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1、期末复习03：空间向量与立体几何限时小练(夫志当存高远，幕先赞，绝情欲，弃疑滞，使庶几之志，揭然有所存，恻然有所感;忍屈伸，去细碎，广咨问，除嫌吝，虽有淹留，何损手美趣，何患丁不济。若志不强毅，意不慷慨,徒碌碌滞丁俗，默默束于情，永窜伏丁平庸，不免丁下流矣。)一、单选题1 .己知空间中三点A(l,0,0),B(OJl),C(TT2),则点C到直线AB的距离为()A.与B.yjlC.3D.62 .平行六面体A8CQASGA中，AC1=xW2BC+3zClC,则x+y+z=()752A.1B.-C.-D.-6633 .己知AB=(1,2,3),AC=(aib,b-2)t若点ABQ共线，则|叫=()
2、A.14B.214C.3MD.9144 .己知P4=(2,l,-3),ra=(-l,2,3),PC=(Z6,-9),若P,A,B,C四点共面，则4=()A.3B.-3C.7D.-7二、多选题5 .己知直线/的一个方向向量为=(m,l,3),平面。的一个法向量为b=(-2,%l),则()A.若“,则26一=3B.若/_La,则一=3C.若IIla,则m+2=0D.若/_La,则w+2=06 .下列结论正确的是()A.若向量=(l,1,1),=(2,-2,2),c=(3,-1,3),则,b,c共面B.若直线/的方向向量为Q=(IJl),平面。的一个法向量为=(U),-1),贝J“C.若向量=(l,
3、l,1),/?=(2,-2,2),则在人上的投影向量为XZD.已知平面,夕不重合，平面。的一个法向量为=(1,0,T),平面夕的一个法向量为二=(-3,0,3),则%7.如图，在正四棱柱ABC。-AMG。中，AAy=2ABf尸为AA的中点，。为AC上的动点，下列结论正确的是()A.若PQ平面A8CO,则AIQ=j1CB.若PQ平面A8CO,则AQ=C.若PQ/平面心。，则A。=；ACD.若P。工平面心。，则AQ=8.如图，点、A, , C, M , N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MV 平面A6C的是（）三、填空题BE两两垂直且相等，点尸为棱8C的中点，点G在9.如图，在四棱锥A-BCO
4、E中，AB=4,AB,BC,棱AE上，且AG=3GE,则点4到平面OPG的距离为.10 .如图，二面角等于150,48是棱/上两点，BRAC分别在半平面,/内，AC1,BD,且AB=AC=2,BD=A则Co=.11 .点A(L2,1),8(3,3,2),C(L4,3),若。在线段AB上，且满足Co_LA8,则点。的坐标为.12 .已知棱长为1的正方体ABC。-AqGA内一点P满足AP=机A6+AA,其中帆+=1,则P4+PC的最小值为.参考答案:1. D【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.【详解】根据题意，AB=(-M,l),AC=(-2-l,2),A5=3,C=3.设向量是直
5、线AB的单位方向向量,AB J 3 3 CM=-2f-yj+(-l)y2y=3则点C到直线AB的距离为J2一(ACzy=93=6.故选：D.2. B【分析】由AG=48+8C+CC以及条件中系数对应相等可得答案.【详解】由平行六面体48COABC。可得AC=48+BC+CC；,又AC1=xAB+2yBC+3zClC,所以x=l,2y=l,3z=-l,117贝IJX+y+z=l+=.236故选：B.3. C【分析】根据4B,C共线得到方程，求出。二一2,匕=T,求出8C=(-3,-6,-9),得到模长.【详解】因为点A8,C共线，所以与AC共线，所以=3=殍，解得。=一2,b=Y,故AC=(-2
6、,-4,-6),BC=AC-AB=(-3f-6,-9),BC=7(-3)2+(-6)2+(-9)2=3U.故选：C.4. C【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可.【详解】由P,A,B,C四点共面，可得P4，PB，PC共面,设PC=XPA+yPB=(2x-x+2y,3x+3y)=(,6,-9),2x-y=x+2y=6,解得-3x+3y=-9故选：C.5. AD【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项计算判断即得.【详解】直线/的一个方向向量为4二(皿L3),平面的一个法向量为。=(-2,几1),当时，则有lb,因此,=-2m+3=0，即2加一=3,A正确，C错误；当/_La时，则
7、有b,因此M=L=贝Jma+2=0,6=-6,=，B错误，D正确.-2n13故选：AD6. AD【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D.【详解】对A观察可知，+b=c,所以,Ac共面，A正确;对B,6.zl=i-i=0,所以或u,B错误：对C,因为=(l,U),U(2,-2,2),所以:N=2-2+2=2,M=25,ab；1(In所以在上的投影向量为”=IJ一句，C错误；对D,因为)=_31即用,共线，所以D正确；故选:AD.7. BD【分析】建立空间直角坐标系，设AQ=M1C,OJ,利用
8、空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，令AAI=2A8=2,则0(0,0,0),C(OJO),B(1,1,O),P(l,0,l),A(l,0,2),则OB=(IJO),DP=(1,0,1),AC=(Tl,-2),PA=(0,0,1),.n-DP=x+z=O.设平面ZW的法向量为=(x,y,z),则，(/2=(1-1,-1),n DB = x+y = O又平面ABCD的法向量可以为m=(0,0,1),设AQ=%AC,to,则pq=1+AQ=z+4AC=(-441-24),ULMlUI若PQ平面48C。，则PQ_Lm,即PQm=l-2l=0,解得4=,即AQ=g1C,故A错误，B正确
9、；1.HJU1z、/、若PQ上平面P/2,则PQ/,则尸0=5,即(一44,1-24=KLT,-1),-=tL=-71所以4=T,解得,即AQ=QAC,故C错误，D正确.-2=-ttl故选：BD8. BC【分析】利用空间向量、正方体的特征及线面平行的判定定理、面面平行的性质定理一一判定选项即可.【详解】对于A项，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,则A(Zo,l),B(l,2,0),C(0,2,1),(222),N(0J2),所以AB=(T2,T),AC=(-2,2,0),NW=(2,L0),z、AB=-a+2b-C=On AC = -Ia + 2Z? = 0设平面ABC的一个法向量
10、为=(。也C),则，令=lnA=l,c=l,即=(1,1,1),显然NMi=2+l+0=30,即NM与不垂直，故直线MV与平面48C不平行，故A错误;对于B项，如图所示取侧棱中点D,连接4。BD,由正方体的特征可知AD8C,MN/6。,所以平面ABC即平面ABCQ,MNN平面ABCQ,血Ju平面ABCf,所以直线MN平面A8C,故B正确；对于C项，由正方体的特征易知平面ABC侧面MN,MNU侧面MN,所以直线MN平面ABC,故C正确；对于D项，如图所示取正方体一棱中点G,连接CG、MG、BN,由正方体的特征可知：AC/MN.AB/GM.BNI/CG,易知A、C、G、M、N、3六点共面，故D错误
11、.故选：BC9. 等卡【分析】建立空间直角坐标系，得到平面。阳的法向量，从而得到点5到平面OFG的距离.【详解】以点8为原点，以BC,BE，物所在直线分别为“，V,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),F(ZO,0),O(4,4,0),G(0,3,l),BF=(2,0,0),FD=(2,4,0),FG=(-2,3,1),设平面DFG的法向量为亦=(X,y,Z),fiFD=(xtj,z)(2,4,0)=2x+4y=OhFG=(x,j,z)(-2,3,1)=-2x+3y+z=0取x=2,则y=T,z=7,故沆=(2,T,7),所以点8到平而DFG的距离为其J=(2,)0)(2,T7
12、)=巫同4+l+499【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为BRAC分别在半平面,夕内，ACLhBDLl,二面角。一/一户等于150,所以(AC函)=150,因为CD=AD-AC=AB+BD-AC，所以Cf2=(AB+8。一ACy=AB2BD+AC2+2ABBD-2ABAC-26。AC=4+3+4+0-0-22l-yj=17,所以Co=Ji7,故答案为：f711.CDlAB【分析】结合题意，利用，建立方程组解出即可.AD/AB【详解】设。的坐标为O(x,y,z),则8=(4-l,y-4,z-3),A=(2,l,l),AD=(x-
13、l,y-2,z-l),因为。在线段AA上，且满足Cz)JCDlABADHAB所以2(x-l)+(y-4)+(z-3)=0,即，x-ly-2z-1=211解得:5Z=-3所以点。的坐标为二(785、故答案为J12.沌3【分析】利用空间向量的坐标表示以及数量积与向量的模的关系求解.如图，以力为坐标原点，DAz)COA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A(1,O,O),8(1,1,0),D1(0,0,1),C(Uo),设Pay,z)fUUiUUU所以AB=(O,LO),AD1=(-1,0,1),SAP=wAB+7AD1,x=l-w所以。一1,乂2)=(0,肛0)+(-,0,),所以,y=6,z=n所以P(I又因为用+=1,所以P(M,m,l-m),ULiLlLBl此时QA=(I-/n,w,n-l),PC=(-H,l-w,n-l),所以PA+PC所以当ZW = I时，R4+PC有最小值为辿, 33221此时在正方体内，满足题意，故答案为:亚.3
