《重难点06圆锥曲线中的定点、定值问题（十六大题型）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重难点06圆锥曲线中的定点、定值问题（十六大题型）（解析版）.docx（65页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、重难点06圆锥曲线中的定点、定值问题【题型归纳目录】题型一：面积、弦长定值题型二：数量积定值题型三：斜率和定值题型四：斜率积定值题型五：斜率比定值题型六：线段定值题型七：斜率和过定点题型八：斜率积过定点题型九：角度相等过定点题型十：垂直过定点题型十一：弦中点过定点题型十二：数量积过定点题型十三：线段比过定点题型十四：向量相等过定点题型十五：坐标定值题型十六：斜率定值【方法技巧与总结】1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量.（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值化简得到
2、的函数解析式，消去变量得到定值.2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.常用消参方法：等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系尸色,m）=0,用一个参数表示另外一个参数左=/佃），即可带用其他式子，消去参数4.分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值.因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉.参数无关消参：当与参数相关的因式为O时，此时与参数的取值没什么关系，比如：y-2+kg（x）=0t只要因式g（x）=O,就和参数没什么关系了，或
3、者说参数人不起作用.3、求解直线过定点问题常用方法如下，（1）“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程y-%=4（-o）或截距式y=h+b来证明.一般解题步骤：斜截式设直线方程：y=kxm,此时引入了两个参数，需要消掉一个.找关系：找到人和?的关系：?=/（幻，等式带入消参，消掉参数无关找定点：找到和人没有关系的点.【典
4、型例题】题型一*面积、弦长定值例1.（2023福建厦门高二统考期末）已知点N在曲线ug+4=l上，O为坐标原点，若点A/满足o6ON=y2OM,记动点M的轨迹为.求的方程；已知点P在曲线C上，点A,8在曲线上，若四边形O4P3为平行四边形，则其面积是否为定值?若是,求出定值；若不是，说明理由【解析】（1）设（xj）,N（x,v,yJ,因为点N在曲线C:：+!=l上，OO所以与=1,o6因为丽=两，所以卜v=f）代入L=I可得（8）+的）=1,yN=2y8686即+或=1,即的方程为+以=1；4343（2）设N（XQJ,8（%2,必），P（XO,九），因为点P在曲线C上，所以总+区=1,86因为
5、四边形。尸8为平行四边形，所以加=忘+砺，所以（XOJo）=&+移乂+3），所以8+覆）+（凹+为=,又立+K.=、K+K=1,864343所以华+华=0,43因为和吟+f+T2所以（X仍-乂占了=12,直线。/：MX-Xly=O,点8到直线。力的距离d所以平行四边形O加归的面积Som=2gg=ICdd=Jl+dJr一，=I4丛_%司=2.J片+M例2.（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆：1=l（60）的左焦点为尸，左、右顶点分别为A,B,上顶点为尸.（1）若APFB为直角三角形,求的离心率；若=2,6=1,点。，0是椭圆上不同两点，试判断“归。|二|尸。#是。，。关于J轴对称
6、的什么条件？并说明理由；若。=2,6=退，点T为直线=4上的动点，直线74,T8分别交椭圆于C,Q两点,试问尸CZ）的周长是否为定值？请说明理由.【解析】（1）如图尸(-c,0),P(0,ft),B(,0),PF-(-c,-Z),PB=(,-6),由题意即方=0，ac=b2=a2-c2故C=Le?,解得离心率e=迈二12（2）必要不充分条件.必要性：根据椭圆的对称性可知，当。，O关于y轴对称时，|尸。|二|0。用成立；充分性：椭圆方程为二+/=1,设。(XJ),4?IPQ2=X2+(厂I)2=-3)2-2y+5,在(TI)上不单调,2所以可举反例：分别取必=0,为=-鼠使得P0=P。#=不，但
7、。，。不关于y轴对称.即 0(2,0),。当令(3)由题意，N(-2,0),8(2,0),椭圆方程为EZ1=1,43设（4）,则直线4T的斜率为匚之可=，方程为：y=（+2）,联立椭圆方程得(27+12)x2+4/X+4r-108=0,X+Xc =_4r_27+754-2t2 272代入户（。+2）得1=品54 2/227+ Z218/27 + *)同理直线87的方程为：j=（x-2）,联立椭圆方程得(3+f2)2-4+4-12=0,+=*故XD=，代入y=:(x_2)得%r,1）,梯形/8CDm的四个顶点均在上，且AB/CD.设直线”的方程为V=Ax（AwR）.若48为的长轴，梯形48C。的
8、高为且C在48上的射影为的焦点，求?的值；设次=&,MM=2CO,力。与8C的延长线相交于点M,当上变化时，ZM48的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）梯形46CD的高为;，.”=:，代入椭圆方程得：X；=手，.C在48上的射影为的焦点，.-l=即匚，又/1,.m=2.4（2）当刑=时，椭圆=0+/=；设/(XQJ,6(/,乃),C(%),Q(x4,h),T+r=，W：(1+22)x2-2=0,x1+x2=0,X1X2=.1+2%y=KXQ48CQ,.可设在线。：y=b+E,X22_J(l + 22)x2+4to + 2r2-2 = 0,T+y一得:y=kx+
9、t则A=80+2F-)o,解得：/T+k2J(Xl+x2)-4x1x2c*E卮3F/二.产vJB = 2CD整、皇，即小年点M到直线AB的距离为直线CD与AB间距离的2倍，d=2x/,Jl+3刎T第出需挑受S即2M48的面积为定值.题型二：数量积定值例4.(2023上海静安高二校考期中)己知耳、乃分别为椭圆：+=1的左、右焦点，过6的直线/交椭圆于力、8两点，记原点为O.当直线/垂直于X轴时，求弦长；当方丽=-2时，求直线/的方程；是否存在位于X轴上的定点M(?,0)使得祝话始终为一个定值.若存在，请求出机；不存在，则请说明理由？【解析】(1)由题意知，G(-LO),将-1代入椭圆方程得y=1
10、,33不妨设4-13)，5(-1,-),所以8=3.33（2）由（1）知，当直线，斜率不存在时，不妨设4-14），8（-1,-=）,2233则04=（-1,5）,OB=（-1,-）,95所以O4O3=l-1=-1-2,不符合题意，舍去，44所以直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=%（+D,y=k(x+)/y2=(3+42)x2+Sk2x+42-12=O,1143设Na,乂）,B（X2,当），pilx+x-82h_叱_12人也+”3+4*书-3+4公所以-5k2-23+ 4FOAOB=x1x2+yiy2=xlx2+k2(xl+I)(x2+1)=(1+A:2)x1x2+k2(x1+x2)+k2
11、竺壬（二纥）十公3+4公k3+4）t2解得：公=2,所以A=J，所以直线/的方程为：y=2（+l）.（3）假设必丽是个定值.当直线/的斜率存在时，一8左2,X,+X7=712 3+4公_立2_19由（2）知，x1+y,y2=-12,23+4k2因为M4=(X-也必)，M=(x2-m,y2)f所以MA.MB=(x1-m)(x1-m)+yy1=x1x2+yy2-m(xx+x2)+mSk2-2-Sk2m x,; (丁)+ =3+4k23 + 4k2(-5 + 8m + 4w2)2 + 3-12要使得忘砺是,个定值，则-5+86+4渥=3?2-1243解得：n=-,O135此时A仍=.643?当直线/
12、的斜率不存在时，由(1)知，-1,-)，B(-1,-),则M4=(T-呜)，MB=(-mf-)9所以M8=(m+l)2-,411ns当AM=-一时，MAMB=.864综上，存在m=-二，位于X轴上的定点”(-2,O)使得必.荻是一个定值为一臂.8864例5.(2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测)已知椭圆：+=1(60)的左、右焦点分别ab为片、F2,斜率不为0的直线/过点耳，与椭圆交于48两点，当直线/垂直于X轴时，43=3,椭圆的离、士1心率e=.求椭圆M的方程；在X轴上是否存在点尸，使得莎丽为定值？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c(c0)
13、,则：=；,将X=Y代入椭圆方程得：+=l,解得y=公，所以竺1=3,abaa又/=+c2,综合解得：a=2,b=3,c=l,所以椭圆A1的方程为二+己=1.43(2)存在.设 P(m,0),联立方程:A(xl,yl)tB(x2iy2),直线/：X=一1,z+/143一，得(3/+4)/-9=0,x=ny-所以乂+%二号乂必=UPA=(Xl-wty1),PB=(x2-m,y2),/2(32+4)-4(3/+4)+8?+11_28+113/+41+3/+4当8?+II=O,即加=一?时，P/P8为定值一二，所以存在点尸KO）,使得石而为定值.例6.（2023全国高三对口高考）已知（2,2）是抛物
14、线Uy2=2p上一点，经过点（2,0）的直线/与抛物线C交于48两点（不同于点E）,直线E4E8分别交直线=-2于点，N.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；已知。为原点，求证：NMoN为定值.【解析】因为仪2,2）是抛物线Uy2=2PX上一点，所以4=4p,即p=l,所以抛物线方程为：=2x,其焦点坐标为：（别.（2）证明：如图：设力，必）,M（一2,W）,N（-2n）,设直线/方程为X=My+2,直线/方程与抛物线方程联立得？77+2y=2消去工,整理得：/-2wy-4=0,A=4+160恒成立.则%=T，乂+%=2机，乂一2/又直线4的方程为：一2=在一二即y=_（x2）+2.2M+N所以丽
15、丽黯浸-=4若会尸所以OM人ON,即NMoN=工，为定值.2变式1.（2023高二单元测试）已知过点M（2,0）的动直线/与椭圆0：占+广=1交于48两点，问：在X62轴上是否存在定点。，使得方.在+次2的值为定值？若存在，求出定点。的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意，设直线/的方程为x=nr+2,设点4再,必),8。2，%)，X=my+2联立方程组/2,整理得(z+3)V+4叼，-2=0,一+=I62,.f14m2可得必+y2=-2=-，rn+3m+3假设在X轴上存在定点。亿0),使得厉.荔+厉2为定值，因为Z)N=&T,必)=(孙+2-t,yJ,DB=(my2+2-t,y
16、2),11得DAAB+DA=DA(AB+DA)=DADB=(my+2-)(my2+2-/)+yly2二一2(八Di2(2-)隹-)2*-)2-一J为定值,m+3+32 7-27.25则4/-10二-一，解得=一，且此时O48+O=(2一)2一一=,3 3339所以在X上存在定点g,0),使得刀.在+方才的值为定值一变式2.(2023四川成都成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系XQy中，直线/:x=-2与X轴交于点A,过/右侧的点尸作尸M_L/,垂足为加，且IPH=IPM+N.求点尸的轨迹C的方程；(2)过点5(1,0)的动直线7交轨迹C于S,T,设0(-3,0),证明：木.行为定值.【
17、解析】(1)由题意，直线/:x=-2与X轴交于点A,过/右侧的点，作PM_U,可得。(0,0),/(-2,0),设P(XJ),则M(-2,y),因为Ipd=IPM+可得再赤了=IX-(-2)|+2,即J(X+2)2+/=+4,整理得V=4x+12(2)当直线/的斜率存在，可设直线Ly=Z(X-I),联立方程组，整理得公/一(2公+4)工+公一12=0,y=4x+12设S(XQI),7氏,必)，因为直线/与曲线C交于两点，则A=(2公+4)2-4公(公-12)0,.2公+4A:2-12“x+2=F，须9=-H-，KK因为。(T0),可得证=+3,必),/=(/+3,%)，所以3g7=区+3)(/
18、+3)+yly2=(xl+3)(x2+3)+F(x,-l)(x2-l)=1-二+公-12+6+g-2/-4+9+攵2=0；k2k2当直线，的斜率不存在，此时直线/:x=l,联立方程组口，解得x=4,不妨设S(l,4),T(l,-4),y=4x+12此时无=(4,4)而=(4,-4),可得函5=0,综上可得，否为定值0.变式3.(2023上海宝山高二统考期末)已知椭圆：，+，=1(60)的焦距为2,且过点。,白).求椭圆的标准方程；A、8分别为椭圆的上、下顶点，O为坐标原点，过椭圆的左焦点尸作直线/交椭圆于C、。两点,与V轴交于点.若点。是线段Co的中点，求点。的轨迹方程；设直线4。与直线BC交
19、于点N,求证：两.而为定值.【解析】(1)依题意，a2-b2=t由点(1,孚)在上得1工31，解得一27+F=,俨T所以椭圆的标准方程为V=1.(2)由知，N(Oj),B(0,T),显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=A(+l),由+Ij消去V得(2公+12+442+2公_2=O,设C(x,M),O(X2,必)，于是X+X=孚-,XX=置二3,设线段CO的中点O(Xj),1 -2k2+,22k2+_al2k则2a:=x1+x2=-r-，2y=y,+y2=k(xl+x2+2)=-7-，K+1乙K十1当左Wo时，两式相除得2=上,代入上式化简得/+、+2/=0夕工0),当左二O时，线段Co的
20、中点。的坐标(0,0)满足上述方程，所以。的轨迹方程为+x+2=0(除去点(-1,0)；由直线/的方程y=%(x+l),得点M(O,公,当无=O时，ADHBC，不符合题意，因此“0,当/点异于A、8点时，设N(%0,Mj),由EN,C三点共线，得d=L由A,N,。三点共线，得匹二=S,而M-=f,x1x0x2X0x1+x22lr两式相除得1l=j%一】力西-王(xl+k)x2+x2_Ax1x2+(k+)x2(kx2+k)xl-xlAX1X2+/-I)Xl(_42)X+(4+)2/(+1)(1衣)%十(衣+1)刍J+Z(I-Ar)2Jr1+(I-Ar2)X2-(1一”1(1一左)芭)(l+1)x
21、j11三?解得依)=1，从而而丽=o=l,为定值，当M点与A点乖合时,k=1,N(0,1),为=1,满足OON=kyfi=,当M点与3点重合时=T,N(O,T)o=-1,满足两丽=。=1,所以丽丽为定值.题型三：斜率和定值例7.(2023安徽高二校联考期末)已知直线/：阻+歹-2加-3=0过定点A,双曲线22C:宗=1(。0力0)过点A,且C的一条渐近线方程为y=8.求点A的坐标和。的方程；若直线r：y=履+1小1)与C交于“，N两点，试探究：直线4,/N的斜率之和是否为定值，若是,求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由直线/:MX+y-2机-3=0知，E(x-2)+(y-3)=0,
22、得定点/(2,3).-491=Ir.故C的方程为2-=l.(2)由(1)知,4(2,3),设MaM,Ngy2).联立*-=Ly=kx+整理得(3-r)/一2奴一4=0,则3-公工0，且A=48-12o,:,42V4且左23,2k-4再+/=汴，52=立，所以直线4M,/N的斜率之和是为定值，定值为3.例8.(2023湖南长沙高二校联考期中)已知抛物线T:/=2PX(Opo,解得P=2,所以T的方程为V=4x(2)当直线/的斜率为。时，显然不适合题意；当直线/的斜率不为0时，设直线，的方程为X=W+加设0),/(再,必),8(工2，丁2)，v2=4联立y2-4ty-4m=0,x=ty+m则A=1
23、6+16?0,必+乃=4/,必必=一4?，所以XX=2l.2l=/,又方.赤=12,44所以XM2+必必=/-4w=12,所以一4M12=0,解得m=6或TW=-2(舍去)，即C(6,0),所以。(-6,0),所以小3得=竺+塞4F)x1+6x2+6(X+6)(X2+6)又XM+当必+6(必+必)=(%+6从+仇+6M+6+%)=如%+121+必生-4&+4&=0,所以Ko+即为定值.例9.(2023河北沧州校考模拟预测)已知椭圆U5+,=l(bO)过点力(2,),点8与A关于原点对称，椭圆C上的点满足宜线HA与直线HB的斜率之积为一!.4求椭圆。的方程；(2)直线/:,=*+与椭圆C相交于,
24、N两点，已知点尸(-2,1),点。与“关于原点对称，讨论：直线尸。的斜率与直线PN的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【解析】因为椭圆。:捺+/1伍60)过点力Q),所以=2L)22设”(/Jo)满足军鸟=1,则5=-不，abx-aa又网-2),则kH4*kHB=-!-n-Joy-产=-=-=-1=b=2,HAB4x0-22x0224/4所以椭圆。的方程工+X=182(2)直线Ly=gx+f,代入椭圆U2+4=8,可得/+2a+2/一4=0，由于直线/交椭圆C于M,N两点，所以A=4-4(2f2-4)0,整理得-2E0)的焦点，过点尸且斜率为逐的直线与C交于4B两点
25、S少OB=2戈(O为坐标原点)求抛物线C的方程；过点以0,2)作两条斜率分别为人，右的直线心I2,它们分别与抛物线C交于点P,。和R,已知IEPHE0=IERHESl,问：是否存在实数丸，使得占+和为定值?若存在，求/1的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)抛物线C：Y=2Py(P0)的焦点尸(0,9，仃线”的方程为y=J5+勺由=瓜+f消去y并整理得：x2-245px-p2=Qf设ZaM,8(.qM，/=2py则xl+x2=2亚p,XX2=-p2,x-x21=y(xi+x2)2-4x1x2=y20p2+4p2=2娓P,因此S=glTl为玉I=SXgXMP=RX,而p0,解得p=2,所以抛
26、物线C的方程为Y=4y.（2）存在2=1,使得勺+助2为定值.依题意，fi1y=klx+2t直线4：尸板+2,由:丫+2消去整理得/_4AIX_8=0,设P（XQ3），。（乂），x=4y则七十匕=4尢3%=-8,|尸=7171%11七。1=7?,41，EPE0I=8（1+V）,设R（X5,必）国小，”），同理/+彳6=4GX5/二-8,且有IERHESl=8（1+芍）,由EPE0=EKES,得8（1+奸）=8（1+右），即F二后，而占如则勺+质=。，所以存在4=1,使得占+生为定值0.变式5.（2023河南平顶山高二统考期末）已知椭圆从W+4=l（b0）经过点4（0/），且离心率为昱2-求椭圆
27、E的方程；若经过点（-2,-1）,且斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点P,。（均异于点4）,证明：直线4P与4。的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知：b=l,e=-又/=/+。2,解得=2,b=l,e=6a2所以椭圆方程为=+/=I4（2）证明：由题意可知宜线尸。有斜率，由于（-2,-1）与点4（0,1）的连线的斜率为-AW=1,且（-2,-1）的。一（一2）横纵坐标恰好与。=2,b=1相反，因此直线P。有斜率人满足A0且A1,直线产。的方程为：y=k（x+2）-fy=A-(x+2)-l联立直线与椭圆方程:工22=(I+4/)/+8(23-%”+14炉一=o,彳+T=I设P（X,必）,
28、。（，必），则王+x2 =8(24-Ay6(人女)1+软2内,2+m2=Zl+zL=(凹-1)+仇-I)XI=依+22卜?+任+2%-2，(Axl+2k-2)x2+(kx2+2k-2)xi2kxlx2+(Jc-2)(cl+x2)X/2收82公必）16（公女）小组将$+X,=-M为X,=一代入可得1+4公,2+4k216年 T);2F2W-2)Ir i JL _ 1AQ AL16(E)1 + 4-232k(k1 -)-8 (2k -2 )(2k2 -k ) 16 -k )16 R-k )1故直线XP与力。的斜率之和为1,即为定值，得证.题型四：斜率积定值例10. （2023 贵州遵义高二统考期中
29、）已知双曲线C：2 b2l（0,b0）的左、右顶点分别为4,4,且顶点到渐近线的距离为竿，点P是双曲线C右支上一动点（不与4重合），且满足4，p4的斜率之积为4.（1）求双曲线C的方程.过点。（-2,0）的直线/与双曲线C交于X轴上方的“，N两点，若E是线段MN的中点，尸是线段MN上一点，且需=瑞，O为坐标原点，试判断直线OE,的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）双曲线1-4=1（。010）的渐近线方程为），=34,即瓜土砂=0,因为顶点到渐近线的距离为乎，所以段W=咨=4,设Pa）JO）（X0工），4（-。，0），4（,0）,则%=所以=4（片_力）
30、,因为点P（XOJO）在双曲线上，所以号-吟=1,所以=（x2）,abav所以，=4,所以T=1，b2=4,/=5,所以双曲线的方程为f-Zi=1.4(2)设直线朋N的方程为X=叩-2,(x1,yl),N(x2,y2),2上=1联立4，得(4/一)/-16冲+12=O,X=my-2则=(-16m)2-4(42-1)I2=64wr+480,所以必+%二群仍124m2 -1因为直线/与双曲线C交于X轴上方的，N两点,所以M+% H(Ia ,即彳My2 207 J,解得利-504 -1所以3号=高叫d高即E2 8w-37 , 4 )-4m -1 4rn -1所以无二丝=4机，XE又黑=鬻，所以工IN
31、尸INQyF-y2y224所以力=22l=1Tyl+y2IbM2m4m2-1所以XF=WF 2 = ；，所以产_3_ 22m=Xf Ifl所以3=4mT2,即直线0E,。尸的斜率之积为定值-12.例11.（2023湖南长沙长沙市实验中学校考二模）已知双曲线/一/=的左、右顶点分别为小，A2,动直线/：P=依+而与圆/+/=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（x1,yl）,（演，）求攵的取值范围;记直线尸的斜率为Q,直线PMz的斜率为心，那么攵#2是定值吗？证明你的结论.【解析】（1）/与圆相切，. m2 = + k2 ：，(1-k2)x2-Imkx-(n2+1)=O,XJy=1-k20=4
32、m%2+40左)(J+1)=4(/W2+1-k=8(,m2+1八X1=；0)的右顶点和上顶点分别为A, B, 2 b1 C例为线段48的中点，O为坐标原点，且。MMB = V火2求椭圆C的方程；已知圆O:/+/=?, P为圆。上任意一点，过点P作椭圆。的切线，交圆。于点。，若O尸与0。斜率 都存在，求证：勺尸勺。为定值.【解析】 依题意可得力(I), 8(0,6), j5 = (-2,),1 ,、所以08 = 1+=一一从，所以=,2所以椭圆C的方程为：+ / = 1.2(2)若尸。的斜率不存在,则P(,l), 0(技-1)或尸(-61), (-2-1),此时* kOQ =彳；若尸。的斜率存在
33、时，可设宜线尸。的方程为y = H+%尸(%乂)，0(2，%)，1,.,.-1Zr1,故人的取值范围为(TI).(2)由己知可得4,4的坐标分别为(T，0),(1,0),y = kx + n,由匕 2 ，联立消去y可得, x+y=3i(AJ + l)2 + 2kmx + m1 -3 = 0,m2k2+k2-2m2k2+n2k2-m2k2-m2方程(+1)/+26X+/-3=0的判别式4=4/-4(r+1)(/-3)=12-4/+12)0,2kmm2 -3再+L=中2=Kyly2 = (Ax1 + m)(京2 + 1)=m2-3k2k2 + 所以 OP kQ=里加23公m2 -3当直线尸。与椭圆
34、相切时,由，y = kx + tn,X2 2联立消去N可得,万+ V=L(2k2 + )x2 +4kmx + 2m2 -2 = 0 ,=16m2-4（2Ar2+l）（2m2-2）=0,化简得2公+|=/，所以自尸，心=-,综上可得%为定值一万.变式6.（2023上海浦东新高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆E：+/=1,A,B,C是椭圆4七上三个不同的点，原点。为“BC的重心.求椭圆E的离心率；如果直线AB和直线OC的斜率都存在，求证为定值；试判断“8C的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为/=4,所以。=2,又从=1,所以02=/一从=3,解得C=JL所
35、以椭圆E的的离心率e=32（2）设直线的方程为歹=履+而，y = kx + m联立住+ /=4 -(1 + 42)x2+8Ax + 4w2-4 = 0,设Z（XQJ,8（吃,必），C（X3,%），则须+/=-8：，XIX2=，1十*1+.（Smk k XI .所以噎=坐驾=人马铝+ =一+w）玉+工因为原点。为“SC的重心，所以毛=一（玉+Z），必=一（乂+%），+2m1I.4l+2（3）因为原点。为“8C的重心，所以当直线48的斜率不存在时，必有C（-2,0）或0（2,0）,当0（-2,0）时，直线力8的方程为x=l：当C（2,0）时，直线力8的方程为x=-l,将X=-I或者X=I代入椭圆方
36、程，均求得I815,又点C到直线AB的距离均为3,因此S=BC=-33=-c22当直线彳8的斜率存在时，设直线48的方程为=辰+”，由（2）知玉+/=一Smkl + 24w2 -4 卬”瓦而z SmkXL(XaW)=询乃=一（必+乃）=2m + 4k2(SmkY因为Ca3,M)在椭圆上，代入椭圆方程可得IJaLI/一2，丫-十11+4*一化简得4*=1+4*,又AB=F正IXLxj=在彳_774y4k2-m2+_4y|同y+k21+4-1+442C到直线ZB的距离为:卜MxI+/)+闭一一仇+必)|_IyI履+必一5+?Ll+713w43m+k265/3,-X/；=为定值.2+:21+4A21
37、+4A22综上所述，J8C的面积是为定值毡.2变式7.(2023安徽蚌埠高二统考期末)已知M,N分别为双曲线G：1-/=和双曲线a：/1=上不与顶点重合的点，且MV的中点在双曲线G的渐近线上.(1)设CM,ON的斜率分别为人,为，求证：他为定值；判断AMCW的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【解析】(1)设“(和乂)(电，必)，则f-才=1,苧T=T由MN的中点在双曲线G的渐近线上，则IT)(M+此j二0，即作-疗+仔-芳)+传-2凹必)=0/2=M=;为定值.中24(2)OM.y=kix(1)2C1I-V2=I(2),44联立(1)(2)得：H=而同理，石4k-l,4
38、 suftw=gpMd设N到直线OM的距离为d ,则d = 1 = K- - &）|21|1L 11 rtl i）经过点且离心率e=*.求上的标准方程；经过原点的直线/与椭圆E交于A,8两点，P是后上任意点，设直线总的斜率为占，直线R9的斜率为k2,证明：尢乂是定值.【解析】（1）依题意得：11-1/+*=解得=I所以椭圆E的标准方程为X.（2）因为直线/过原点，设N（XO,汽），B（-x0,-y0）,P（XM.所以占=匕皿，右=匕3X-X0X+o所以用心=口必=口;X-XoX+xoX-X（l又因为gxj = l,亡+ /=1,所以占%是定值.题型五：斜率比定值例13.（2023广东深圳高二深
39、圳中学校考期中）已知椭圆G，+=l（ab0）的右焦点是产R6）,过点产的直线交椭圆C于48两点，若线段48中点0的坐标为W，-号.求椭圆。的方程；(2)已知尸(0,-乃是椭圆。的下顶点，如果直线产区+1(k0)交椭圆C于不同的两点M,M且N都在以尸为圆心的圆上，求的值；过点,j作一条非水平直线交椭圆。于&、S两点，若4,8为椭圆的左右顶点，记直线力&、BS的斜率分别为幻、42,则%是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.k【解析】(1)设Z(Xl,必),B(x29y2),直线43的斜率显然存在，则x%2,因为线段48中点。的坐标为(隼,-f,所以+,=应,必+必=一?，7777_0直线AB的斜率/18=-=k
