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1、第十二章全等三角形（知识归纳+题型突破）1.了解全等图形与全等三角形的概念与性质.2 .掌握三角形全等的判定方法.3 .掌握角平分线的性质与判定.一全等图形Ift念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：形状相同.大小相等.对应边相等、对应角相等.小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.二全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作：MBCA,BfC读作：J8C全等于A4B,C对应顶点：力和4、8和8、C和C;对应边：ABA,BBC和8C、4C和4C对应角：N4和N4、NB和N、NC和NC对应元
2、素的规律：（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；三、全等三角形的判定（重点）i般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角CASA）角角边（44S）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（/）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.四、证题的思路（难点）五、角平分线的性质与判定概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线.角平分线的性质：角平分线上的点
3、到角两边的距离相等；数学语言：VZMOP=ZNOp,PAVOMPBYON工PA二PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上.数学语言：-PALOMPBLONPA=PB：./MOP=/NOP六、角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线.2.角平分线加垂线，三线合一试试看.3.角平分线平行线，等腰三角形来添.4.也可将图对折看，对称以后关系出现.题型一全等图形识别例题：（2023春全国七年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A生c承玉，令W【答案】B【分析】根据全等图形的概念判断即可.【详解】解：A.两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；8
4、、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；C两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；。、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关键.【巩固训练】1.（2023春广东深圳七年级北大附中深圳南山分校校考期中）下列四个选项中，不是全等图形的是（）AQOOOcD令令【答案】C【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可.【详解】4经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；B.经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项
5、不符合题意；C.两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；D.经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意.故选C【点睛】本题考是全等图形的定义.掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键.2. (2023江苏八年级假期作业)请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是.【答案】(1)(4)(5)(6).【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可.【详解】解：(1)(5)是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，(4)是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，(6)是将其中一个图形旋转180。再平移得到的，(2)(3)
6、形状相同，但大小不等.故答案是:(1)(4)(5)(6).【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义.3. (2023春七年级课时练习)如图，四边形48CDg四边形若N2=110。,ZC=60o,Nzy=IO5。,则/5=.【答案】850【分析】根据全等图形的性质，ND=ND,再根据四边形的内角和为360。得到/8.【详解】解：根据题意得：No=No=105。，Z5=360o-ZJ-ZC-ZD=360o-110o-60o-105o=85,故答案为：85。【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键.题型二全等三角形的概念和性质例题：(2023春江
7、苏盐城七年级校考期中)下列说法中，正确的有()形状相同的两个图形是全等形面积相等的两个图形是全等形全等三角形的周长相等，面积相等若AABgADEF,则4=ND,AB=EF4. 1个8.2个C3个Q.4个【答案】4【分析】根据全等的定义和性质判断即可.【详解】形状大小都相同的两个图形是全等形，故错误；面积相等的两个图形不一定是全等形，故错误；全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故正确；若48CqZOM,则乙4=NO,AB=DE,故错误；故正确的有1个.故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义.【巩固训练】1.（2023全国八年级假期作业）已知BCgADE
8、F,且/4与/。是对应角，/8和/E是对应角，则下列说法中正确的是（）A.力C与。”是对应边B.AC与。E是对应边C.ZC与E厂是对应边D.不能确定4。的对应边【答案】4【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案.【详解】解：.N，与/。是对应角，/8和NE是对应角，.NC和N尸是对应角，力。与。尸是对应边，故选/.【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键.2. （2023秋八年级课时练习）如图，AABC必ADE,电AEBD,4。B=25。,则NBAC的度数为.【答案】25。/25度【分析】先根据平行线的性质得到NZME=403=25。，再由全等三角形的性质即
9、可得到/BAC=NDAE=25。.【详解】解：VAE/BD,ZADB=25,.*.ZDAE=ZADB=25ot,ABCAADE,JZBAC=ZDAE=25of故答案为：25.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键.3. （2023江苏八年级假期作业）如图，MBCMDE,且New=I0。，N6=NQ=25。，N45=120。，求ZDFB和/DGB的度数.【答案】NDFB=90。,NDGB=65。【分析】由JBC=JOE,/.DAE=/.BAC=EB-CAD）,根据三角形外角性质可得NDFB=NFAB+NB,3FAB=ZFAC+ZCAB,即可求得
10、N。EB的度数；根据三角形内角和定理可得ZDGB=ZDFB-ZD,即可得/DG8的度数.【详解】解：.J8C三AWE,:DAE=NBAC=MEAB-NCAD）=#12丁一10?）=59.NDGB=NDFB-ND=9&-2=65i.综上所述：NDFB=90,NDGB=65。.【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键.题型三添一个条件使两三角形全等例题：（2023春山西临汾七年级统考期末）如图，B,F,E,。四点共线，BE=DF,Na=NC.若要使ABFACDE,则需要添加的条件是（只需添加一个你认为合适的条件即可）.【答案】/B=Q（答案不唯一）【分
11、析】由题意知，添加的条件为NB=NO,可证4457FACDE（AAS）.【详解】解：由题意知，添加的条件为NB=NO,：BE=DF,BE-EF=DF-EF,KPBF=DE:乙B=乙D,ZJ=ZC,BF=DE,产gZC0E（AAS）,故答案为：Z.B=Z.D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定.解题的关键在于确定判定三角形全等的条件.【巩固训练】1. （2023春广东七年级统考期末）如图，已知ZADC=NBDC,要判定%（?QgZXBCO,则需要补充的一个条件为（只需补充一个）.【答案】NA=NB（答案不唯一）【分析】添加条件为N4=N8,CD=CD,根据AAS即可推出两三角形全等.【详解】解：
12、添加条件为N=N8,NA=NB理由是：T在力Co和ABCO中，ADC=ZBDCtCD=CD：.JCD5CD(AAS),故答案为：N4=NB（答案不唯一）.【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.2. （2023春广东茂名七年级统考期末）如图，点。,E分别在线段43,ZC上，BE,CZ）相交于点O,48=NC,要使448Ega4C0,需添加一个条件是（只需填一个即可）.【答案】AE=AD（答案不唯一）【分析】根据三角形全等的判定定理求解即可.【详解】VAB=ACfZA=ZA/.当添加的条件为/E=力。时，JCP（SAS）.故答案
13、为：AE=AD（答案不唯一）.【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL（直角三角形）.3. （2023秋八年级课时练习）如图，已知4=/。=90。，要使用“HL”证明445CgZOC3,应添加条件：:要使用“AAS”证明a%BC2OC8,应添加条件：.【答案】AB=DC（或/C=O8）NACB=NDBC（或ZABC=NDCB）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使448CgaOCB,已知乙4=/。=90。，BC=BC,添加的条件是直角边相等即可：要使用“AAS”，需要添加角
14、相等即可.【详解】解：已知乙4=/。=90。，BC=BC,要使用“HL”，添加的条件是直角边相等，故答案为：AB=DC（或ZC=OB）;要使用“AAS”，需要添加角相等，添加的条件为：ZACb=ZDBC（或ABC=NDCB）.故答案为：NACB=/DBC（或ZABC=DCB）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定.本题的关键是，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.题型四三角形全等的判定方法例题：(2
15、023云南玉溪统考三模)如图，点B,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求证：AABCmADFC.【答案】见解析【分析】根据题意，运用边边边的方法证明三角形全等.【详解】证明：VBf=CF,工BE+CE=CF+CE,WBC=EFi在J6C和。尸E中/.B%4DFE(SSS).【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键.【巩固训练】1 .(2023春全国七年级专题练习)如图，已知NE=90。，点5,。分别在力尸上，AB=AC,BD=CD.(1)求证：AABD9AACD;(2)求证：DE=DF.【答案】(1)见解析Q)见解析【分析】(1)直接根
16、据SSS证明即可.(2)根据(1)得NEAD=/FAD,然后证明EZ)gT即可.【详解】(1)解：证明：在A45O和CO中，：,AABD%AACD(SSS).(2)解：由(1)知44BZ)gzMCz)(SSS),：4EAD=4FAD,在EQ和44/7)中，AAEDAAFD(AAS),：DE=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键.2 .(2023春全国七年级期末)如图，在ABC中，。是BC延长线上一点,满足CD=BA,过点C作CEAB,且CE=8C,连接OE并延长，分别交4C,AB于点F,G.(1)求证：aABC*DCE(2)若8。=12,AB=I
17、CE,求BC的长度.【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)根据SAS证明即可；(2)根据全等三角形的性质解答即可.【详解】(1).CEAB,NB=NECD,在J6C与AOCE中，AB=CDNB=NECD,BC=CE:ABC%DCE(SAS)；(2) VABC知DCE,：.AB=CD,BC=CE,：AB=ICE,：.CD=IBC,/BD=I2,：BD=CD+BC=3BC=Yl：.BC=4.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质.3. (2023浙江温州温州市第八中学校考三模)如图，在和aECO中，NABC=NEDC=90。，点B为CE中点,BC=CD.求证：
18、AAB84ECD.(2)若8=2,求4C的长.【答案】(1)见解析(2)4,见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据BCgZkECO(ASA)和点B为CE中点即可求出.【详解】(1)证明：,；N4BC=NEDC=90。,BC=CD,ZC=ZC,/.(ASA)(2)解：,.CD=2fBCgAES(ASA),BC=CD=2,AC=CE,点B为CE中点,：.BE=BC=CD=2,CE=4,AC=4i【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键.4. (2023秋八年级课时练习)如图，已知点C是线段48上一点，NDCE=A=B,CD=CE.(1)求证：AA
19、CDqABEC:(2)求证：AB=AD+BE.【答案】(1)见解析Q)见解析【分析】(1)由NDCE=乙4得ND+NACD=NACD+NBCE,HPZD=ZBCE,从而即可证得AACDg/XBEC：(2)由ZkJCQgZXBEC可得力。=BC,AC=BE,即可得到4C+5C=40+6,从而即可得证.【详解】(1)证明：.NOCE=N/,.ND+NACD=ACD+NBCE,:./D=NBCE,在A%5和48EC中，Z=NBZD=NBCE,CD=EC/COgZ8EC(AAS);(2)解：MACgABEC,ADBCAC=BE,.AC+BC=AD+BE,:.AB=AD+BE.【点睛】本题主要考查了全等
20、三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.5. (2023春七年级单元测试)如图，已知力。、BC相交于点。AB=CD,4L8C于点/,DNlBC于点、N,BN=CM.(1)求证：AABM沿ADCN；(2)试猜想04与OD的大小关系，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)0A=0D,理由见解析【分析】(I)根据HL可证明(2)根据AAS证明MogADNO可得结论.【详解】(1)证明：TBN=CM,.*.BNtMN=MN+CM,即CN=BM,VAMBCtDNlBC,；NAMB=NDNC=9伊,在RtBM和RtADCN中，AB=CDbm=cn,：.RSABMgRSOCN(HL)
21、;(2)解：OA=OD,理由如下：.AABMdDCN,AM=DN,AAOM=NDNo在?!MO和GNO中，&M0=NDNO,AM=DN：.力MOm八DNo(AAS),：.OA=OD.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.题型五角平分线的性质与判定定理例题：(2022秋河南开封八年级校考阶段练习)如图，RtZ4BC中，ZC=90o,N45C的平分线8。交ZC于点O,若8=3cm,则点。到力8的距离是cm.【答案】3【分析】过。作。E于E.根据角平分线性质求解即可.【详解】解：过D作DEJ.4B于E.如图，:8。是N48C的平分线，ZC=90o,DEl
22、AB,LDE=CD.VCD=3cm,.,.DE-3cm.故答案为：3.【点睛】本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键.【巩固训练】1.（2023春贵州七年级统考期末）如图，已知AB/ICD,射线力E平分N84C,过点E作_L4C于点作EFAB于点F,并延长FE交CD于点G,连接CE.若ZAEC=90o,EH=X则FG的长为.【答案】2【分析】先根据平行线的性质可得NA4C+N4C=180。，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等“可得NACE=ZECD,再由4NCD,G/_L45,可得G尸IC。，由角平分线的性质可得E/=EG=EH,即可求出产G的长.【详解】VAB/CD,
23、:.N6C+Z/ICo=I80,即/BAE+NCAE+ZACE+NECD=180.:4EC=90,.ZCAE+ZACE=90,.BAE+ECD=9Qo.TNE平分NBNC,:BAE=/CAE,:.NACE=NECD,JCE平分N4C0.VABCD,GFLABtGFlCD.EHIACfEF=EH=1,EG=EH=I,：FG=EF+EG=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”.熟练掌握以上知识，且证明CE平分N4C0是解题的关键.2.(2023秋全国八年级专题练习)如图，已知OE工力B垂足为E,NC垂足为产，BD=CD,BE=CF.(1)求证：力。平分/
24、34C；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE,请你帮他写出证明过程.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)首先用HL判断出Rta8EO丝RtaD,根据全等三角形的对应边相等得Z)E=进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得4。平分N%C;(2)首先用HL判断出RtEZ)咨Rt7),根据全等三角形的对应边相等得/E=*,结合BE=C尸，根据线段的和差即可得出结论.【详解】(1)证明：OEL8,DFlAC,aZ=ZDFC=90,在RtABED和RSCFD中,BD=CDBE=CF.RiABED2RfACFD(HL),：.DE=DF,；DE上AB,DFIAC
25、,:.NEAD=ZCAD,./。平分/切。；(2)解：QDE=QAFD=90。，在RtaEO和Rt/尸。中AD=ADDE=DF.RtEDqRlFD(HL),AE=AF:BE=CF,AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE-CF+AE+CF=IAE.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键.3. （2023秋浙江八年级专题练习）已知：如图，在放-45C中，ZC=900,。是ZC上一点，DE于E,且DE=DC.（1）求证：BO平分/48C；（2）若44=36。，求NoBC的度数.【答案】（1）见解析（2）27【分析】（1
26、）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明.（2）根据宜角三角形的两个锐角互余求得度数.【详解】（1）证明：-DCLBC,DElAB,DE=DC,点。在ZABC的平分线上，.8。平分/48。.（2）解：.NC=90,4=36,.ZABC=54QBD平分/ABC,:.ZDBC=ZABD=27.【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键.4. （2023春广西北海八年级统考期中）如图，在中，NNBC的平分线与N4C5的外角平分线交于点尸，PDLAC于点、D,PHLBA千点、H.（1）若PH=8cm,求点尸到直线BC的距离；（2）求
27、证：点P在4C的平分线上.【答案】8cm（2）见解析【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上.【详解】（1）解：作尸。_L8E于0,如图，又Y平分46C,PHLBA,.PQ=PH=8,即点P到直线BC的距高为8cm；（2）证明：VPC平分N/CE,且PDA.AC于点D,PQ工CE,：.PD=PQ,又PH=PQ,：PD=PH,点P在NHAC的平分线上.【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键.题型六几何动点中求使三角形全等的值例题：（2023春新疆乌鲁木齐八年级乌市八中校考
28、开学考试）如图，在aBC中，ZJCB=90。，AC=3f8C=4,点C在直线/上.点P从点A出发，在三角形边上沿ZTCT5的路径向终点3运动；点。从3点出发，在三角形边上沿6C力的路径向终点A运动.点尸和。分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，分别过P和。作尸EJj于点E,。尸于点尸，则点P的运动时间等于秒时，PEC与aCFQ全等.【答案】1或（或6【分析】分四种情况，点P在ZC上，点。在8。上；点P、。都在4C上；点尸到BC上，点。在ZC上；点Q到A点，点P在
29、BC上.【详解】解：fPEC与KFQ全等,斜边PC=斜边C。，分四种情况：当点P在4C上，点。在BC上，如图：-CP=CQft=42/./=1,当点P、。都在4C上时，此时P、。重合，如图：-CP=CQ,3Z=2/4T当点P到6C上，点。在4C上时，如图：vCP=CQ,/./3=2/4.J=1,不符合题意,当点。到A点，点P在6C上时，如图：.CQ=CP,，3=f-3,.t=6f综上所述：点尸的运动时间等于1或j或6秒时，JEC与KFQ全等,故答案为：1或（或6.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键【巩固训练】1. （2023秋八年级单元测试）如图，已知线段43=201,
30、财力_148于点4,M4=6m,射线”于8,P点从8点向4运动,每秒走1孙0点从5点向。运动,每秒走3小,尸,。同时从8出发,则出发秒后，在线段也上有一点C,使口尸与尸8。全等.【答案】5【分析】分两种情况考虑：当AXPCgZXBQP时与当力尸CgZ8P0时，根据全等三角形的性质即可确定出时间.【详解】解：当力PCgZ8Q0时，AP=BQ,即20T=3x,解得：x=5；当4?C之时，AP=BP=B=Q,此时所用时间X为10，AC=BQ=30MA,不合题意，舍去；综上，出发5秒后，在线段赫!上有一点C,使。尸与心。全等.故答案为：5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方
31、法是解本题的关键.2. （2023春上海虹口七年级上外附中校考期末）如图，AB=S,BC=0,Co为射线，NB=NC,点P从点5出发沿6C向点C运动，速度为1个单位/秒，点。从点C出发沿射线Co运动，速度为X个单位/秒；若在某时刻，48尸能与aCP。全等，则X=.【答案】1或1.6【分析】设运动时间为工秒，由题意可知，BP=I,CQ=xt,分两种情况讨论：当修尸CQ时;当445gZXQW时，利用全等三角形的性质，分别求出X的值，即可得到答案.【详解】解：设运动时间为，秒，由题意可知，BP=I,CQ=xt,：BC=IO,.CP=BC-CP=IO-I,当445修尸C。时，AB=CP,BP=CQ,8
32、 = 10-/,解得:t = 2X = ,当a45WZQCP时，AB=CQ,BP=CP,S = Xtt = 0-t解得:综上可知，X的值为1或1.6,故答案为：1或1.6.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键.3. (2023春陕西西安七年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图1,在长方形48CQ中，AB=CD=6cm,BC=IOCm,点P从点B出发,以2cms的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为自且r5(1) PC=Jjm(用含，的代数式表示)(2)如图2,当点尸从点8开始运动时，点。从点C出发，以vcm/s的速度沿Co向点。运动，
33、是否存在这样的y值，使得以4、从尸为顶点的三角形与以R。、。为顶点的三角形全等？若存在，请求出V的值;若不存在，请说明理由.【答案】(1)(10-2/)；(2)当V=I或v=2.4时，力BP和APCQ全等.【分析】(1)根据题意求出BP,然后根据PC=8C80计算即可；(2)分448P丝ZXQCP和445PgZPC0两种情况，根据全等三角形的性质解答即可.【详解】解：(1)点户的速度是2cms,.,.ts后BP=Itcm, PC=BC-Bp=(10-2E)Cm,故答案为：(10-2/);(2)由题意得：CQ=Wcm,B=C=900, 只存在448PgZ0CP和BP四APCQ两种情况，当a8Pg
34、ZPCQ时,：.AB=PC.BP=CQ,10-2/=6,1t=vty解得，t=2,v=2,当4BPgZ0C0时，：,AB=QC.BP=CP,2=102r,vt=6,解得，片2.5,v=2.4, 综上所述，当V=I或v=2.4时，Z49P和尸C。全等.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解.题型七三角形全等判定与性质综合问题例题：（2020秋广东东莞八年级校考阶段练习）如图，在“BC中，NC=90。，NCAD=/BAD,DE上AB于E,点尸在边4。上，连接。（1）求证：DC=DE.（2）若力C=8,48=10,且“8C的面积等于24,求OE的长.若CF=BE
35、,直接写出线段力民力REB的数量关系：.【答案】（1）见解析QQE=9（3）AB=AF+2E【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；（2）根据三角形4C6的面积=ZCZ）的面积十三角形408的面积，即可求得OE的长度；（3）根据线段之间的关系，即可得至J45=47+2E8.【详解】（1）证明：NC=90o,DElAB,/CAD=ZBAD DC=DEx（2）解：:SjcB=S4ACD+S“dB.Sc=ACCD+ADE,又.4C=8,AB=10,DE=DC,且J8C的面积等于24,.24=-3DE+0DE,22(3)解：VZC=AED=90o,在力。和中，NCAD=NBADZC=ZAED,A
36、D=ADCD5JED(AAS),AC=AE,.AB=AE+EB，:.AB=AC+EB,AC=AF+CF,CF=BE,.AB=AF+2EB.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明CogZlfi0,根据全等三角形的对应边相等解决问题.【巩固训练】1.(2023春辽宁丹东七年级校联考期末)如图，在J6C中，D为上一点,E为力。中点，连接OE并延长至点尸，使得EF=EO,连CR.求证：CFAB:(2)连接BE,若NABE=25。,3E平分N/8C,CAABCF,求/力的度数.【答案】(1)证明见解析(2)65【分析】(1)先利用SAS证明/)EgK尸E,得到4=NEC
37、/，即可得证；(2)利用平行线的性质和角平分线的定义，求出4CF的度数，再根据4=NEC尸，即可得解.【详解】(1)证明：.E为ZC中点，/.AE=CE,在VzlOE和中，AE=CE4ED=NCEF,DE=FE.AADECFE(SAS)f=NECF,:.CF/ABi(2) -ZABE=25o,BE平分NABC,:.ZABC=2ZA8E=50。,.ABCF1:2BCF=180o-ZABC=130o,.C4平分NBC产，.ZACF=-NBCF=65,2=ZECFf:.ZA=ZECF=65,.4的度数为65。.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算.解题的关键是证明
38、三角形全等.2. (2022秋河南开封八年级校考阶段练习)如图，8户是经过N/5C顶点8的一条直线，AB=BC,E、。分别是直线上两点，且ZAEB=NBDC=a.(1)若直线勿经过/43。的内部，且、。在射线8户上.【问题情景】如图1,若乙48C=90。，=90o,则4ADE、。之间的数量关系是；【问题解决】如图2,若a=120。，那么当NJBC=。时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由;(2)若直线BF经过/ABC的外部.【拓展提升】如图3,ZABC=a,请写出关于NE、DE、OC三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由.【答案】(1)【问题情景】AE=DC+DE；【问题解决】60,理由
39、见解析；(2)【拓展提升】DE=AE+DC,理由见解析.【分析】(1)首先证明出“3E知BCO(AAS),然后利用全等三角形的性质求解即可；(2)首先证明出“绦BCQ(AAS),然后利用全等三角形的性质求解即可.【详解】(1)VSBC=90 NABE+ZCBD=90Va=90/.NAEB=90：.ZJBE+ZBIE=90：.NBAE=NCBD又VNAEB=Z.BDC=90o,AB=BCBEBCD(AAS)AE=BD,BE=CD,:BD=BE+DE：AE=DC+DE；60,理由如下：,.ZAEB=NBDC=a=120o ZABE+ZBAE=180o-AAEB=60.又VABC=ZABE+4DBC=60,JNBAE=NCBD.在“BE和八BCD中,：.ABEBCD(AAS).：,BE=DC,AE=BD9：BD=BE+ED=DC+ED AE=DC+DE；(2)DE=AE+DC.理由如下：/AAEB=/BDC=ZABC=a.*.ZABD=ABC+ZCBD=NBAE+ZAEB.又,：NAEB=NABC,：,/EAB=乙CBD.在AABE和ABCD中,：.ABEBCD(AAS)BE=DC,AE=BD：,ED=BD+BE=AE+DC.【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理.
