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1、第3讲函数的极值与最值函数的极值极值问题是导函数的一个直接应用,极值点作为单调区间的分界点和函数最值点的候选点,在研究函数单调性和最值时具有重要意义.极大值与极小值统称为极值,我们先来看相关定义：(1)极大值:一般地,设函数/(x)在点与及其附近有定义,如果对与附近的所有的点都有/(力为),就说/伍)是函数/(x)的一个极大值,记作加大值=题)，其中与是极大值点.(2)极小值L般地,设函数“X)在点X。及其附近有定义如果对方附近的所有的点都有了(力入0)，就说/(o)是函数“)的一个极小值，记作y极小值=/)，其中小是极小值点.看上面对极值点和极值的一般定义,我们要注意以下几点:一是极值点和极
2、值的定义不要搞混淆;二是极值是一个双边定义:极值点的两边函数都有定义,极值才存在;三是极值具有局部性,极值是函数局部的最值,一个函数区间内可存在多个极值.在高中阶段,我们可以简单地理【解析】一阶导函数为零的点即为原函数的极值点,一般来说,做大题不会出错,不过保险起见还是需要验证一下极值点两边一阶导数是否变号,即原函数单调性是否改变.需要注意的是,极值点处导函数可能不存在,比如函数/(x)=k-l,x=l是函数的极小值点,但在极值点处导函数是不存在.这是大学要研究的内容,不需要过分纠结.极值问题的两种考查方式:一种是直接求极值点(极值),一般步骤是求导,解出导函数的零点,即为函数的极值点(求解后
3、需要验证),如果含参数的话还要分类讨论一下.再求极值.另外一种就是给出某个点是极值点,来求解参数的取值范围.求无参函数的极值点和极值求极值点的步骤：筛选:令r()=o求出r(x)的零点(此时求出的点有可能是极值点).(2)精选:判断原函数在广(力的零点左、右两边,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点.(3)定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减是极大值点,先减后增是极小值点.通常,判定一个点是极大值点还是极小值点我们有两种充分判别条件:第一充分条件:设函数/(/)在点/的某个邻域内连续且可导(尸(无0)可以不存在).若在飞的左邻域内,r)o.在小
4、的右邻域内,r(力o,则力在4处取得极大值/(0).(2)若在X。的左邻域内M)0,则/(x)在/处取得极小值0)(3)若在小的左、右邻域内,r(x)不变号,则在4处没有极值.注意:第一充分条件利用一阶导数符号来判断函数单调性时,为了快速判别,我们只需要在极值点与的左边或者右边取一个特殊值验证一阶导函数的正负号即可(这个方法我们称为特殊值法).第二充分条件:设/(力在/处具有二阶导数,且r(0)=OJ(0)w。,则当/(o)O时,函数“X)在X。处取得极小值.注意:利用驻点处二阶导数符号来判断驻点是否为极值点时,二阶导函数的正负号淇实决定了一阶导函数的单调性.解题时,为了快速判别,我们可以直接
5、判定决定一阶导函数正负号部分函数的单调性,一阶导函数为增-是极小值点,一阶导函数为减一是极大值点.为极大值点(这个方法,我们称之为一阶单调性法).【例例求函数y=x-In(I+x)的极值.【解析】法一：y=x-ln(l+x)的定义域为(-1,田),令y=x=o,当一xo时,有yo时,有yo,由极值的第一充分条件知,y=x-In(I+x)在X=O处取得极小值为/(0)=0.法二:y=x-ln(l+x)的定义域为(T,+0?),令y=1-7L=j-=0,得X=0.又由y=得y(0)=l0,(1+力.由极值的第二充分条件知,y=x-ln(l+x)在X=O处取得极小值为/(0)=0.【例2】求函数/(
6、x)=g.2一3的极值.【解析】法一：/(力二/一32一31的定义域为令/(元)二/一2尢-3=0,得=3,工2=一1现歹1表讨论如下：X(,-1)1(1,3)3(3,+8)/Cr)+Q0+/(力)单调递增极大a单调递减极小值单调递增由上表知，/(同=；冗3_12-3X在X=-I处取得极大值为/(7)=,在冗=3处取得极小值为了=-9.法二:令,(x)=X22x3=OWx1=3,x2=-1.由/(x)=2a2得/(T)=-4v0,广=40,.由极值的第二充分条件知J(X)=；/72一3X在X=T处取得极大值为/(-l)=,x=3处取得极小值为/(3)=-9.已知极值/极值点反求参数题型:已知含
7、参函数/(x)的极值点为%,在极值点与处的极值为先,求参数.方法:列出方程组F=C),求解参数即可./()=jo例1已知函数f(x)=ax2+lnxx=l处有极值;,求实数4,8的值.由/(x)=Ot2+blnx,知z(x)=20r+-.又/(x)在R = I处有极值;,则，/(l)=02a+b=01 ,1.a=-yb=-l.2【例2】已知函数x)=x-网-2HnHaR),若函数/(x)在x=2日寸取得极值,求实数。的值.【解析】r(x)=l+一网，XX依题意有r(2)=0,即1+驾i-=O,解得=.检验:当=3时J,(x)=l+N-3=V2=92 7X2%JrX2此时,函数/(x)在(1,2
8、)上单调递减,在(2,+O得-2xl.令r(x)l此时,函数y=(x)在X=I处取得极大值,合乎题意.综上所述,a=-2.注意:如0是6的极大值点,除必须有r(毛)=O外,还必须满足在0左侧某个区间(Ao-机)上r(x)O,在XO右侧某个区间(,0+)上(x)0,0.仅仅有广(与)=0是不够的,这也是易错的地方.已知极值点反求参数范围(第二判别法)对于已知极值点来求参数取值范围的题目,我们一般有两种解法：方法一:分类讨论,求出导函数r(x),确定ra)=o的根,然后由根分实数为若干个区间,讨论各区间中;(力的正负,得单调区间,若在与左侧递减,右侧递增,则/是极小值点;若在X0左侧递增,右侧递减
9、,则是极大值点.方法二:第二充分判别条件验证,求出二阶导函数,当/()0时,函数f(x)在与处取得极小值,来快速求解参数取值范围.注意:这个是充分条件,一般用来验证答案,不作为解题过程,可作为分析过程。例1已知函数/(戈)=2一(4+l)+4+3e*(0),若F(X)在x=2处取得极小值,求。的取值范围.【解析】法一:分类讨论/(力=加一(2+1.+2甘=(奴一1)(工一2)巴令人力二0得/，或x=2.若OvLv2,即a；,则当x(L2卜j，r(x)vO,当x(2,+8)时J(x)0.在X=2处取得极小值.(2)若g,且40,则当冗(0,2)tz0r-x1,.0v-l0,同时x-20,从而X=
10、2不是/(x)的极小值点.综上可知的取值范围是法二:第二充分判别法验证r=/_(2a+l)+2卜.ff(x)=0r2-x-2a+lex.由极大值点的第二充分判别条件可得/(2)=(4o-2-2a+l)e20,【例2】已知/(6=/山一”2+火(工(),若函数/3在工=处取得极大值,求实数的取值范围.【解析】法一:分类讨论/(x)=(a2+ax+a=(x-I)Ka+l)x+X(1)当0时,(+l)x+a0,令/(幻0得OVXVL令/(x)l./)在X=I处取得极大值.当4,一1时,(+l)x+0,由可知f(x)在X=1处取得极大值.当。=一；时,，*)=攵萨.0,则力无极值.(4)-la0得0-
11、.2a+l令r()o得1工.(x)在X=I处取得极大值.(5)当一g0得0xl.令r(x)o得jx.(x)在X=I处取得极小值.综上,的取值范围为卜8,-3卜(，+。)法二:第二充分判别法验证/X)=-(a?+)+,/(X)=-一(/+),由极大值点的第二充分判别条件可得f()=-a2-(a2+)-l).设g(x)=-),则g(x)=ex777+/+1(x+l)当QO时,g1x)O,g(X)在(1,+8)上单调递增，.X(-1,0)时,g(x)g(0)=0./1)在(-1,0)上递减,在(0,+oo)上递增.x=0是/(x)的极小值点,与题意矛盾.(2)当0时,，(x)=e-x在(-1,+8)
12、上是增函数，且(O)=I_2a.当0gr(o)=o./在(0,+8)上是增函数,与题意矛盾.(2)当g时,若X丘(TO),则g)Vgff(0)=0.J(x)在(To)上是增函数.若x(0,),由常用指数不等式见“不等式放缩法(10.2)ert+l,则(x)g(0)=1-2a/(O)=O.(x)在(T,0)上是增函数./ + 2/ +。+13 + 1)2若X(O,),由常用指数不等式见“不等式放缩法(10.2)ea6+l,则g(a)=el,-a-+-7+l(+l)又g(0)=l-20,.存在4e(Om)使得g(为)=O.从而当(0,jQ)时,g(x)O,.(x)=g(x)在(0,%)上是减函数,
13、从而/(x)T)j(x) = e-1117X+1 (X+1)2由极大值,点的第二充分判别条件可得广(O)=I-2v0,解得+8、函数的最值最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来,最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点,由最大值和最小值可以确定函数的值域,我们来看最值的具体定义：(I)设函数/(力的定义域为Q,若丸，使得对x。均满足f(x)(x),那么称X=Xo为函数/(x)的一个最大值点,f()称为函数/(x)的最大值.(2)设函数力的定义域为D,若太o，使得对xO,均满足x)0),那么称x=/为函数外力的一个最小值点J(XO)称为函数x)的最小值.最值是函数的
14、一个重要特征值,研究最值可以得出函数值域,也可以用在求解不等式相关的问题中.【例】证明不等式hux-l,则构造函数/(x)=hu-x+l,可通过导数求出/(x)n=/(1)=0,由此可得到对于任意的x0,均有/(x)(x)mw=0.故lnx-x+10,lnxx-1.那如何求解出函数的最值呢?当然还是用到我们的导数来求解,最值问题通常会结合前面所学的单调性、极值和边界值最终来确定最值,下面我们一一讲解.求无参函数的最值题型:求函数在Xw上的最大值/(x)g和最小值/(x)mn.方法步骤:一般来说,最值点只可能在极值点或者边界点处产生,对于无参函数最值的解题步骤如下：第一步:求出极值点和极值5)=
15、0=极值为/)第二步:求出边界值,即/(?)和/().第三步:比较极值和边界值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.【例1】函数八)+】,求/在区间Le上的最大值.X_e【解析】,(x)=一-y+-=r-,x-,e时J(X)=T0,即/(x)单调递增.川）=0又D=e-2J（e）,而e-2g.（x）在区间Je上的最大值为了ma=0=e-2.【例2】已知函数力弋+应判断x）的单调性,并求小）在e上的最【解析】/（力=宁+不的定义域为（0,+少）人力I-Inx . 1 + X2 - lu设 g(x) = l+x2-InX,贝(lg5XT).令 g(x) = O 得.g(x)在 0,上单调递减,在
16、上单调递增,则 g(6min=g 圉!-In*0.（x）在（0,+8）上为增函数.（x）在Je上的最大值为/（e）=%e,最小值为U=g-e.讨论含参函数的最值讨论含参函数/（x）在区间上的最值,核心在于求出x）在区间,同上的单调性和极值,对于最值、单调性和极值之间的关系,有如下常用结论：（1）若函数在区间期可上单调递增或递减,则）与/.）一个为最大值,另一个为最小值.若函数在区间L目内有极值,则要先求出函数在,以上的极值,再与），/0）比较,最大的为最大值,最小的为最小值.（3）函数力在区间（,。）上有唯一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.除上述结
17、论外,我们解题时通常会碰到一种求最大或者最小值的常考模型:最大值模型:求解含参函数y=f(k必k为参数)在X,团上的最大值ymax.解题步骤：第一步:求出含参的极值点,这个极值点一般为极大值点,并用参数表示,即/,)=0=%=g(Z)第二步:把极大值点与=g(Z)分在区间,可的左、中、右三种情况来讨论.当极大值点在区间左边时,即0=g),函数y=Lx)(上为参数)在XWa句上单调递减,则ynux=/().当极大值点在区间中间时,即v%=g(9vb,函数y=(Z,X)(Z为参数)在X,0上单调递增,在Xk),同上单调递减,则ynHX=(x0)当极大值点在区间右边时,即0=g（八）b,函数y=(左
18、,x)(Z为参数)在XEW,句上单调递增,则ynxx=f(b).注意:求最小值的模型类似,可自行总结。【例11已知为实数,函数)=6(x-a),设g()为/(x)在区间0,2上的最小值,请写出g()的表达式.【解析】r(x) = F +x-a 3x-a2yfx 2fx(x0).若 0,则 r(x)0j(x)在区间0,+8)上单调递增.若。0,令r(x)=0,得x=(极值点),当Oe.时,r(x)v;当Xw时，r(x)0x，是极小值点./(x)有单调递减区间(0闺,单调递增区间径,+8、3133y二.若0,即极小值点在区间左边,/(x)在0,2上单调递增.g(G=/(O)=。.若0),求函数力在
19、1,2上的最大值.【解析】/(X)=-ev(flO)z则:(x)=LX.令广(力=LYX=O,解得X=In1(极值点).aaa当x0.当xIn4时,广(x)v0.x=In为极大值点.故函数/(x)的增区间为卜”n减区间为111In,+。.当ln2,即05,极大值点在区间右边时J(X)在区间1,2上单调递7111增，则f(x)ma=(2)=J.(2)当lln,2,即0【例3】求g(x)=lnx+2/-OX-4%在区间l,e上的最小值Ma).【解析】g(x)=lnx+2f一一4戈,则g(x)=幺+4冗一。一4=,令/(x)=O得4=(或X=I.当31,即04时,g(x)在l,e上为增函数z()=g
20、=z-2.(2)当1ge,即4v04e时,g(x)在1,二上单调递减,在(二,e上单调递增，4v7L4；14./1,.h(a=2=ana-a.，48当3e,即a4e时,g(x)在Le上为减函数,/.()=(e)=(1-e)2e2-4e.-a-2,a41Q12dina-,44e.48(l-e)iz+2e2-4e,tz4e已知最值反求参数反求参数问题是给出函数在区间上的最值,来反求参数,其一般步骤是：第一步:按照上一节的步骤,先讨论出含参数单调性和最值,这个最值通常含参数.第二步:带人已知的最值反求解参数,求解后验证,不满足则舍去.【例1】已知函数x)=q-2hx.(I)讨论/(M的单调性.(2)
21、若/(力在1,+。)上的最大值为1,求a的值.【解析】Fa)的定义域为(0,+),r(x)=-0-2=一马等.XX当O时,r(x)VO,/(x)在(O,+)上单调递减.当0时,令r()一名则/()的单调递减区间为，号+8).令F(X)0,得0x-!则力的单调递增区间为(O,-?.(2)由题知，i)当白0时,/(力在1,+8)上单调递减,f(x)max=/(1)=。=1,则。=1ii)当-2v0时,-葭lj(x)在I,+e)上单调递减，XLaX=/(1)=1，则一2V0,不合题意.iii)当av2时，/(x)nm=(-)=-2-21n(-)fl-2,.-2-21nf-2z则O,(x)在(0,+c
22、o)上单调递增.当O,BPr()0,在l,e上恒成立，此时f(x)在l,e上为增函数.f(%)在l,e上的最小值为,./(x)min=/(1)=-=-=()若-e,则x+O,即r(x)O,在l,e上恒成立，此时/(x)在l,e上为减函数，”(x)min=F(e)=1-=I.=-|(舍去).若-evv-l,令v(x)=0得x=-.当IVXV-时,广(x)VO,.(x)在(TM)上为减函数.当-。X0,.(x)(-a,e)上为增函数.3二/(min=H)=l11M+l=-.*.a=-6.综上可知:4=-e.【例3】已知函数8(%)=山-；奴(彳0),若屋力的最大值为-1,求的值.【解析】；g(x)
23、=f(x)-X2+-ax,f(x)=X2-0r+lnx(6rR)z即1g(x)=x2-r+lnx-x2+or=Inx-or,(x0),2-ax2x(x O).当Q0时,则2-ac0,则g(x)0恒成立，则g(x)在(0,+)上单调递增,.g(x)无最大值.7当0时,令g(x)=0,即20V=O,解得X=0.9令g(x)。,即2-如0,解得人一.7令g(x)。,即2-以0,解得工.又.xo,.在区间(o,上g(x)单调递增,在区间(2,+上g(x)单调递减.?当x=时,g(x)取得最大值,而g(x)的最大值为-1.g(x)max=g2a)2122=Ina-=InI=-Ialaa79则In=0,.一二1,解得a=2.aa
