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1、第9讲系数放缩若已知己)g(x),其中40且。是Fa)的系数,要证明力(x)(x)g(x)恒成立，只需要证明(x)4即可，也就是把人。)作为幻的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩.【例1】证明：4sin+2,lnx-3x2-10.【解析】证明：所证不等式等价于x(3x-21nx+-)4sinx.由三角不等式可得xsinxO,只需证明3x-21nx+24即可.X冯心/、3Oi,1卬/2213x2-2x-1(3x+1)(-1)设h(x)=3x-2nx+-，h,(x)=3y=z=.XXjVxX./(外在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.(x)(l)=4,BP3x-2lnx+-
2、4X由三角不等式可得xsinxO.x3x-21nx+-4sinx,原不等式得证.【例2】已知函数/(X)=曲设以幻=12+/),其中r(x)为/()的导函数.证明：对x0,g(x)l+e2.eA-(lnx+l)etInx-I【解析】证明：ff=；.ee所证不等式等价于：IInX1)x+x)X1+e-21-xlnx-xO=-InX-2O=Xe2.P(X)在(Od)单调递增，在卜-2,+8)单调递减.P(X)j(e-2j=l+e2.若要证I-XInX-X1etx+1.x+lv)x+1设g(x)=e*-X-I,/(X)=e*-1,令g(x)O解得x0.q(x)在(0,+8)单调递增.rer.q(x)
3、q(0)=0.:.qx+=1.x+/.1-xlnx-x(1+e2),即原不等式得证.x+1v,【例3】已知函数/(x)=-lnx-a(meR).若机=1,求证:X(x)+x-)In(X+1)-1q【解析】证明；要证(-Inx-a)ln(x+l)-1j,即证(l_xlnx_ar)x!My+!)0(X)单调递增.当X(e+D,+8)时,Zf()0)，则kx)=!1=0,+x1+x.M(x)在(0,+oo)上单调递减.则&(X)VA(O)=0,即ln(l+x)0)恒成立.-1、ln(x+1)e+l后.(1-XInX-OV)X-怛成立.Xe(/(x)+x-。)In(X+1)-10时，若关于X的不等式/
4、(x)(恒成立，求。的取值范围.(2)当xe(l,+8)时，证明：eDInxvf-%ejr【解析】(1)由/(x)0得-Mlnx+恒成立.X令u(x)=In%+,则u,(x)=-r=J!,XXXX幻在(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增.(x)min=L.,-al,即T,故的取值范围是-1,+8).证明由(1)题知，。=一1时，有JdnXx-l,要证巡二!2klx,可证巡二12i),只需证eTx.e,xerX易证ex+l(证明略)，.ex.要证InXl,.x-lO.xTx(X-I)=f-尤.InXX2-X.综上所述，当Xt(I,+8)时，ynx0,X：.函数/(X)在(0,+00)上
5、单调递增，且gl)=O.二.在(0,1)上，g，(X)0.在(1,+8)上，gO.二.函数g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.证明由(1)题可知，g(x)mhl=g=7),即/(x)(e+l)x-l.221要证/(x)Z-+X1,只需证(e+l)x1Z-+X1,即证一.ex2ex2eer令人(Jo=2，则/(x)=3.当X(0,1)时，(x)0(X)单调递增.e-rer当XG(I,+8)时出(X)V0,(%)单调递减.11Y故(x)max=(1)=-即一jeee对任意x(0,+8),f(x)y+x-l恒成立.【例3】已知/(x)=lnx+2+g+2)+(R).(1)讨论函
6、数f(x)的单调性；(2)设Z,对任意K0,(x)0恒成立，求整数”的最大值;(3)求证:当x0时，eA-XlnA:+21-f+-io.【解析】(1)/(x)=InX+or?+g+2)+l(R),1j,ol+2ax+(a+2)x(2x+l)(ax+l)f(X)=+2ax+3+2)=(x0)XXX若0,则，*)0,函数在(0,+8)上为增函数. 若o可得OVXV-L 由r（x）-L a上为增函数，在，+8（2）若0,贝J（l） = 2 + 30,不满足题意. 若av,则/（幻在（0,因此/（x）在（0 ,上为减函数.-|上为增函数，在bJ,+上为减函数.G=O=吧0.设g(x)=lnx+x,则g
7、(-L)0.(x)=l+l0,.8(幻在(0,+8)上单调递增.X且g=10%)=吗+；0.故存在唯一闻(g,1),使得g(%)=o.当XW(O,/)时，g(x)0.故OV,解得./(-21)又4Z,Cl2.a综上，。的最大值为-2.证明由(2)题可知，。=2时，/(x)=lnx-2x2+l0.In2x2-1,-xlnx-2x3+x.e*-xnx+2xi-x2+x-leA-2x3+x+2x3-x2+x-l=ex-x2+2x-.i己u(x)=ev-x2+2x-l(x0),则u,(x)=ex-2x+2.记A(x)=eK-2x+2,则(x)=e*-2.由(幻=、-2=0可得=1112.X(0,In2
8、),h,(x)0.函数人(X)在(0,ln2)上单调递减,在(k2,+8)上单调递增.ZZ(X)min=Qn2)=e,n2-21n2+2=4-21n20.(x)0.u,(x)0,函数w(x)0.m(x)在(0,+8)上单调递增.(x)(0)=0.即e*f+2,x10,xXInX+2/f+10.凹凸性切线放缩如果要证明的两个函数一个是凹函数f()(向下凸出的函数)，一个是凸函数g(%)(向上凸出的函数)，则证明/(x)g(x)时，去找它们的共切线y=+8，只需要证明/(x)yg(x)即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩.【例1】已知函数/(x)=Inx-L2,证明：f(x)-Jx4+1-.444
9、【解析】证明：将原式变形为4lnx-f0时，et+c2eu1lnx+l.X【解析】(1)f(X)=Qx-X2,(x)=ev-2x,由题设得/=e-2,/=el.曲线/(x)在x=l处的切线方程为y=(e-2)(x-l)+e-l,即j=(e-2)xl.(2)证明令g(x)=r(x),则gx)=eA-2,当XVln2时，g)ln2时，g(x)O.函数冢#=广*)在(-00,112)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增，g(x)mb=g(ln2)=/Xln2)=2-21n20,.函数f(x)=ev-f在(0,+8)上单调递增，且为凹函数.由于曲线/(X)在x=l处的切线方程为y=(e-2)x+l(l)=e-l,可猜测函数的图像恒在切线j=(e-2)x+l的上方.先证明当x0时，/(x)(e-2)x+l.h(x)=/()-(e-2)X-l(x0),则(%)=/_2x_(e-2)th(x)=ex-2.当xvln2时，人(x)ln2时，h(x)0,厂.(X)在(O,In2)上单调递减,在(1112,+8)上单调递增.由(0)=3eO,(1)=0.0ln2l,.(ln2)0.当(,1)时，h,(x)0时，er-x2(e-2)x+l,变形可得十。一)1%X又由于xlnx+l,当且仅当尤=1时，取等号(证明略)，eA+(2-e)x-|nx+1当且仅当=1时，取等号.
