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1、第六讲直线型计算中的倍数关系迄今为止，同学们已经学会了很多图形计算面积的方法.在计算这些面积的时候，只要知道相应线段的长度,然后利用公式即可以计算.例如计算长方形的面积，只需知道长方形的长和宽即可利用长方形的面积=长X宽进行计算.但很多时候,题目中并不给出长和宽，那怎么来求面积呢？我们来看下面这个例题.例题1.如图,有9个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米.其余4个长方形的面积分别是多少平方米？分析如果两个长方形的一条边相等,我们可以比拟它们的另一条边来求它们的面积关系,看看下列图,能利用左上角的三块面积求出的面积吗？对于长方形,我们总结出：如果两个长方形的
2、长（宽）相等,那么它们的面积的比等于它们宽（长）之比.例如：如下图的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同,那么长方形极沙的面积：长方形庞定的面积应ABEeee如图,有7个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为20,4,6,8,10平方厘米.求阴影长方形的面积是多少平方厘米？2046810从上面的例题可以看出，求一个图形的面积不一定要通过公式,有些时候我们也可以利用图形各局部之间的面积关系进行计算.实际问题中，各图形的形状各异.我们很难直接看出面积间的关系，更容易发现的是长度之间的倍数关系.本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化.过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形,那么
3、这两个小三角形面积之比等该直线分对边所得的两条线段长度之比、这是由两个小三角形有共同的高决定的.三角物8.的面积:三角形4.O的面积BD:DC例题2.下列图中三角形ABC的面积是180平方厘米,。是BC的中点,A。的长是AE长的3倍.那么三角形AM的面积是多少平方厘米？分析你能从图中发现前面讲过的根本图形吗？如何利用其中的比例关系解题呢？ese如图,三角形46C中,。为AB的中点,E为6C的中点,尸为8E中点,如果三角形ABC的面积是120平方厘米,那么三角形OE尸的面积是多少？在实际问题中，给出的图形结构往往只能满足上述形式的一局部.比方知道两条线段的长度关系，却找不到适宜的图形引出面积关系
4、.此时,我们可以添加适当的辅助线,使得两个图形之间可以找到一个过渡的量,这个量和两个图形都有比拟紧密的联系.例题3.如图,把三角形。防的各边分别向外延长1倍后得到三角形A8C,三角形。EF的面积为1,那么三角形A8C的面积是多少？分析容易看出，此题也需要通过边长的倍数关系去求三角形面积之间的关系.但是我们所求的是三角形。尸的面积,而的是三角形ABC的面积,这两个三角形之间一条直接相连的边也没有.那么我们该怎么办呢？eee如图,把三角形。M的各边分别向外延长1倍、2倍、3倍后得到三角形45.,三角形DEF的面积为1,那么三角形ABC的面积是多少？A除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外,我们有时
5、候也利用面积的倍数关系反推出长度的倍数关系.例题4.如图,E是AB上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积AD是三角形AEC面积的4倍,那么梯形的下底长是上底长的几倍？分析此题中我们并不知道图形的具体面积,而只知道面/72积的倍数关系.需要求的那么是长度的倍数关系,所以我们考虑如何利用面积的关系求出长度关系.我们不妨假设三角形AEC的面积是“1”份,那么梯形ABC。的面积就是“5份.接着可以看看“E是AB上的三等分点这个条件能得出什么结论,看看怎么利用求出的面积来比拟梯形的上下底？eee如图,将一个长为18的长方形,分成一个三角形和一个梯形,且梯形的面积是三角形的5倍,那么三角形底边6E的长是
6、多少？除了利用长度间的倍数关系外,我们有时候也能从公式入手,寻找图形面积的倍数关系.例题5.把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米,结果面积增加了50平方厘米,那么原正方形的面积为多少平方厘米？分析由于阴影局部是一个不规那么图形,我们需要把它转化为规那么形状,可以将它分割成几块.如下图,我们将阴影局部分割为、三个长方形.其中,的长和宽分别为4、2,可以求出它的面积.那么和的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系.A例题6.如图,直角三角形ABC套住了一个正方形CoE居E点恰好K在AB边上.又直角边AC长20厘米,BC长12厘米,那么正方形的边长为多少厘米？分析注意到瓦垂直于AC,ED垂
7、直于BC我们可以连接C,将三角形A8C分成两个三角形,这两个三角形的底都给出了长度,而FD-E它们的高相等.我们的目标就是求这个高.C0DB欧拉的故事欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.欧拉小时候帮助爸爸放羊,他一面放羊，一面读书.他读的书中,有不少数学书.爸爸的羊群渐渐增多了，到达了100只.原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈.他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米.正打算开工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用.假设要围成长40米
8、，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难,假设要按原方案建造,就要再添10米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面积就会小于6平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈，也不用担忧每头羊的领地会小于原来的方案.他有方法.父亲不相信小欧拉会有方法,没有理会他.小欧拉急了，大声说：“只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了.父亲听了直摇头,心想：“世界上哪有这样廉价的事情？但是,小欧拉却坚信，他一定有两全齐美的方法.父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲同意了，站起身来,跑到准备开工的羊圈旁.他以一个木桩为中央，将原来的40米边长截短,缩短到25米.父亲着急了，说：“那
9、怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了.小欧拉也不答复,跑到另一条边上,将原来15米的边长延长,又增加了10米,变成了25米.经这样一改,原来方案中的羊圈变成了一个25米边长的正方形.然后,小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了.父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光.面积也足够了，而且还稍稍大了一些.父亲心里感到非常快乐!作业1.如图,一个长方形被分成了四个小长方形,长方形4的面积是45平方米,长方形B的面积是15平方米,长方形C的面积为15平方米,那么长方形D的面积是多少？作业2.如图,。为48边上的三等分点,三角形ACo面积
10、为12,那么三角形88面积是多少？作业3.如图,ZXE分别为A8、BC边上的三等分点,三角形ABC面积为72,那么三角形CZ）E面积是多少？作业4.如图,把三角形OEF的各边向外延长2倍后得到三角形ABC,三角形OE尸的面积为1,那么三角形A8C的面积是多少？ACBD作业5.点B是正方形一条边上的四等分点.连接A3、BC,点D、E又是48、BC的四等分点,连接CQ、。如果正方形边长为24厘米,那么：（1）三角形ABC的面积是多少？（2）三角形CDE的面积是多少？24厘米第六讲直线型计算中的倍数关系例题L答案：如下图详解：长方形一边确定,面积的倍数关系与另一邻边的倍数关系相同.12FH0例题2.
11、答案：30详解：A80与NOC的面积比是1:1,可求出46。的面积是90平方厘米.6E与(8fE的面积比是1:2,那么A8E的面积是90+(1+2)=30平方厘米.例题3.答案：7详解：连结AE、BF、CQ,由等高三角形可以推出图中的7个小三角形面积相等.例题4.答案：3倍详解：设NEC的面积是1份,那么有梯形的面积是4份,ABC的面积是3份.所以NCO的面积是1份.而八4.与76C的高相同,所以底的比等于面积的比，即AD-.BC=3.例题5答案：49详解：设正方形边长为，那么有2+4+2x4=50,a=7.例题6.答案：7.5详解：连结CE,将三角形切成两个小三角，设正方形边长为厘米.可列方
12、程20x12+2=(20+12a)+2,4=7.5.练习I.答案：15简答：先求出面积为6的长方形下面长方形的面积,应该是8+4x6=12平方厘米.再求阴影局部的面积,20-10=2,(4+6+8+12)+2=15.2046810练习2.答案：15平方厘米简答：由于。是48的中点,可知8QC的面积是A48C面积的一半，120+2=60.E点、是8C的中点,尸是跖的中点,那么OEr的面积是ZeD的四分之一,60+4=15.练习3.答案：18简答：如下图,连结A尸、8。和CE根据等高三角形的性质可以求出其他三角形的面积.练习4.答案：6简答：如下图,连结EF,使得ABEr是一个长方形.那么长方形C
13、DTT的面积是长方形AB的两倍,所以EC是BE的两倍,BE长为6.作业L答案：5简答：长方形A的面积是长方形B的面积的3倍,因此长方形C的面积也是长方形D的面积的3倍,因此长方形D的面积为5.作业2.答案：24简答:BO长度是AO长度的2倍,因此三角形BCD面积也是三角形ACD面积的2倍，因此三角形BCO面积为24.作业3.答案：16简答：由。、E分别为AB、BC边上的三等分点,可求得三角形BCD面积为48,三角形CDE面积为16.作业4.答案：19简答：如下图,连接A、BF、CD由AO=2Q/，BE=2ED,J2M可知三角形AOE,三角形BEF,三角形CM的面积都是2,而三角形ABE、三角形C8”、三角形ACD的面积都是4.三角形ABC的面积是4+4+4+2+2+2+1=19.作业5.答案：288；162242简答：AXHC的面积是正方形面积的一半,即24-二288平方厘米；MCD的面积是42333Q4?qA8C的，即x288=216平万厘米；8E的面积是三角形88的，即4443一X216=162平万厘米.4
