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1、第一章集合与常用逻辑用语1 .元素与集合(1)集合中元素的特性：、.(2)元素与集合的关系：如果是集合力的元素，就说集合4记作:如果不是集合力中的元素，就说集合4记作.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及其记法：数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N或(N+)ZQRC注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加,这是因为便不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.2 .集合间的基本关系文字语言符号语言记法子集集合力中的任意一个元素集合B中的元素x4=x8(或)真子集集合A是集合B的子集，但B中存在元素AA7B,且mxo8,X
2、(AAB(或8J)相等集合力的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合8的任何一个元素都是集合4的元素AQB,且空集不含任何元素的集合Yx,0,00_8(8#0)注：(1)子集的传递性：AJB,BGC,则力GC(2)子集个数：对于有限集合4其元素个数为，则集合力的子集个数为2”，真子集个数为2”1,非空真子集个数为223 .集合的基本运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合xxA,或x三B交集由所有属于集合集合8的元素组成的集合xx三A,且x三B补集由全集U中集合A的所有元素组成的集合xx三U,且xAL04 .集合运算性质(1)并集运算性质：AUBA；4U838
3、；AUA=A;AU=A;AUB=JA.(2)交集运算性质：J5J;ACBQB;AClA=A;0=0;AB=BA.(3)补集运算性质：ACl(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(QH)=A.(4)重要等价关系：ACB=AAQB=AUB=BxACB=AUB=A=B.5 .元素个数记含有限个元素的集合4,8的元素个数为cd(4),card(B)f则：card(AUB)=card（八）+card(B)card(4115).6 .德摩根定律又称反演律，即CU(C)=(CU4)U(CU5),Q(U5)=(CUA)(CUB)7 .五个关系式AQB,ACB=AfAUB=B,CUBqCU4以及4门(CUB)
4、=。是两两等价的.4 .充分条件、必要条件与充要条件如果p=q,则称是9的,9是P的.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件P是q的充分不必要条件记作且P是g的必要不充分条件记作一且P是9的充分必要条件（简称充要条件）记作P是9的既不充分又不必要条件记作一且答案：5 .全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“V”表示.含有全称量词的命题，叫做.全称量词命题“对”中任意一个工，p（x）成立可用符号简记为.（2）存在量
5、词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做,并用符号”于表示.含有存在量词的命题，叫做.存在量词命题“存在A/中的元素X,p（%）成立可用符号简记为.10.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题否定结论x,p(X)E/,-P(X)全称量词命题的否定是存在量词命题（2）存在量词命题的否定存在量词命题否定结论3xp(x)Vv-P(X)存在量词命题的否定是全称量词命题11 .充分、必要条件的传递性若P是9的充分（必要）条件，夕是的充分（必要）条件，则P是的充分（必要）条件.12 .以下说法等价p=g;P是夕的充分条件；夕是P的必要条件；P的一个必要条件是夕；g的
6、一个充分条件是p.13 .关键量词的否定（I）常用全称量词的否定每一个所有的一个也没有任意存在一个有的至少有一个存在（2）常用存在量词的否定至少有个至多有一个存在至多有一1个至少有两个任意(3)一些常见判断词的否定是,定是都是大于小于不大于不是不一定是不都是小于或等于大于或等于大于14 .充分、必要条件与集合间的关系：集合=xp(X),B=xq(X)，则：(1)若则P是夕的充分条件；(2)若8力，则P是夕的必要条件；(3)若4*8,则P是9的充分不必要条件；(4)若84,则P是9的必要不充分条件；(5)若4=B,则P是4的充要条件：(6)若48且力8,则P是夕的既不充分也不必要条件.用描述法表
7、示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道=(x),My=f(x)，G，歹)y=G)三者是不同的.弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题.【例题】6,给出下列关系：R；R；I-3|gn；I-6归Q.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.47.设集合M=2加一1,加一3,若-3M,则实数加=()A.OB.-1C.O或-1D.O或1【练习题】8 .已知集合M=同一N,N,用列举法表示M=.5-4J14-Y9 .已知集合4满足Vx4,A,若3,则集合力所有元素之和为()I-X74A.OB.IC.-D.-6310
8、.已知集合4=H3+2=的元素只有一个，则实数”的值为（）Q9A.B.0C.一或0D.无解88【易错题小练习】11 .集合4=,b,c中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形12 .已知集合力=l,3,0,B=3,w2,若5=4,则实数机的值为（）A.0B.1C. -1D.3判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合.己知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，须关注子集是否为空集.一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异
9、性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.【例题】13 .已知集合=4,x,2y,B=-2,x2,-yt若A=B,则实数X的取值集合为()A.-l,0,2B.-2,2C.-l,0,2)D.-2,1,2Fa114,设A/=XX=,左Z，N=xx=k+-,ksZ(,则()I2J2JA.MNB.NMC.M=ND.MCN=015 .集合4=xx-70N.,则6=川;eV,y4的子集的个数为()A.4B.8C.15D.16【练习题】16 .己知集合4=1m,6,B=aa,abf若4=B，则/必+/?=.17 .已
10、知集合满足2,3=M=1,2,3,4,5,那么这样的集合时的个数为（）A.6B. 7C. 8D. 918 .已知集合4=q,%，%的所有非空真子集的元素之和等于9，则4+电+%=（）9A.1B.2C.3D.-4【易错题小练习】19 .已知集合4=|-3x4,8=x|2加一lx加+l,且8仁4,则实数机的取值范围是20 .已知集合4=卜卜=Jx-2b3=xx,若A土B,则的取值范围为（）A. a2B.a2C.a0D.a0集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩（於加）图等进行运算，还要注意延伸知识的考查.集合运算中的求参数问题，首
11、先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合（包括用数轴、韦恩（）图等）及端点值的取舍.（一）交、并、补运算【例题】21.已知集合U=1,2,3,4,5,6,M=2,3,4,N=4,5,则1,6=()A. MuNB. MCNC.(MUN)D.d(11N)【练习题】22.设集合=x-lx2,8=xN0x3,则4118=()A1B.0,1C. x0x2D.x-lx323.己知集合4=xN-lx3,8=2,4,则4u3=()A.1,2,3B.1,2,3,4C.0,l,2,3,4D.-1,0,1,2,3,424.己知集合4=3歹=2工户1,3=(=,歹)
12、=工+1/1,则()A.A11B=,2B.B=(1,2)C. 4=3=RD.AoB=025.已知全集U=xx9,xN,集合力=3,4,5,B=4,7,8.求:(1) AcB;(2) AuB；(3)(轲C(.(二)由集合的运算求参数【例题】26 .已知集合4=1,3,q2,B=l,67+2,AdB=A,则实数。的值为()A.2B.-l,2C.1,2D.05227 .已知全集U=R,4=xx-2或x,8=x0xv5.(1)当=l时，求ZC3，AuB，()j(2)若4CB=B,求实数。的取值范围.【练习题】28 设全集U=R,M=x13xV24+5,P=x-2x1.(1)若=0,求(f)CP.(2)
13、若Mq,求实数a的取值范围.29 .已知R为全集，集合4=xlx7,集合8=H+2+5.(1)求玲力；(2)若4c8=x3x7,求实数Q的值.【易错题小练习】30 .已知集合4=x2+lx3-5,8=xx16.(1)若A为非空集合，求实数。的取值范围；(2)若4口5=4,求实数。的取值范围.31 .已知4=x-2x3,8=x2xv3,全集U=R(1)若=2,求/n(d，B)；(2)若43B,求实数。的取值范围.韦恩(忆)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩()图所呈现的集合关系进行运算.【例题】32 .已知集合”=xx(x-2)0,N=xx-lO,则下列Venn图
14、中阴影部分可以表示集合xlx2的是（）33 .集合U=xx10且xN,AqU,BqU,且NnB=4,5,Q.8)cl=l,2,3,(桐)c(*)=6,7,8,则8=()A.4,5,6,7B,4,5,6,9C.4,5,9,10D.4,5,6,9,10【练习题】34 .设全集U及集合M与N,则如图阴影部分所表示的集合为()A.McNB.MuNC.MD.d(UN)35.如图,两个区域分别对应集合48,其中4=-2,-l,0,l,2,3=kNk5=xx4且X纪团，已知集合4=-3,2,2,3,8=-3,-1,1,2,则力8=A.-3,2B.-l,lC.-2,3D.0【练习题】39 .定义集合*8=zz
15、=中,x4e8,设集合4=T,0,l,5=-1,1,3,则力*3中元素的个数为（）A.4B.5C.6D.740 .定义集合力+8=5+”彳4且;8.已知集合/=2,4,6,B=-l,l）,则4+8中元素的个数为（）A.6B.5C.4D.7充要条件的三种判断方法：定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p=q及4=P的真假；第三步，下结论.集合法.等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.【例题】41 .下列命题中是假命题的有（）A. -ab-a2的充分但不必要条件B. b”是“ac2bc2”的必要但不充分条件C. 1”是“x1”的既不充分也不必要的条件XD.iim
16、l”是“不等式/-2x+m0在R上恒成立的充要条件,则它成立的必要条件可以是（）C. m4D. -tn2C. a-2D. a = 442 .若关于X的方程x2+（z-l）x+l=O至多有一个实数根A.-1m3B.-2z0,b0,则“/”是“工”的abA.充分不必要条件C.充要条件求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解;求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.【例题】46 .已知集合P=xa+x2a-,Q=x-2x5.（1）若4=3,求（尸）C0；（2）若xP是工。”充分不必要条件，求实数。的取值范围.【练习题】47 .设U=R,已
17、知集合=x-2x5,B=xm+lx2n-.（1）当4B时，求实数团的范围；（2）设p：xe4；q：XB,若P是夕的必要不充分条件，求实数加的范围.48.设集合4=|-1%3,8=疝一用工(加+1,加0,命题rx4,命题q:XWB（1）若P是4的充要条件，求正实数机的取值范围;（2）若P是4的充分不必要条件，求正实数用的取值范围.1、否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词.否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.2、己知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另
18、外注意转换，如本例,从而转化为一元二次不等式恒成立问题.将存在量词命题为假命题转换为全称量词命题为真命题,（一）全称、存在量词命题的否定【例题】49.命题“VxR,sinxX”的否定是(A. 3x R,sinxxB.3xf? R,siar xC. Vx R, sinx 1,r+10”的否定为（A. 3x 1, x2 +1 l,x2 + l0D.xl,x2 + l1,5%2”的否定是（）A. Vx 1, X3 X252.命题“rwR, x + xO.的否定是（A. 3x R , x + x X2,D. Bx l,x3 X2B. VX R , x + x0D. WXC R , x + x053.已
19、知命题：“VxeR, /+加工+加+ 30”为真命题，则实数2的取值范围为（）A. m-2 m 6B. m 机 2C. w-6zw2D. 加|加 6【练习题】54 .已知命题P： xR, M 一;t + 20为假命题，则实数4的取值范围是.55 .若TXo R, 2mx：+2向x0-30是假命题，则实数7的取值范围是【易错题小练习】56 .已知命题p： Hx, yZ, 2x + 4y = 3 ,则（）A. p是假命题，P否定是Vx,yeZ , 2x + 4y3B.p是假命题，P否定是3c,yZ, 2x + 4y3C.p是真命题，P否定是VX,yeZf2x+4y3D.p是真命题，P否定是x,yZ
20、,2x+4y357 .已知命题p:DXV0,x20,则P的否定是（）B. x0,x20D. 3x0,x20A.Vx0,x2OC.3x0,x2O58 .王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作从军行中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今.由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的()D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件59 .某国近日开展了大规模Co如19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示()A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者60 .中国古代数学专著孙子算经中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女儿何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为,此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.61 .中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：己知4=xk=37+2.N,62 =xk=57+3N,C=xx=7h+2,117*,若xcBcC,则下列选项中符合题意的整数X为A.8B.127C.37D.
