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1、目录-数系的扩充与复数的引入21复数的相关概念，表示及几何意义、四则运算2二X与覆料41充要条件4三函数61曲或性质62色校身方隹73曲叔局面用题84立散综合9四创新题101选填题压轴102解答压轴题22数余的扩充与复救的引入X复数的相关概念，就示及几何意义、四则运算一、选择题1. (202205昌平二模02)若复数Z满足(l-i)z=2i,则Z=A.l+iB.-l+iC.-l-iD.1-i【答案】B【解答】解：(l-i)z=2/,2/2/(1+0,.Z=-!+/.I-Z(1-0(1+/)故选：B.2. (202205朝阳二模02)在复平面内，复数一对应的点位于1-iA.第一象限B.第二象限C
2、.第三象限D.第四象限【答案】B3. (202205丰台二模01)在复平面内，若复数Z对应的点的坐标为(2,1),则W=A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i【答案】B二、填空题1. (202205房山二模12)若复数Z满足(l-i)z=2i,则IZI=.【答案】2【解答】解:(l-z)z=2/,.(l+i)(l-0z=(l+i)2i,化为2z=2(-l+Z),Az=-I+/.z=(-1)2+12=2.故答案为：42.2. (202205东城二模11)已知复数Z满足(lT)z=3+i,则Z=,z=【答案】l+2i5【解析】V(1i)z=3+i,._3+i_(3i)(l+i)_2+4i*L
3、三T(l-i)(l+i)2IZl=12+22=卡,故答案为：+2i；5/5-3. (202205西城二模12)已知复数Z在复平面内所对应的点的坐标为(-1,2),则目为,【答案】5【解析】由复数的几何意义可知z=T+2i= -1-2 = 5.5_5(-l-2)-1+2/-1+44. (202205海淀二模11)已知,b均为实数.若8+i=i(+i),则+b=.【答案】0【解析】由题可知。+：=，3+。=-1+5,=l,得+=0.二命题与之辑X充要条件一、选择题1 .(202205海淀二模08)设函数/(x)的定义域为R,则“/(x)是R上的增函数”是“任意0,y=(x+)-/(x)无零点”的A
4、.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A2 .(202205西城二模07)已知函数/(x)=2sin(2x+),(f0”是(m-w)0og2m-Iog2n)0w的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A5.(202205丰台二模02)“x1”是“f1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（202205昌平二模06）P=1”是函数*）=Sin（X+8）在区间（0看）上单调递减”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不
5、必要条件【答案】A7.（202205房山二模07）己知/是两个不同的平面，直线,且那么iiIHan是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B三的教X咨教性质一、选择题1. (202105西城二模04)下列函数中，与函数y=3的奇偶性相同，且在(0,+8)上有相同单调性的是A.y=(；)*B.y=lnxC.y=sinxD.y=xx【答案】D2. (202105海淀二模08)设函数/(x)的定义域为R,则“/(x)是R上的增函数”是“任意O,y=(x+)-/(x)无零点”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必
6、要条件【答案】A3. (202105丰台二模07)已知a=35,Z=log32,c=tany,则.abcB.bacC.cabD.acb【答案】A4. (202105丰台二模09)已知偶函数/(x)在区间。虫)上单调递减.若/(Igx)，则X的取值范围是A.(5,1)B.(0,-)U(l,+)C.(,10)D.(0,-)U(10,+)【答案】C5. (202105房山二模03)已知=(g严，?=Iog040.2,c=log23,则A.cabB.acbC.abcD.bca6. （202105东城二模02）已知=log：3,Z7=lnc=e2,则,力,的大小关系为X.bcaB.b a cC.cbaD
7、.cab【答案】A二、填空题1.(202105东城二模14)已知奇函数/(x)的定义域为R,且毕。0,则/(x)的单调递减X-1区间为:满足以上条件的一个函数是.【答案】(答案不唯一)(-l,l)(x)=13一%2色教与方程一、选择题1. (202105西城二模08)已知/()=lg-,记关于X的方程/(冗)=1的所有实数根的乘积为g(。)，则g(a)A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.既有最大值，也有最小值D.既无最大值，也无最小值【答案】D2+3,x0,2. (202105西城二模09)若函数f(x)=的定义域和值域的交集为(x-2)2,0-1,XOB. a = -1 Z? =
8、 1D. a = 1, b = -A.a=1b=-C.a=1,b=l【答案】C4. (202105房山二模06)已知函数/(x)=log2X,则不等式/(x)2的解集为A.(TO)U(0,4)B.(0,4)【答案】C5. (202105昌平二模09)已知函数/(x)=Or2-40r+2(Iog2X的解集是A.(-oo,4)B.(0,l)C.(0,4)D.(4,yo)【答案】C二、填空题XXCl1. (202105房山二模14)已知函数/(X)=:一.若函数f(x)在R上不是增函数，则的Xixa一个取值为.【答案】-2(答案不唯一)2. (202105昌平二模14)若函数/(X)=F=x0值为.
9、【答案】(答案不唯一)0Vb1即可3. (202105海淀二模12)不等式的解集为.答案xx0),劳累程度TXoVTV1),劳动动机b(lvbq其中所有正确结论的序号是.【答案】OJ创新题1选填题压制一、集合1. （202204顺义二模15）向量集合S=。,=（%y）,yr,及任意0,l,都有M+（l-4）bcS,则称集合S是“凸集”集合M=d=(x,y),yf是“凸集”；若S为“凸集”，则集合N=20S也是凸集”;若A，A2都是“凸集，则AJA2也是“凸集”；若A1，4都是“凸集”，且交集非空，则A4也是“凸集”.其中，所有正确的命题的序号是.【答案】二、函数2. (202205东城二模15
10、)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r0),劳累程度T(OT1),劳动动机伙1匕t3.其中所有正确结论的序号是.【答案】4. （202205朝阳二模10）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间单位：h）间的关系为尸其中4,&是正的常数.如果在前IOh污染物减少19%,那么再过5h后污染物还剩余A.O.5%B.54%C.65.6%D.72.9%【答案】D三、三角函数5. (202205房山二模15)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin创.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音
11、.已知一个复合音的数学模型是函数/(x)=SinK+；sin2x.给出下列四个结论：)(刈的最小正周期是;fx在0,2上有3个零点；在0卷上是增函数；F(X)的最大值为茎.其中所有正确结论的序号是.【答案】6. （202205昌平二模10）在ABC中,NB=45。，c=4,只需添加一个条件，即可使ABC存在且唯一.在条件：。=3人_46=2有；COSC=中，所有可以选择的条件的序号为A.B.C.D.【答案】B四、数列7. (202205海淀二模15)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列%，也分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：%+=2att+b,+1
12、=atl+2bn5=l,2b),描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足%，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：eN”,an；VNan+ian,bn+i;弘N,使得当心女时，总有I*一Ikl(T2(3)N使得当攵时，总有2060)的左、右顶点分别为aibi44，左、右焦点分别为不入.以线段AA2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M,且点M在第一象限，是A3A.2a?”与另一条渐近线平行.若I耳MI=&T,则的面积733耳n73D.C.D.244【答案】C七、数学应用15. （202205西城二模10）如图为某商铺AB两种商品在2022年前3个月的销售
13、情况统计图，已知A商品卖出一件盈利20元，8商品卖出一件盈利10元.图中点A，4,A的纵坐标分别表示A商品2022年前3个月的销售量，点4,员,用的纵坐标分别表示8商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是2月A8两种商品的总销售量最多;3月46两种商品的总销售量最多;1月AB两种商品的总利润最多；2月A8两种商品的总利润最多；A.B.C.D.【答案】C16.（202205房山二模10）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%净利润占比65.8
14、%-4.3%16.5%20.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比）,给出下列四个结论：本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.其中正确结论的序号是A.B.C.D.【答案】D2解答压粕题一、集合1. (202205朝阳二模21)已知集合4=引。=(.马,七，七)，为2=1,2,3,4.对集合4中的任意元素。=(%,彳2，孙玉)，定义T()=(x,g-曰,xi-x4M4-lI)当正整数2时，定义T()=T(
15、Ti()(约定7q()=T().(I)若=(Z02D,=(2,0,2,2),求()和(夕)；(II)若。=(司,工2，工3，七)满足七eJ(=1,2,3,4)且72(。)=(111,1),求的所有可能结果；(III)是否存在正整数使得对任意。=(5,工2，不，“4)A(x1x2x4x3)都有r(a)=(0,0,0,0)?若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】解：(I)当=(2,0,2,l)时,T()=(2,2,1,1),产=(U0/)，Ta)=(1,14,1),T4()=(0,(XOJ);当一=(ZO,2,2)时,T(B)=(2,2,0,0),T2(/7)=(0,2,0,2),T
16、3(/7)=(2,2,2,2),T4(Q)=(OOOQ)4分(II)因为=(和孙孙a，所以T()=(l百一引,1一为Ij均一%1,144一七1)，又因为723)=(1,1,1,1),所以x1-X2-x2-=l,Ilx2-3l-I3-X4ll=X3T4TX4TIIl=I，k4-x1-x-X2Il=L因为w0,l=l,2,3,4),当x=。时，IlX4-玉II-巧=IX4-AI=1，当=1时，|44一百1一1为一吃1|=1(1-44)一(1一X2)1=1.一为1=1同理，当工2=0或1时，都有|七一勺T42-巧Il=IXl-工31=1；当当=0或1时，都有|均一均I一I%一ql=I工2-I=1；当
17、X4=0或1时，都有|3-4I-I“4-XIil=I工3-XlI=1.x1-x2-x2-x3=l,所以卜FT-4产等价于卜FU3-X4-4-=1,2-4=1x4-xl-x1-x2=l所以XlWX3,JC2JC4.当再=0,X2=O时，经检验=(0,0,1,1)符合题意，当M=O,x2=l时,经检验a=(0,1,1,0)符合题意,当Xl=Lx2=0时，经检验=(l,0,0,1)符合题意,当x=l,巧=1时，经检验=(l,1,0,0)符合题意.10分所以a的所有可能结果为(0,0,LI),(0,1,1,0),(1,0,0,1),(1,1,0,0).(III)存在正整数使得T()=(0,0,0,0)
18、,且的所有取值为nN*h6.理由如下:若=Cq,孙孙七)WA满足可脸王？当，则T()=(x1-x2,x2-x3,%3x1-Z),T2()=(x1+x3-2x2l,%2-X4Jr1+3-21，-)设=IN+与一2电I，?=Ix1+Jt3-2x4I,则T3(a)=(lx2-x4一。1,1工2-44一01，1巧x4一匕IJX2-x4一。1).设c=jj-*-j-Z一加|,则4()=(c,O,c,O),T5()=(c,c,c,c)，T6()=(0,0,0,0).所以，对满足玉雕工4?为的任意。=(再，勺，七，)eA，都有T6()=(0,0,0,0).当正整数.7时，T()=(0,0,0,0).当a=(
19、6,3,l,2)时，T()=(3,2,l,4)r(a)=(1,131),T3(a)=(0,2,2,0)r(a)=(2,0,2,0),T5(er)=(2,2,2,2),T6(a)=(0,0,0,0).所以篦的所有取值为(nNn.615分2. (202204丰台二模21)设“伉M=，矶4=S也，g=&+1，是+1SwN)个互不相同的闭区间，若存在实数%,使得wj(i=l,2,+1),则称这+1个闭区间为聚合区间，与为该聚合区间的聚合点.(I)已知L=l,3,-=-2,sig(Ocvm为聚合区间,求，的值；(II)已知4=q,4/=3也/=。”也4+1=k+也+J为聚合区间.(i)设X(PyO是该聚
20、合区间的两个不同的聚合点.求证：存在&Jwl,2,+1,使得=4(i=l,2,+1)；(ii)若对任意PM(p夕且P闯wl,2,/+1),都有/,乙互不包含.求证：存在不同的仃1,2,+1,bi-aj-(bi-ai).【答案】解：(I)由题意得Sinf=(Ofv),解得f=巴4分2(II)(i)证明：不妨设/%.取4=max01,02,Lfan+l,bt=min)也,L也,其中max(2,L,xj表示x,%2,L也这S个数中最大的数，minxl,x,L,4)表示X，Z，L,及这S个数中最小的数.由题意得勺x0y().所以存在2,k12L+l,使得%,切口匕(ii)若存在4=4(SWf),则/,
21、q/,或与已知条件矛盾.不妨设qv02vL4+1，则4+1，所以q+1-4。，所以b,n-a,n2(0-4)+(4+1一%)2R，ha即-n一1所以超一品-4-(/+-4“)2(bm-am).nYl1此时取i=m,J=机+1,则4一为2Sj-q).nU1当-“=/时，同理可取i=m+l,J=m,使得4一2bi-ai).n综上,存在不同的i,l,2,L,+l,使得4-0声己二!(-)14分n(若用其他方法解题，请酌情给分)3.(202205房山二模21)已知数集A=佃吗，4(1=4外,2)具有性质P：对任意的Z（2Am）,3i,j（lfjh）,使得4=q+6成立.（I）分别判断数集1,3,5与1
22、,2,3,6是否具有性质P,并说明理由;（II）已知S“=q+4+4（wN）,求证：24”一1S*;（III）若4=36,求数集A中所有元素的和的最小值.【答案】解：（I）31+1,Al,3,5不具有性质P；2=12,3=1+2,6=3+3,/.1,2,3,6具有性质产；证明：（三）集合A=q,外，具有性质P，即对任意的2（2别:n）,Bit，（啜Ij/?），使得=4+勺成立，又1=a1V生VVar1，n.2,4%a-，ak=ai%?2%即r,n-f2凡_2,4-23,03，2/，出,，24，将上述不等式相加得Ci2+4T+%，2（4U2+。”_1），.q,2q+/+4-，由于4=1，.q-L
23、,4+a2+.+an,1，.2q-L,4+/+.+an,l+an=Sn;解：（IH）最小值为75.首先注意到4=1,根据性质P,得到=2q=2,二易知数集A的元素都是整数，构造A=l,2,3,6,9,18,36或者4=1,2,4,5,9,18,36,这两个集合具有性质产，此时元素和为75；下面，证明75是最小的和：假设数集A=,a2,.,n)(1a1.n.2)t满足S=Zai”75(存在性显然，/=1满足S=75的数集A只有有限个)，尸1第一步：首先说明集合A=,a2,.,zf(6,，4,a”8，,16%”3236,:.n.J；第二步：证明4=18,an_2=9,若18A,设q=18,zl=3
24、6=18+18,为了使得S=之q最小，在集合A中一定不含有/=!元素4，使得18(a“+q+4j)+4q=76,矛盾,18A,进而a,=18,且a*=18,同理可证：an_2=9,（同理可以证明：若9A,则4t=9）,假设9任A,an_x=18,根据性质尸，有，aj,使得=18=+勺，显然aia.:aan+an_x+ai+aj129而此时集合A中至少还有3个不同于%,a,，%的元素，从而San+%+al+aj+3,=75矛盾，.9A,且4，=9,至此，我们得到了可=18,a-=%根据性质P有q,ai,使得9=ai+ajf我们需要考虑如下几种情形：4=8,aj=,此时集合中至少还需要一个大于等于
25、4的元素处,才能得到元素8,则S16,=7,%=2,此时集合中至少还需要一个大于4的元素外,才能得到元素7,则S76,4=6,勺=3,此时集合A=l,2,3,6,9,18,36的和最小，为75,4=5,aj=4,此时集合A=l,2,4,5,9,18,36的和最小，为75.二、数列1. (202205海淀二模21)已知有限数列凡共M项(M4),其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列凡的各项和记为S.(I)若41,2(i=1,2,M),直接写出M,S的值;(II)若4w1,2,3(=1,2,M),求M的最大值;(In)若qeN*5=1,2,M),=16,求S的
26、最小值.【答案】解：(I)M=4,S=L(II) M的最大值为8.构造数列：1,2,2,2,3,3,3,1,此时M=8.当存在连续三项为1,1,I时，本题中有两条边为L1的等腰三角形仅有1,1,1,与M4矛盾，舍.当不存在连续三项为1,1,1时，连续三项(不考虑这三项的顺序)共以下6种可能：1, 2,2；L3,3；2,2,2；2,2,3；2,3,3；3,3,3.所以M6+2=8.由，M的最大值为8.(III) S的最小值为50.构造数列：1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,3,3,1,此时S=50.设了为数列的每一组连续三项的和的和，则3S=T+2a+2a6+a2+a5.连续三
27、项(不考虑这三项的顺序)及这三项的和(标注在下面的括号内)有以下可能：2, 2,1(5)；2,2,2(6)；2,2,3(7)；3, 3,1;3,3,2(8)；3,3,5(11)；4, 4,1(9)；4,4,2(10)；4,4,3(11)；4,4,7(15)；5, 5,1(11)；5,5,2(;5,5,3(13)；5,5,9(19)；6, 6,1(13)；6,6,2(14)；6,6,3(15)；6,6,11(23)；其中画横线的连续三项必为数列的首三项或尾三项，故其对应的三角形至多出现两个.由，T(5+7)+(6+7+8+910+ll+ll12+13+13+1414)=140,21+2al+2+
28、t152l+2l+2+3=9,又由，35140+9=149,所以S50.由，S的最小值为50.,其中根是给定的正整数，且小2.2.(202205西城二模21)已知数列A:4/，%w令a=min%Tgi，i=l,m,X（八）=maxb也,也,cj=maxa2f,p2.,i=l,m,r（八）=maxcl,c2,n).这里，max表示括号中各数的最大值，min表示括号中各数的最小值.(I)若数列A202L-42,求X（八）,Y（八）的值；（三）若数列A是首项为1,公比为q的等比数列，且X（八）=Y（八）,求夕的值；(In)若数列A是公差d=l的等差数列，数列B是数列A中所有项的一个排列，求X(8)-
29、y(5)的所有可能值(用小表示).【答案】解：(I)X（八）=I,Y（八）=2.-4分(II)若数列A中任意两项互不相等，则当，=1,.,机时,由。=01也%_1,%),6=%_1，%可知，bq,当i,jl,2,且iw吐%-1，。2,1%-1，%=0，又。=min%_,%J%，生J，cj=maxi%k,2/e%z，a2j，所以aq.综上,他也，4nq,%,4=0,所以X（八）Hy(4),不合题意.所以存在iwj,ijel,2,2m,使q=勺，即=.因为4关O,所以，r=l.所以q=l.若q=T,则X（八）=1,K（八）=I,不舍题意，舍.若q=l,则数列A为：1,1,1,X（八）=K（八）=I
30、,符合题意.综上，O,所以4递增且A中各项(即中各项)两两不等,所以同(II)可知X(B)Hy(8).由定义，存在i,jel,2,2m,iwJ,X(8)=4,y(8)=%,X(B)-Y(B)=ai-a.=i-j,因为X(B)比凡中加-1个项大,故X(B)才4,同理，Y(B)Wa所以X(B)-M或去勺一向=-1.因为X(B)至少比叫中的一项小,故X(B)W%,同理，Y(B)a2.所以X(B)丫(8)wa2m,i-a2=2m-3.综上，X(B)-F(B)-l,1,2,-2/w-3.令8:孙工2，Wm，卜面证明T,1,2,2帆-3各值均可取得.Wn=%,x2i=am+i,i=12,m，由%是递增数列
31、，bi=min.1,x2J=min,w+J=pci=max21.1,x2i=maxajiam+i=am+i,i=1,2,机此时，X(8)=max4也，也=max4M2,，4”)二勺，y(8)=minc,C2,J=minwt+,4+2,J=%+,此时X(B)-Y(B)=M-二7.当4=1,2,加一1时，x2jk_1=ak.x2k=am.x2m,l=am+k,x2m=a2m,则4=4,4=册，bfn=am+k,cn,=%n当，wl,2,m)A,w时,令&_ai,x2j=arn+i,则bi=aiam,ci=am+i0m+1，所以X(B)=max也也，J=maxqM2,am4+J=4+小y(B)=minc1,q,J=minml,限-，。，=4，此时X(B)-Y(B)=02一/=匕女=l,2,m-l.给定/1,2,h-2),令At=12，,，且WiT=%/=+1，M则4=minf.1,x2,=o,z=L,bi=minx2l.1,x2f=a2i_x,/=/+1,m，又为是递增数歹ILX（八）=max,力2，*=a2m-，ci=maxx2f.1,x2,=a/+/=hJ，=max,2i
