《第一章三角计算及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章三角计算及其应用.docx（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一章三角计算及其应用在数控编程、建筑、测量、机械加工及电工学中，经常会用到三角函数的知识，进行相关的计算。本章主要介绍两角的和与差、坐标变换与参数方程、夏数及其应用及逻辑代数初步等内容。1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式1.1.1 两角和与差的余弦公式实例：在初中时我们就知道COS45=,COS30=,由此，大家可以猜想,22cos75=cos(30+45)是不是等于CoS30+cos45呢？如果COS75=COS30+COS45,则cos75=+1,明显出了问题，这样的猜22于是，OA-OB = PAMoqCOs( + ) = cos( + )又因为0A。8=cosacos/7-sin
2、asin所以cos(+/?)=cosacos一SinaSin尸.至此，我们就得到了两角和的余弦公式:(11)cos(+/7)=cosacos/一Sinasin将上式中的换成-万，则有cos(-)=cosa+(一夕)=cosacos(-)-sinasin(-/?)=cosacos+sinasin至此，我们就得到了两角差的余弦公式:cos(-)=cosacos/9+sinasin(12)说明：当a、为任意角时，(1.1)、(1.2)式仍然成立，读者不难通过锐角情况下的结论以及诱导公式来证明.想一意现在你可以算出cos75了吗？知识巩固例1求8S15的值。立XB 2 1 62 X2 X2 T解由于1
3、5=45-30,可以根据公式(1.2)得到cos15=Cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30512例2设Sina二点，sin/7=,且a和4都是锐角，求cos(a+0的值.解根据已知条件，可得由公式(1.1)得cos(a + 6)=cos a cos/y-sin a sin 已知Sina4,a/*力C。S加一口,匹(肛斗)5 2 /1。2 /，求cos(a + 4).解 由Sina =，a -, ,得CoSa =-Jl-Sin?a25 5M a ( 田.Q rT- 1 ( if 310一而/gI?万得SES 7Z0 =-h- =-由COS-则cos(+6)=COSae
4、OS6一SinaSin4练习1.1.11 .计算下列各式的值(I)cos800cos200sin80osin20(2)-cosl50+-sinl5o222 .设(,三若cos(+工)=1，求CoSa的值。I2；481.1.2两角和与差的正弦公式问题我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎样的呢？新知识7根据上节的知识，我们可以计算出cos()=sin,sin(a)=cosa,所以22sin(+4)=cos-(a/7)TT=cos(-a)-Jl=cos(-)cos+Sin(I-a)sin=sinacos+cosasin至此，我们就得到了两角和的正弦公式：sin(+)=s
5、inacos+cosasin?(13)在(1-3)式中，以一夕代换夕，就有sin(a一)=sina(-)=sinaCOS(一6)+cosasin(一/)=sinacos-cosasin至此，我们又得到了两角差的正弦公式：(I-4)sin(-)=sinacos-cosasin想一想为什么cos(a)-sina,sin(a)-cosa22知识巩固例4求sin75的值。解由于75=45+30,可以根据公式(1.3)得到sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30也X也yf2162VxT+Vx2-4-例5设Sina=a,且为第三象限角，求sin(-工)的值.53解由。为
6、第三象限角，知COSa=-l-sin2a.41432+23所以，sm()=sinacoscoscrsin=()=33352525练习1.1.21 .求sin315的值.2 .求sin800cos350-cos800sin35的值._,.2(Tr、x.3 .已知Slna=一,且,乃,求sn2a.13121.13二倍角公式问题受练习1.1.2的第3题的启发，你能发现更一般的规律吗？新知识在公式(1.3)中，当a=/时，有sin2=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa,即二倍角的正弦公式：sin2a=2sinacosa(1.5)同样地，在公式(1.1)中，当a=/
7、时，就是cos2a=cos(a+a)=cosacosasinasina=cos2a-sin2a,即二倍角的余弦公式cos2=cos2a-sin2a.(1.6)如果我们利用公式sin2a+cos2a=l,经过变形可得：cos2a=cos2a-sin2a=cos2a(1-cos2a)=2cos2a-1cos2a=cos2a-sin2a=(1-sin2a)-sin2a=1-2sin2a因此，cos2a还可以变形为下述表达形式：cos2a=2cos2a-1(1.7)cos2a=1-2sin2a(1.8)这些公式在三角函数的运算过程中发挥了重要的作用。知识巩固例6已知COSa=-”且a(X,r,求sin
8、2a与cos2a.13(2J解由于a第二象限角，知Sina=Jl-CosZ120利用公式(1.5)可得sin2a=2sinacosa=169119利用公式(1.7)可得cos2a=2cos2a-l=169例7已知COSa=且。是锐角，求sin与cos.522Ca解由公式(1.7),Wcosa=2cos12Ct又由于。是锐角，知上也是锐角,2十口a于是COS二2再利用公式sin2a+cos2a=l,可得呜=不呜邛.、，Xi.545兀、/.545TT.例8计算：(sin+cos)(smcos)12121212解根据平方差公式与公式（1-6）原式=Sin&-cos；125 5 S= -cos=一12
9、练习1.1.31 .计算下列各式(1) sinl5acosl5(2)l-2sin2750.(3)2cos2-l，62 .化简下列各式,41-COStt(1) cos*-sin*IW一Sa课后练习习题A1.填空(1)cos(+)=4(2) cos(+)=(3) cos(a+7)-=cos()cos()sin()sin()(4) cos(a+yff)-(a-)=cos0,30)的函数表示，这类函数被称为正弦型函数.那么它与正弦函数y=sinx有怎样的联系呢？新知识在三角函数那一章中我们已经知道，正弦函数y=sinx的定义域为R,值域为-1,1。由此我们容易看出：正弦型函数y=Asin(3%+0)的
10、定义域为R,值域为-A,A那么，正弦型函数是否和正弦函数一样，也具有周期性呢？我们不妨用Z来代换较为更杂的QX+0,这样y=Asn(x+)=AsinZ由于y=sinx的最小正周期T=2.=Asinz=ASin(Z+2)于是y=Asin(s+0)=ASinKGX+。)+2乃=Asin(x+-)+2力ASin(S+)=Asinfy(x+)+。这说明函数y=Asin(s+4)的周期T二生想一想为什么由ASin(S+)=Asin(x-)+可以得到函数y=Anx-)的周期T=?总结这里将3A0换为Z,就将正弦型函数与我们熟知的正弦函数联系起来了，便于我们探究正弦型函数的性质。这种方法在数学中被称为换元法
11、，它是一种重要的数学方法。知识巩固例1求正弦型函数y=sin(x+T)和y=3sing+)的周期.解根据正弦型函数的周期公式T=至函数y=sin(x+3-)的周期T=1函数y=3sin(g+)的周期T二牛二4;T2新知识我们知道，对正弦函数y=sinx,当x=2Z+2(2Z)时，y取最大值1：当37Tx=2攵乃+j-(AZ)时，y取最小值-1。下面，对于正弦型函数y=Asin(3+。)(A0,O),我们利用换元法来探讨当X取何值IMy取到最大值与最小值。令Z=S+。，这样y=Asin(Gx+0)=ASinZ当z=2Ur+工(kZ),即尤二生二+2(AwZ)时，y取最大值A；当22z=2k)+红
12、(ZWZ)时，即X=2-+迎(ZeZ)时,y取最小值-A。22知识巩固例2求函数y=3sin(2x+y)的最大值与最小值，并指出X为何值时函数取得最值解函数y=3sin(2x+?)的最大值与最小值分别为3与-3当2x+=2Z乃+3,仅wZ),即X=%乃+二时，函数y=3sin(2x+)取最大值332123TT347乃71当2x+-=2br+,Z),即x=%r+时，函数y=3sin(2x+-)取最小值-332123练习1.2.11 .求正弦型函数y=sin(x-1)和y=3sin的周期.2 .求函数y=13sin(4x+1)的周期，并指出X为何值时函数取得最大值和最小值。1.2.2正弦型函数的图
13、像实例借助图像，我们可以更加直观地研窕三角函数。研究正弦函数y=sinx的图像时，我们介绍过“五点法”作图，选取(0,0)l)p,0)吟,0)O,O,-o)新知识简谐交流电=,sin(初+例)中，。是电流强度的最大值，称为峰值；/称为角频率，单位为rads(弧度/秒)；创+仰称为/时刻的相位，外称为初相位(或初相)；T=称为简谐交流电的变化周期,单位为s(秒)；f称为频率，单位为Hz(赫兹)，它表示T单位时间内，简谐交流电完成周期变化的次数。一般地，正弦型函数y=Asin(s+O)(A0,30)中，A称为振幅(或峰值)，口称为角频率，。称为初相位(或初相)想一想:物理学中，经常把简谐运动的规律
14、用函数X=ACOS(69/+夕0)表示。你能否用正弦型函数表示它。知识巩固例4已知简谐交流电的电流强度随时间r的变化规律为/=36Sin(IOR+)，求出它的峰值、周期、初相位和频率.解峰值/,”=36（八）2100;T= 0.02 s频率/ = L=J_ 0.02=50 Hz例5试求=40Hz的简谐交流电的周期和角频率。解由/=L知，T=-=0.025sTf40由7=必知，角频率必=2=80;Frad/sT0.025练习123TT1 .求出简谐交流电=220sin(20R+-)的峰值、周期、初相位和频率.O2 .指出下列正弦型函数的振幅、角频率和初相位JTJT(1) y=3sin(xd)(2
15、)y=5sin(3x+-)463.作出函数=4sin（!+X）在一个周期内的图像，并指出它的峰值、周期、初相位和频率34课后习题习题A1.指出下列函数的周期、最大值和最小值(1) y = 5sin3x冗(2) y = 8sin(4x+y)TC(3)y=sin(4,x+y)2 .求函数y=13sin（5x+专）的最大值与最小值，并指出X为何值时函数取得最值3 .用“五点法”画出下列函数的图象(1) y = 3sin4x习题BTC(2) y = 2sin(2x+y)771 .指出函数y=cos（4x+）的周期、最大值和最小值TT2 .求出简谐交流电/=37Sin（Iom+巴）的峰值、周期、初相位和
16、频率.41Jr3.作出函数丁=44。（工+）在一个周期内的图像，并指出它的峰值、周期、初相位和频率。1.3正弦定理与余弦定理1.3.1 正弦定理问题在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理以及锐角的三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。对于一般的三角形，我们怎么办呢？新知识三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形,因此锐角三角形和钝角三角形都属于斜三角形。正弦定理可以较好的解决实例中的问题。正弦定理：在任一个三角形中各边和它所对的正弦比相等，即（IbCsinAsinBsinC证明：1 .在直角三角形中（图1-5）：sinA=-,sin=-,SinC=
17、Iccananc即C=,C=,C=.sinAsinBsinCabcsinAsinBsinC图-52.在斜三角形中(外接圆法)如图1-6所示，在aABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c,作AABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于D,设/xsBD=2R.由已知得NBAD=90,ZC=ZDsinC=sinD=-,则sinC=-2R2R同理可得一二2R,P=2RsinAsinB一=上=上=2RsinAsinBsinC图1-6综上所述得到正弦定理：在任一个三角形中各边和它所对的正弦比相等，即=(1-9)sinAsinBsinC知识巩固例1在AABC中，已知Z?=14,A=30,B=120,求
18、。解根据正弦定理有1433sinAsinB1.LZ?smA14sin30所以a=sinBsin120例2在AABC中，已知。=百，b=4i,B=45。求A、C及C解由正弦定理得二一=一sinAsinB所以SinA =asnB_V3sin45_V3b2-=T又因为B=45。90。即b=55。，ZBAD=5,于是我们就马上得到NCAB=60。现在还知道AB和AC,想要求BC,我们自然想到可以利用余弦定理来解决.图 1-11解在AABC中，由余弦定理得BC2=AB+AC2-2AACcosABC=JaB2+AC2-2AB.AC.cosA=1.802+1.502-21.8()1.50cos60=791.
19、67答：顶杆BC约长1.67米.例3某公园有一块三角形的池塘，（如图1-12）现在为便于游客观赏池中景物，准备修一架小桥，桥的两端要分别架在A点和BC边的中点D上。已知AB长60米，BC长70米，AC长50米，试求桥出AD的长度（精确到0.Ol米）。图1-12解在AABC中，根据余弦定理,A)+BC?-3_3600+4900-2500_526070由D是BC中点，BD=-BC=352在AABD中，再用一次余弦定理，得到:AD2=AB2BD2-2ABBDcosA于是,AD=4Br+BD-2ABD.cosA=3600+1225-26035=182542.72答：桥的长度约为长L67米.例4为了测量
20、电视塔的高度，某同学先在地面上一点A处测得一电视塔塔尖C的仰角为45,该同学向塔底方向前进100米至B处后，又在B处测得塔尖C的仰角为60（如图1-13）,试求此电视塔的高度CD。（结果保留一位小数）图1-13分析：这是应用三角函数知识处理实际问题的一个例子，测量电视塔的高度。在ABCD中，如果我们知道BC,那么CD就马上可以求出来，于是下面我们想办法求BC。在AABC中，己知NC48=45和AB=Io0,又由NCBD可知NAC,进而AABC中三个内角都容易得到,所以，我们只要利用一次正弦定理，就可以求出BC了。解：在AABC中，根据正弦定理可得：ABBCSinZACfi-SinZCAB其中，
21、NCAB=45而NACB=NCBD-NCAB=15利用两角差的正弦公式我们容易计算得到：sin15=Sin（45.30）=4应dz. ABsinZCAB SinNACB 273.20在ABCD中，NCoB=90,则CO=BaSin/CBD=236.6答：电视塔的高度约为236.6米.练习1.3.31 .甲、乙两塔相距60米，从乙塔底望甲塔塔顶仰角为45,从甲塔顶望乙塔塔顶俯角为30,则甲、乙两塔高度分别是多少？2 .甲、乙两船同时从8点出发，甲船以每小时10(J+l)h”的速度向正东航行，乙船以每小时20k的速度沿南60。东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求4、C两点的距离，
22、以及在A点观察C点的方向角.课后习题习题A1 .在AABC中，解下列问题(1) a=l,b=l,C=12Oo,求c；(2) 4=3/=4,c=质，求最大角；(3) q:6:C=I:6：2,求A,B,C.2 .在AABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和SinC.3 .完成下列填空(1)在aABC中，若从+/,则aABC为三角形；若=必+/,则aAB。为三角形；若/V/+/且v/+/且/VM+从，则aABC为三角形.(2)在aABC中，sin=2cosBsinC,则三角形为.4 .在AABC中，已知三条边长为5,7,8,求三角形的最大角与最小角的和.习题B1 .某时刻在A点正西方向400
23、千米的8处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？2 .为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,，则塔AB的高度为多少m?3 .某渔轮在A处测得北偏东45的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南偏东75的方向，以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿直线方向追捕，问渔轮沿什么方向、需几小时才能追上鱼群？1.4三角计算的应用举例新知识圆锥配合圆锥配合是设计各类机器的工件
24、时广泛使用的典型结构，主要分为外圆锥和内圆锥两类，如图1-14所示。设计过程中需要计算圆锥配合结构中的一些参数，本节主要介绍圆锥角和锥度这两个重要参数，并讨论它们的测量与计算.几何学中，把以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.而机械设计中,把由圆锥表面与一定尺寸所限定的几何体叫做圆锥如图1T4所示，在通过圆锥轴线的截面内，两条母线间的夹角称为圆锥角，常用。表示；圆锥角的一半称为圆锥半角或斜角，记为巳.2锥度是指圆锥的底面直径与锥体高度之比，如果是圆台，则为上、下两底圆的直径差与圆台高度之比值，常用C表示.即C=-,其中0、d分别表示上、下两底L圆
25、的直径，这里分别作为圆锥的最小直径与最大直径，L表示圆台的高度，这里称为圆锥的长度.锥度通常用比例形式表示，例如图1T5所示为圆锥配合结构经过轴线的截面图，其中NACB是直角。由平行性质，CL容易知道ZBAC=-,而且显然有22在AABC中，tanZBAC=-,于是ACD-dIanZBAC=-2=-=-C.1.2L2我们就得到了圆锥角与锥度C之间的关系:知识巩固例1如图1-16所示，己知一圆锥的长度为60mm,最大直径与最小直径分别为24mm和12mm,求它的锥度和圆锥角（精确到1）.于是1125.新知识棱体配合棱体配合也是设计各类机器的工件时广泛使用的典型结构。设计过程中需要计算圆锥配合结构
26、中的一些参数，本节主要介绍圆锥角和锥度这两个重要参数，并讨论它们的测量与计算.如图1-17所示，棱体是指由两个相交平面与一定尺寸所限定的几何体，这两个相交平面称为棱面，两棱面的交线称为楼边，两相交棱面间的夹角称为棱体角，常记为夕.并且把通过棱边且平分棱体角的平面EM称为棱体中心平面.棱体厚是指在平行于棱边并垂直于棱体中心平面的某指定截面上测量的厚度，如图179中的7和两指定截面的棱体厚T和，之差与该两截面之间的距离L之比叫做棱体比T-t率，记为C”于是Cp=如L图1-18所示.棱体比率也通常用比例形式表示。经过简单计算可知，棱体比率与棱体角的关系为：CT-t11Cn=2tan-=l:cot例2
27、己知一个棱体，两截面的pL222棱体厚分别为30mm和20mm,两截面之间的距离为40mm,求它的棱体比率和棱体角（精确到1）.T-tT-t30-201解根据棱体比率的计算公式Q=-,可得Q=工=2,即PLpL404,二14再由C=2tan2知，tai228查三角函数表可得，7730，于是夕1415.练习1.4a1 .已知一个圆锥体工件的圆锥半角上=15,圆锥长度L=60mm,最大直径2D=60mm,求此圆锥的最小值经.2 .已知一个棱体工件，两截面的棱体厚分别为25mm和20mm,棱体角/7=45,求此棱体两截面之间的距离.本章小结一、两角和与差的余弦公式与正弦公式0,30)的函数称为正弦型
28、函数，它的定义域为R,值域为周期T二生。(2)用“五点法”作出正弦型函数y=Asin(or+0)的图像。(3)简谐交流电=wsin(碗+%)中，w是电流强度的最大值，称为峰值；/称为角频率，单位为rad/s(弧度/秒)；诩+%称为1时刻的相位，化称为初相位(或初相)；T=生称为简谐交流电的变化周期,单位为s(秒)；/=,称为频率，单位T为Hz(赫兹)，它表示单位时间内，简谐交流电完成周期变化的次数。(5)正弦型函数y=Asin(s+0)(A0,30)中，A称为振幅(或峰值)，切称为角频率，。称为初相位（或初相）三、正弦定理与余弦定理（1）正弦定理,在任一个三角形中各边和它所对的正弦比相等，即s
29、inAsinBsinCo（2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2-c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2CoSC余弦定理的变式:COSA =b2 +c2 -a2IbcCGSB =2cacos C =a2+b2-c2Iab本章复习题习题A1.选择题：1.正弦型函数y=sin(4x-,)的最小正周期是()A.近B. 2C.2JT2. X为何值时，函数y = 5sin(4x + -)得最大值时()4 ,r、C冗 kA.F kr (ZWZ)B.H882C九 kC冗 kC. + D. + 一16 216
30、23.已知SinXtanXV0 ,化简Jl+cos2x的结果是()D.2_伏Z)A. V2cosx B. V2cosxC.及SinXD. -2sinx4.sin15-cos15的值是()a2r2C22如2d625.设cos=；,则sin2y=()A.B.C.243TD.146.函数y=石sin2x+cos2x的最小值是（)A.2B.-3C.1D.-27.函数y=5sin（4x+）的频率和初相位分别为（）6A./哈B.今吟0-D.工和C468正弦型函数ASin即“）在一个周期内的最高点的坐标为牛3）,最低点的坐标为5zr（,-3）,则。和。的值分别是（）4.2和工B.1和巴C.641和工6D.2
31、和工42.填空题：1.cos70ocos20o+sin70osin20o2.已知。是第三象限角，且sin,e+cos%=*,则sin29的值是.93.函数y=3sin（5x+马的周期是,当X二时，函数取得最大值;3当X二时，函数取得最小值。4.函数y=5sn(4x+)的周期为,振幅为55.用“五点法”作图时，函数y=5sin（4x-包）对应的五个关键点分别为，5习题B431 .已知COSa=,a(2,2)，求sin2a,cos20的值.522 .求下列函数的最大值，最小值和最小正周期(1)(y=sinx-cosx)(2)=Sinx-VScosx3 .正弦型函数ASin(S:+。)在一个周期内的最高点的坐标为(,5),最低点的坐标为(柔，-5),求A,。和。的值.4 .在同一坐标系中用“五点法”画出下列函数的图象(1) y=2sin(3x-y)(2)y=-sin(x+y)5 .设某质点作简谐运动，其振幅为4,频率为一，初相位为一一，写出这个质点的位移X与23时间f的函数关系式.6 .一艘轮船在海上A处测得灯塔B在北偏东60方向上，以后该船沿北偏东45的方向上以每小时24海里的速度航行半小时到C处，望见灯塔B在正东方向.求C处到灯
