6、2若log,q3,得/()-(3),即/(一万)/(一3)=/。限：8、已知logo,7(2v)0,所以由logo.7(2)0,解得xl.2xx1,即K的取值范围是(1,+).9、已知f(x)=l0g3x,则/(I)/：)J的大小是2A(y) ./ -B(2)【答案】B(2)()【解析】由函数y=log3的图象可知，图象呈上升趋势，即随着X的增大，函数值y也在增大，故/
13、4）/4）2）10、函数y=lg_l”,乂（0,8的值域是（）2B.3, )D.(-oo, 3A.3,)C.(co,-3【答案】A【解析】.0xV8,./OgjxT,故选A2U、设Q=Iog3,b=Q)02,C=2测()A.b a cB.c b aC.c a bD. b gpO,c0力=0220=1，所以b0,且。#1)的反函数的图象过点(2,-1),则=.(3)若/(x)=l0g3X的反函数是y=g(),则g(T)值为()A.3B.-3C.-D.-33【答案】(1)B(2)-(3)C23、已知函数x)=kg2-若函数g(x)是“X)的反函数，则/(g(2)=()A.1B.2C.3D.4【答案
14、】B【解析】由函数y=)=bg2,得X=2、把X与y互换，可得)=2,即g()=2,.g(2)=20且4wl)的图象过点(1,8),其反函数的图象过(16,2),则+0=()A.3B.4C.5D.6【分析】根据反函数的图象过(16,2),可知析X)图象过点(2,16),和(1,8),代入联立解得.【解答】解：f)=*(0且l)的图象过点(1,8),代入得=8，其反函数的图象过(16,2),f(x)=ax+b30且。1)的图象过点(2,16),.代入得2=16，联立解之得=2,b=2,【点评】本题考查反函数，以及指数函数，属于基础题.【点评】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题.6、已知函数/(x)=*,g(x)=logrtx(a0,a1),若/(3)g(3)0,则/(%)与g(x)的图象为()【分析】根据指数函数的性质，由/(3)g(3)0得到g(3)0从而得到。的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论.【解答】解：f(x)=ax,g(x)=logx(a0,01),若/(3)g(3)0,:.f0,g0,.,.a,即/(x),g(x)都为增函数，故选：B.
