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1、方法技巧专题（一）数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案（以形助数），或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2若实数a,b,。在数轴上对应的点如图FIT,则下列式子正确的是（）IrahOc图FlTA. acbcB. ab=a-bC. -a-b-b-c3.2017怀化一次函数尸-2
2、的图象经过点P（-2,3）,且与X轴、P轴分别交于点4B,则加的面积是（）11A.2B.4C.4D.84.2018仙桃甲、乙两车从4地出发,匀速驶向8地.甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达8地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇.在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图Fl-2所示.下列说法：乙车的速度是120km/h;勿=160;点的坐标是(7,80);=7.5.其中说法正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(xV)2孔(力为常数)，在自变量X的值满足14X3的情况下，与其对应的函数值
3、y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.T或5C.1或-3D.1或36.2018白银如图FI-3是二次函数y=aV历户Cgb,。是常数，a50)图象的一部分,与X轴的交点音在点0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=l,对于下列说法：加，2寸云0,3a+Q0,aS三加时坳E为常数)，当TOO时，yA)l其中正确的是()图Fl-3.(WB.(2)(5)C.(2WD.(3W7 .如图FW是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于&b的恒等式：.图FlY8 .2018白银如图FIT,一次函数y=r-2与加的图象交于点(2x+m-X-2,P5,-4),则关
4、于X的不等式组i-20的解集为.9,庄子天下篇中写道：“一尺之梗，日取其半，万世不竭意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Fl-6.图F1-62111由图易得：222232n.10.当X或或X=(勿声)时，代数式V-2户3的值相等，则z时，代数式f-2户3的值为11IL已知实数况b满足4+1，62l-b则2018*.Kx-1)213,一+1=5.解得=5(力=1舍去);(九1,如图，当尸1,P取得最小值时，仇叫2+1=5.解得力=_1(力=3舍去).故选B.6. 解析抛物线的开口向下，hO抛物线的对称轴为直线bx=l,即x=-2a=l,.b=2a)0f.,.abO,2
5、a+b=。.O正确.当广-1时，y=a-b+cAa+c,由对称轴为直线X=I和抛物线过X轴上的1点，4点在点(2,0)和(3,0)之间，知抛物线与X轴的另一个交点在点(T,0)和(0,0)之间，所以当X=T时，尸.错、口1天当X=I时，y=a+b+c,此点为抛物线的顶点，即抛物线的最高点，也是二次函数的最大值.当X9时，y=am+bm+c=mam+6)t此时有a+b+cm(am+)+c、即a+b?m(am+b),.7F确.,抛物线过X轴上的力点，/点在点(2,0)和(3,0)之间，则抛物线与X轴的另一个交点在点(T,0)和(0,0)之间，由图知，当2G3时，有一部分图象位于X轴下方，说明此时P
6、0,根据抛物线的对称性可知，当-Lae时，也有一部分图象位于X轴下方，说明此时y6,嘴误.故选A.7 .(司-6)=(司历)Ma68 .-2O2解析.)=-x-2的图象过点(亿Y),.-2=W解得2P点坐标是(2,-4).观察图象知：2x+mx构的解集为x2.解不等式-22不等式组-X-2。的解集是-242.19.1-2”10.311.11.1 1或2解析画出函数解析式的图象，要使y=%成立的X的值恰好只有3个，即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数(x-I)2+1,Xa经过点Ai.*.a-b-fia=Q.,.b=2a.b-2a.抛物线的对称轴为直线X=-2a=-2aq，即对称轴为直线X二
7、L易知抛物线过点(,0),(3,0).若HX),如图，易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段恰有一个公共点，满足12aN4即1可，可知a的取值范围是aN3.若34,此时aW若抛物线的顶点在线段式上，此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为尸a(xT)24,将力(-1,0)代入,解得a=T,如图:综上，a的取值范围是a注与或aW或乃=-L方法技巧专题(二)分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等1.点4B,C在OO上，4力加=IO0,点。不与48重合，则乙力W的
8、度数为().50oB.80或50C.130oD.50或1302. 2018山西权威预测已知一等腰三角形的两边长x、y满足方程I2x-y=3,孤2y=8,则此等腰三角形的周长为()A.5B,4C,3D.5或43. 2018枣庄如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段力6的端点都在小矩形的顶点上，如果点尸是某个小矩形的顶点，连结为，PB1那么使四为等腰直角三角形的点有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4. 201&鄂州如图F2-2,已知矩形力腼中，AB=Acm,BC=8cm,动点在边以上从点8向点。运动，速度为ICIns,同时动点0从点C出发，沿折线小A运动，速度为2cms.
9、当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.设点月运动时间为Ms),方的面积为S(CmD,则描述S(CnI2)与时间方(三)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35. 2018聊城如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.6. 2018安徽矩形力伙N中，4层6,8G8点P在矩形力的内部，点夕在边勿上，满定MPBEsMDBC、若力如是等腰三角形，则必的长为.7. 如图F2Y,已知点加1,2）是反比例函数y，图象上的一点，连结4。并延长交双曲线的另一分支于点氏点P是X轴上一动点，若必8是等腰三角形，则点的坐标是图F2M8. 2017齐齐哈尔如图F26在等腰三角形
10、纸片ABC,AB=AC=IO,BCA2、沿底边回上的高4剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59. 2017义乌如图F26,乙40BN5,点MN在边处上，OM=X,见必，点夕是边力上的点，若使P,现N构成等腰三角形的点夕恰好有3个，则X的值是.图F2-6参考答案1.Djx=22. A解析解方程组得由=1：当2作为腰长时，等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时，因为1之，不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3. B解析如下图，设每个小矩形的长与宽分别为X,K则有2x=x也y、从而X力y,因为线段/3是长与宽为2/1的矩形对角线，所以
11、根据网格作垂线可知，过点8与力8垂直且相等的线段有84和BP2、过点4与18垂直且相等的线段有力当且4P入R都在顶点上,因此满足题意的点共有3个.故选B.4. A解析由题意可知，0WV4,当0Wt2时，如下图，11S=2BPCQ=2t2Z-?;当时，如下图，点Q与点D重合，则BP%CQ4,故11s3bPCQ3x2X4N;11当2GW6时，如下图，点0在力上运动，SBPCDtAt.故选.5,180或360或540解析如图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：这个多边形的内角和是180。或360。或540。.66.3或M解析由题意知，点在线段切上.如图，若PD=PA、则点P在力的垂直平
12、分线上，故点P为劭的中点，PElBCt故1/CD,故PE&DC3.如图，若DA=DP、则小不，在RtZXB中，c2CD01/.BP二BD-DP=Q.PEBP116XPBEsXDBC,.DCBD5PEMCD6综上所述，%的长为3或,7. (T,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8. 10或4旧或2月解析在中，AB=AC=IO,BCA2、底边11%上的高是/1仅ADB=ADC=QOo,BD=CDaBC&义12$,/.J71O2-62.用这两个三角形拼成平行四边形，可以分三种情况：按照如图的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10.按照如图的方法拼成平行四边形，则这个平行四
13、边形较长的对角线的长是炉Ka按照如图的方法拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是河擀之痛.综上所述，这个平行四边形较长的对角线的长是10或4月或2岳.9. X-O或XNJ或40/解析根据0M=x,ON=X低、可知MN4.作助V的垂直平分线，该线与射线必始终有一个公共点，分别以点M加为圆心，4为半径画圆，观察两圆与射线办的交点情况：(1)当。N与射线必没有公共点，O与射线必有两个公共点时，满足题意，如图，此时44abdA3cm,金,引8访CMC=I36=19(cm).故选B.注：此题把“AB+BC当作整体.5.5解析才+2a=l,/.3(a1119. 8 解析： a-a=非,. J-
14、a2a2-23a23-(43-) 2-(V) ,2.1注：此题把工”当作整体.1Illl10. 6 解析设2 + 3 + a / K和，则原式 二(ab)2 + 2(a2 + b2) + 4=12 + 2x5 + 4-5,注:此题把%b一扣制分别当作整体.方法技巧专题(四)构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的 创造性和敏捷性.常见的构造形式有：(1)构造方程；(2)构造函数；(3) 构造图形.L2018自贡如图F4-1,若力9 内接于半径为斤的。，且乙 心60 ,连结/OC则边BC的长为 ()2a)-232-5.注：此题把七2也H当作整体.6.2018解析由题
15、意可知：2帮-3/TR,.2/-3%=1,原式-3(2疗Tzz?)+2015-2018,故答案为2018.注：此题把“2/Tnf当作整体.7.0.36解析.R2，x+3y=l，唔，得2加4尸1.2,/.x2y-0.6,.三4y4二(户2。2436.注：此题把号方/“x+2/分别当作整体.8.2解析2+24)的两根为x,x2i.%2,XTXl*24),即2XlYXl=-2,2XIYXI+2x2=一22X2=2.111551-(1-a)(a)-(l-a-6)-66a-a-a2-6.Illl注：此题中的整体是u2345*.11 .解：原式=Am-I-(/-2勿+1)+8/(Yni)=A.m-1-i-
16、rn-in=2m+2%-2=2(/+勿T).加是方程/奴-24)的根，-2j=0,n+m=flt原式2X(2T)N.注：此题把WnT当作整体.12 .解：(1)依题意得才+2公，2ab+3丹.恐，得2(4M)=K),即才历2%.爸，得4HN,即M=L3拓=(4班2)2_2(仍)2与22乂1235_2之3.b2+202+2(3)原式二(4+2)(/+2)*+2)(/+2)2+b2+4543图F4-l3把A仞？B.2EC.2RD.向？2.201&遵义如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点，L6如户30,若点力在反比例函数yA（xk）的图象上，则经过点8的反比例函数的解析式为（）图F4-264
17、A.y-B.y=22C.y=D.y=3设关于X的一元二次方程（x-1）5-2）口（勿为）的两根分别为。，,且ay则。，满足（）Ka2C. a l 2Ba224. 如图F4-3,六边形力比顺的六个内角都相等.若力户1,BC=CfDE2则这个六边形的周长等于.图F4-35. 2018扬州如图F4Y,已知。的半径为2,?!阿内接于O。,乙力W=I35,则力生.(3x-my=5,(X=1,6. 2018滨州若关于X,y的二元一次方程组I2x+ny=6的解是jy=2则关于a,b的二元一次方程组(2(a+b)+n(a-b)=6的解是.7. 2018.扬州问题呈现如图F4T，在边长为1的正方形网格中，连结格
18、点，N和C、,V和星相交于点求tan乙CW的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中乙mV不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连结格点MM可得加比；刻乙DNM二乙CPN、连结他那么乙。W就变换到Rt肠V中.问题解决(1)直接写出图中tan4。W的值为;(2)如图，在边长为1的正方形网格中，4V与/相交于点P,求COS467W的值.思维拓展(3)如图，ABlBC1ABNBC,点M在四上,且AM=BC,延长3到点、N、宸BN丸BC、连结力A,交CV的延长线于点夕，用上述方法构造网格求乙。W的度数.参考答案1.D解析
19、如图，延长C。交。于点，连结题,A J60o,/=乙Z60. 切是。的直径,/.CBD=QOo.BCBCy3在RtZ8C9中，sin。二而二赤二Sin60=2, .BC=R.故选D.注：此题构造了直角三角形.2.C解析如图，过点/作4/JLx轴于点M过点8作8VJ.X轴于点、N.BO由三垂直模型，易得MBNnOMA,相似比等于而，在Rt/仍中，乙如以30。,BO3SABNO1所以“寸an30=3,所以S旦6因为点A在双曲线片亢上，所以S刖二3,所以S的d=1,所以A=22即经过点夕的反比例函数的解析式为y=4.故选C.注：此题构造了相似三角形.3.D解析一元二次方程I）（x-2）初（加刈的两根
20、实质上是抛物线产（1）（2）与直线片/z?两个交点的横坐标.如图，显然。1且）2.故选D.注：此题构造了二次函数.4.15解析分别将线段力反CDt）向两端延长，延长线构成一个等边三角形，边长为8,则止2,故所求周长=1+3+3+2+2幽=15.注：此题构造了等边三角形.5.22解析如图，在优弧四上取一点么连结/，BDyOAyOB,。的半径为2,Z45C内接于/力=135,aLADB=,/.AOB=QOo.,：0A=0B2/B之也.故答案为2也.注：此题构造了直角三角形.3a2tb=-a+b=l,62解析根据题意，对比两个方程组得出方程组3=2,所注：此题构造了一个二元一次方程组.7.解析(1)
21、根据方法归纳，运用勾股定理分别求出物V和V的值,即可求出tan乙CTW的值；仿(1)的思路作图，即可求解；利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可.解：由勾股定理得：忙2也，MN=圾DN=啊(2也)2+(02=(炳2,:DM+MN=DN、股是直角三角形.:MN/ECy“CPN=DNM.,：tanZDNM=MN-2=2,tan/C7t2.如图，取格点，连结。DM.CD/AN1CPN=LDCM.易得加V是等腰直角三角形,乙Zo=45,/.cosZ-CPN=CosZDCM=Cos45二2构造如图网格，取格点Q连结ZQQN.易得PC/QN,.LCPN=LANQ.：AQ=QN,乙力QV=90,:LANQ
22、=LQIAq5,：.(CPN=450.方法技巧专题（五）转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等.Illll11. 2018铜仁计算5行正面痴八.丽丽的值为（）1 991100A.而B而C.99D.992. 2018嘉兴欧几里得的原本记载形如京为产万的方程的图解a法：画RtABCt使乙90。，BC&,AC=b,再在斜边池上截取aBDa则该方程的一个正根是（）图F5-1AJC的长Bj的长C.回的长D
23、.6Z?的长3. 2018东营如图F5-2,圆柱的高/明3,底面直径仇3,现在有一只蚂蚁想从力处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）图F5-2.3产B.3/y4+2C.2D.34.2018白银如图F5-3是一个运算程序的示意图，若开始输入的X的值为625,则第2018次输出的结果为.图F5-35.2018广东如图F5Y,矩形/8缪中，BCACDZ以/为直径的半圆。与形相切于点t连结BD,则阴影部分的面积为.（结果保留h）图F5-46.2018淄博如图F5与，尸为等边三角形4回内的一点，且点到三个顶点A,B,。的距离分别为3,4,5,则力回的面积为.图F5甘7.如图F56，点。是
24、正方形4质两条对角线的交点.分别延长OD到点6%到点瓦使,OGCOD、OENoC、然后以OG为邻边作正方形比FG,连结G,DE.求证：DEIAG.正方形力腼固定，将正方形OEFG绕点、。逆时针旋转。角(0o360o)得到正方形的尸G,如图.在旋转过程中，当乙的G是直角时，求。的度数；若正方形四W的边长为1,在旋转过程中，求长的最大值和此时Q的度数，直接写出结果，不必说明理由.图F5-61.B1 1 1解析V 2-172-1-2j1 1 1 130-5 6-5-61 1 119900-99 X 100-90-100IIllll111111111111199参考答案IllllIlll1116三23
25、-2-312-34-3-420-45-4-59，1/.26122030.+9900=1-22-33-4森-55-699-100=1-100100.故选B.aa22.B解析利用配方法解方程1为X=尻得到X蓬北+工、解得户I42或7 C 解析将圆柱沿/侧面展开，得到矩形，如图，则有力庆3,3几 卜2 l 严，34 + 2回二Z 在RtZUBC中，由勾股定理得4GMFJ万 二一2一.故选C.1 1 1 1 解析当产625时，代入莪得EXwX625 =125,输出125;1 1 1当x=125时，代入必得xxi25-25,输出25;1 1 1当X-25时，代入匕X得外后X25-5,输出5;-2（舍去）
26、.M+5根据勾股定理得AB=由题意知BDQ.根据图形知道AD=AB-BDy即力的长是方程的一个正根.故选B.111当产5时，代入亏X得匕XEX5=1,输出1;当x=l时，代入x4得x4W,输出5;111当户5时，代入立得以Ex5=1,输出1;观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此，第2018次输出的应是L5.解析连结OEt易证四边形ABEo为正方形,则扇形OED忸圆心角为90。，半径为2,因此可求扇形切的面积，阴影面积看成正方形/%、。的面积偏形劭的面积-z4M的面积，正方形/应a扇形。切和血的面积均可求，即可求得阴影部分的面积.2536.9二厂解析如图，将必绕点4逆时针旋转
27、60得到/的连结团作力八切交F的延长线于点I,易知力以为等边三角形,HA=HP=PAHe=PB1.PCR：.PG=Plt+Cl!、乙PHC=90,33r3raAHI=QOo,.AI=2lHI，、.C7二户3掰,33.力3二呼+炉3网2切5米124，yy253SlbcA(J(25+12肉-9子丁.7.解：证明：如图，延长口交力G于点，E 点。为正方形力颇对角线的交点，/.OA=ODy乙AOG二乙DOEW. 四边形诙为正方形， .OG=OEtAOGKDOEy .LAGO=LDEo.乙AGO+乙GAO秘。,：.(DEO+乙GAOwG.LAHE=QQq,gpDELAG.(2)在旋转过程中，乙4G成为直
28、角有以下两种情况：。由O0增大到90的过程中，当乙的G为直角时,11OA=OD互OG互OG、OA1在Rt46HG中，sinAGfO-OGtLAGfOq.;OAtOD,OAVAG.OD/AGf.：.人DOG二人AGS,即o-300.（ii）。由90。增大到180的过程中，当/的G为直角时，同理可求得乙9-30,所以。=180。-30=150.综上，当乙如G为直角时，4考0或150.成长的最大值是2万，此时15.理由：当力尸的长最大时，点U在直线/C上，如图所示. AB=BC=CD=AD=Yi：,AC=BD=,Ao=OD次. 0Ef=E,F,=20D=.W2+（）2.在：.AF=AO+OF统也.
29、乙0GN5,.旋转角=3600-45=315。.方法技巧专题（六）中点联想训练【方法解读】L与中点有关的定理：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（2）等腰三角形“三线合一”的性质.（3）三角形的中位线定理.（4）垂径定理及其推论.2,与中点有关的辅助线：（1）构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点;取一边的中点，然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.（2）延长角平分线的垂线，构造等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”.把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.2018南充如图F6T,在Rt力勿中，ACB0o,AA=QOo,D,尸分别为他ACy49的
30、中点，若比百则）的长度为（）图F6-11 3A.2B,1C.2D.32. 2017株洲如图F6-2,点RGt分别为四边形力腼四条边他BC1CD、物的中点,则下列关于四边形的说法正确的是（）图F6-2A.一定不是平行四边形B一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当4C的时，它为矩形3. 2018荆门如图F6-3,等腰直角三角形4中，斜边48的长为2,。为四的中点，尸为然边上的动点，OQloP交BC于点Q,M为国的中点，当点尸从点A运动到点。时，点所经过的路线长为（）图F6-322B.TC.1D.24. 如图F6Y,在正方形力腼和正方形协；中，点在CG上，SC=I,CEA是的中点，那么。/
31、的长是（）图F6-43匚r-J2A.2.5B,/C.2D.25. 2018眉山如图F6T,在口/8G9中，CD=2D,BE工AD于点、E,F为%的中点，连结ERBFt下列结论：人ABCN乙ABF;EF=BF;S四边形DEBC2SEFB,CFEW）Z.DEF.其中正确的结论有（）图F6七A.1个B.2个C.3个D.4个16. 2018苏州如图F6-6,在力%中，延长BC至点、Dt使得CD&BC.过力。的中点片作EFHCD（点、尸位于点右侧）,且EFCD.连结DFy若力庆8,则以的长为.图F6-67. 2018天津如图F6-7,在边长为4的等边三角形45。中，DtE分别为力A区的中点，反力。于点夕
32、G为）的中点，连结G则凶的长为.ADt图F6-78. 2018哈尔滨如图F6-8,在平行四边形/腼中，对角线BD相交于点。M庐/点/分别是明切的中点,连结在乙侬工5。，EVJLBC于点MtEM交劭于点N、FN啊则线段8。的长为.图F6-89. 2018德阳如图F6W,点为4/18。的四边上的中点，点为34的中点，T为正三角形，给出下列结论，CB丸CE、tanSN,乙ECD二乙DCB、若/G2,点1是四上一动点，点到力CBC近的距离分别为d,&,则d工城的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910. 2017徐州如图F6-10,在平行四边形力故?中，点。是边区的中点，连结
33、。并延长，交力8的延长线于点连结M，EC.(1)求证：四边形跳功是平行四边形；若乙上50。，则当Z.8上二”时，四边形瓦C9是矩形.图F6-101L2O17成都如图F6-11,在/回中，AB=ACi以力8为直径作圆Ot分别交8。于点交。的延长线于点过点作以n/C于点民连结交线段处于点五(1)求证：ZW是。的切线；EF若力为的中点，求而的值;若必赤二1,求。的半径.图F6-1112.2018淄博(1)操作发现：如图F6-12，小明画了一个等腰三角形力比：其中4分人；在XABC的外侧分别以力及力。为腰作了两个等腰直角三角形4劭，ACE,分别取BD,CE,区的中点现NiG,连结隔例小明发现：线段GV与GV的数量关系是；位置关系是.类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形力回换为一般的锐角三角形，其中其他条件不变，小明发现上述的结论还成立吗？请说明理由.深入探究：如图，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究，向力%的内侧
