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1、2.5.2圆与圆的位置关系国课前颈习二素养启迪手知识梳理,两个圆之间的位置关系两个圆之间存在以下三种位置关系(1)两圆相交,有两个公共点;两圆相切,包括处切与内切,只有一个公共点；两圆相离,包括外离与内含,没有公共点.问题初中学习过判断圆与圆的位置关系的结论是什么？答案:设圆G的半径为r1,圆C2的半径是r2,则当连心线的长大于r1+r2,圆G和圆C2外离；当连心线的长等于n+n时，圆G和圆C2外切；当In-nI连心线的长n+时，圆G和圆C2相交；当连心线的长等于In-。时，圆G和圆C2内切；当连心线的长小于In-。!时，圆G和圆C2内含.叁预习自测,1 .圆2+y2=l与圆2+y2=2的位置
2、关系是(C)A.相切B.外离C.内含D.相交解析:圆x2+y2=l的圆心O1(0,0),半径n=l,圆x2+y2=2的圆心O2(0,0),半径r2=2,则d=10102=0,Ir2-rI=2-l,所以dr1+r2=3,所以这两圆的位置关系是外离,有4条公切线.3.(多选题)圆C1r(-a)2yM与圆C2rx2(y-2)2=1有且仅有两条公切线,实数a的值可以取(AB)A.1B.2C.3D.4解析：因为圆G：(x-a)2+y2=4与圆C22+(y-2)2=l有且仅有两条公切线,所以两圆相交,因为圆C1的圆心为(a,0),半径r1=2,圆C2的圆心为(0,2),半径r2=l,所以r-r2C1C2r
3、1r2,BP2-1HT412,解得-伤30).试求a为何值时,两圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离.解:对圆G,C2的方程,经配方后可得Cl:(-a)2(y-l)2=16,C2:(x-2a)2+(y-l)2=l,所以圆心Ci(a,1),=4,圆心C2(2a,1),r2=l,所以CQ=J(q-2q)2+(1-1)2=a.当ICIC2Un+r2=5,即a=5时,两圆外切，当ICCI*3,即a=3时，两圆内切.当3C1C215,即3a5时,两圆外离，当ICCl3,即0ar+m时,两圆外离,dr1-r2l,两圆内含，In-ndn+r2时,两圆相交.j针对训练(1)圆x2y2=2和圆x2y2-6y5
4、=0的位置关系为()A.外切B.相交C.相离D.内含(2)两个圆C1x2+y2+2x+2y-2=0,C2x2+y2-4-2yl=0的公切线有()Al条B2条C.3条D4条解析:(1)根据题意，圆x2y的圆心为根0),半径R=2,圆x2+y2-6y+5=0,即x2+(y-3)M,其圆心为(0,3),半径r=2,圆心距d=3,则有2-2d2+2,因此两个圆相交.故选B.圆G的半径r1=2,圆心C1(-1,-1),圆C2的半径r2=2,圆心C2(2,1),C1C2=13.由于IrflCGKn+n,故两圆相交,因而公切线有2条.故选B.手探究点二,两圆相交问题例2已知两圆C1x2+y2-2x+10y-
5、24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0.试判断两圆的位置关系；求公共弦所在的直线方程；求公共弦的长度.解：将两圆方程配方化为标准方程为Cu(-l)2+(y+5)2=50,C2r(x+l)2+(y+l)2=10,则圆G的圆心为半径r1=52;圆C2的圆心为半径r2-10.又IC1C21=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以rl-r2ClC20).由圆C与直线y=0相切,且半径为4,得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).已知圆(-2)2+(y-l)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.由两圆相切,得ICAl=4+3=7或ICAl=4-3=1.当圆心为C
6、1(a,4)(a-2)2(4-l)2=72或(a-2)?+(4-1)?=-(无解),得a=2210,故所求圆的方程为(-2-2IU)2+(y-4)2=16或(-2210)2+(y-4)2=16.当圆心为C?(a,-4)时，(a-2)2+(-4-l)2=72或(a-2)2(-4-l)2=l2(无解)，得a=226,故所求圆的方程为(-2-2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.综上所述,所求圆的方程为a-2-2同)2+-4)2二16或(-2+210)2+(y-4)2=1611K(-2-26)2+(y+4)2=16或(-2+26)2+(y+4)2=16.，方法总结两圆外切时，
7、圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值.在题目没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.针对训练与圆0x2y5外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是解析:设所求圆的圆心为C(m,n),则0,P,C三点共线,且IOCl=6,所以m=-X6=,X6=,5555所以圆的方程是(-)2(y-)2=1.答案：6-争2+6二1套课堂达标,1 .圆2+y2-2x=0与圆2+y2+4y=0的位置关系是(C)A.外离B.外切C.相交D.内切解析:圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,圆2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2,
8、圆心距为遥,因为2-l52l,所以两圆相交.2 .已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(D)A. (-5)2+(y+7)5B. (-5)2+(y+7)2=17c(-5)2+(y+7)2=15C. (-5)2+(y+7)2=9D. (-5)2+(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9解析：因为半径为1的动圆与圆(-5)2+(y+7)2=16相切,所以动圆圆心到(5,-7)的距离为4+1或4-1,所以动圆圆心的轨迹方程为(-5)2(y+7)2=25或(-5)2+(y+7)2=9.3.(多选题)已矢口圆Clx2+y2-4=0和C2x2+y2-4x
9、+4y-12=0交于A,B两点,下列说法正确的有(ABC)A.公共弦AB所在直线方程是-y+2=0B.公共弦AB长是22C.以AB为直径的圆方程是(x+l)2+(yT)2=2D.线段AB与线段CG互相垂直平分解析：由两圆方程相减可得-y+2=0,即为公共弦AB所在直线方程,A正确；由C1(0,0)知,G到直线x-y+2=0的距离d=-=2,而圆G的半径r=2,所以ABl=2rf2=22,B正确；由直线C1C2为y=-与-y+2=0的交点(-1,1)为以AB为直径的圆的圆心,结合B知,此圆的方程为(x+l)2+(y-l)2=2,C正确；由两圆相交弦与两圆圆心所在直线的位置关系知,线段CC垂直平分
10、线段AB,但线段AB不垂直平分两圆圆心所成的线段，D错误.4.写出与两圆(-l)2+y2=l,x2+y2-10x+6y+18=0均相切的一条直线方程_解析：由(-l)2+y2=l,圆心为(1,0),半径为1,(x-5)2+(y3)2=16,圆心为(5,-3),半径为4,得两圆圆心距为J(5-1)2+(-3-0)2=5=1+4,故两圆外切，如图,公切线斜率存在,设为y=kx+m,k+ml+fc25k+3+ml+fc2解得Zc = 0, m = 1所以公切线方程有y=l或4-3y-9=0或24x+7y+l=0.答案:尸1(答案不唯一)国课时作业选题明细表知识点、方法题号圆与圆的位置关系判定4,9X
11、X2,3,8,10,13,15XX5,6,17综合1,7,11,12,14,16,18基础巩固1.圆G：(X-I)2+y2=4与圆Cz：(x-2)2+(y+l)2=l的位置关系为(A)A.相交B.内切C.外切D.相离解析：圆3的圆心G(1,0),半径rl=2,圆C2的圆心C2(2,-1),半径r1=l,则IC1C2=2,有r2-r1C1C21+(y+4)2=16上,则(AC)A.IPQI的最小值为OB.两圆公切线有两条C.两个圆心所在的直线斜率为TD.两个圆相交弦所在直线的方程为3-4y-5=0解析：由圆的方程知，圆C1的圆心C1(0,0),半径n=l;圆C2的圆心C2-4),半径r2=4,所
12、以ICiC21=J(0-3)2+(04)2=5=+r2,所以两圆外切;若P,Q重合,为两圆的切点，则IPQnin=0,A正确;两圆外切，则公切线有3条,B错误;kc】C2二言=9，C正确；因为两圆外切,所以两个圆不存在相交弦,D错误.7.(多选题)已知圆Ci:x2+y2-10-IOy=O和圆C2:x2y2-6x2y-40=0,则(AB)A.两圆相交B.公共弦长4IUC.两圆相离D.公切线长4IU解析:圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径r1=52;圆C2的标准方程为(X-3)2+(y+l)2=50,圆心为(3,-1),半径r2=52,所以两圆心的距离d=J(
13、5-3V+5-(-l)2=2ia所以(Kdd+m,所以两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L,则有()2g)2=r2(r=r1=r2),所以410,选项B正确，选项D错误.8 .(2022四川宜宾期中)圆C2+y2+4x=0与圆C2：x?+y22x2y2=0交于A,B两点，则直线AB的方程为.解析:两圆方程作差可得6x2y+2=0,即3x+y+l=0,所以直线AB的方程为3x+y+l=0.答案：3x+y+l=09 .圆x2+y2+6-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是.解析：圆2+y2+6-7=0的圆心为U(-3,0),半径n=4,圆x2+y2+6y-27=0的圆心
14、为O2(0,-3),半径n二6,所以IO1O2I=J(-3-0)2+(03)2=32,所以r2-r01020)的公共弦长为23,则a=解析:两个圆的方程作差,可以得到公共弦所在直线的方程为y-,圆a心(0,0)到直线y的距离d=于是由(乎)2+(i)2=2；aa2a解得L答案：111 .过圆x2yM外一点M(4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为.解析：以线段OM为直径的圆的方程为x2y2-4xy=0,经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线,将两圆的方程相减得4-y-4=0,这就是经过两切点的直线方程.答案：4x-y-4=0能力提升12 .已知M是圆C:(-l)2+y2=l上的
15、点,N是圆C,:(-4)2+(y-4)2=82上的点,则IMNl的最小值为(D)A.4B.42-lC.22-2D.2解析:因为ICcl=50),则下列r的值满足AB=B的是(ABC)A.1B.-C.2D.22解析：由题意知，圆(xT)2+(yT)2=r2(r0)在圆x2y2=8内或两圆内切(r22),所以圆心距离d=l2+l222-r,所以OrW故A,B,C满足条件,D不满足.15 .已知圆x2+y2-6x+2y+15-a2=0与圆x2+y-(2b-10)-2by+2b-10b+16=0相交于A(x,y),B(x2,y2)两点,且满足好+y广慰+龙，则b=解析:根据题意，圆x2+y2-6x+2
16、y+15-a2=0,其圆心为M(3,-1),圆x2+y-(2b-10)-2by+2b2-10b+16=0,其圆心为N(b-5,b),两圆相交于A(X,y),B(x2,丫2)两点,则AB的垂直平分线为MN,又由A(x,y),B(x2,y2)满足好+y广石+秃，即IOAl=IOB,即点0也在直线MN上,则有若=曰，即3b=5-b,解得b=.300-5O4答案卷416 .已知圆C1x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2y2+2x=0.(1)当m=l时,判断圆G和圆C2的位置关系；是否存在实数叫使得圆C和圆C2内含？解:当In=I解圆Cl的标准方程为(xT)2+(y+2)2=9,则G(I
17、,-2),半径n=3,圆C的标准方程为(x+l)2+y2=l,则C2(T,O),半径口二1,所以两圆的圆心距d=J(l+I)2+(-2-0)2=22,Xn+r2=4,e-*2,所以r1-r2dr+r2,故圆Cl和圆C2相交.不存在,理由如下：圆G的方程可化为-m)2+(y+2)2=9,则G(In,-2),半径n=3,而C2(T,0),半径n=l.假设存在实数m,使得圆G和圆C2内含,则圆心距d=J(m+l)2+(-2-0)23-l,BP(m+l)20),将x2+y2-2x=0化为标准形式为(xT)2+y2=l,由题意可得VJ(al)2+b2=r1,+3ba=4,(a=O,解得)b=0,或Ib=
18、-43,、r=2r=6.故所求圆的方程为(-4)2+y2=4或x2+(y43)6.应用创新18.已知圆Cx2+y2-2x4my+4mM,圆C1x2+y5,直线l:3x-4y-15=0.(1)求圆C1rx2y5被直线1截得的弦长；当m为何值时，圆C与圆G的公共弦平行于直线1;是否存在实数叫使得圆C被直线1所截的弦AB中点到点P(2,0)距离等于弦AB长度的一半?若存在,求圆C的方程;若不存在,请说明理由.解：(1)因为圆C1rx2y5的圆心坐标为(0,0),半径为5,则圆心G到直线l:3x-4y-15=0的距离为d=y=3,所以直线1被圆C1x2+y5截得的弦长为2原于二8.(2)圆C与圆G的公
19、共弦所在直线方程为2-4my-4m2-25=0,因为该弦平行于直线1：3-4y-15=0,所以“如皿1交,得m二.34153经检验符合题意,所以m二.不存在,理由如下:假设这样的实数m存在.设弦AB中点为M,由已知得IAB=2PM,即IAMuIBMl=IPM所以点P(2,0)在以弦AB为直径的圆上.设以弦AB为直径的圆方程为x2y2-2x4my+4m2+(3-4y-15)=0,/2-22+4m2+(3X2-15)=0,f4n2-9=0,i3X-4生处-15=0ll6m-25-24=0,消去人得100m-144m+216=0,即25m2-36m+54=0,因为A=362-42554=36(36-25X6)0,所以方程25m2-36m+54=0无实数根,所以假设不成立，即不存在实数m满足题意.
