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1、杭二中余杭学校2024届高三数学期末试卷(四)姓名：班级：一、单选题1 .5Jfta=r1g2x2,B=xx2-x-2l的取值范围是()A.3,+)B.r,C.止号3D.r,+)142142147 .己知圆G+y2=zso)与双曲线CrJ-=I(QObAO),若在双曲线G上存在一点P，使得过点尸所作的圆G的两条切线，切点为a、B,且NAPB=则双曲线C?的离心率的取值范围是()A.1与B.y,+C.(1,3D.同8 .定义在R上的函数/(x)满足f(r)+/(X)=O,f(-x)=f(x+2)且当x0,l时，/(x)=-x2+x.则方程4(x)+2=0所有的根之和为()A.6B.12C.14D
2、.IO二、多选题9 .已知复数z=2+i,Z=X+yi(x,yeR)(i为虚数单位)，1为Z的共规复数，则下列结论正确的是()A.W的虚部为-iB.Z对应的点在第一象限C.1=1D.若忆马|?1,则在复平面内4对应的点形成的图形的面积为2Z10.已知4O,bO,a+2Z=l,则()21IA.-十7的最小值为4B.必的最大值为三ab8C.+的最小值为/D.20+4”的最小值为2a11 .函数/(x)=sin8(0)在区间-今勺上为单调函数，图象关于直线K=M对称,则()a3A.=-4b.将函数)的图象向右平移与个单位长度，所得图象关于y轴对称C.若函数处在区间3,粤)上没有最小值，则实数。的取值
3、范围是(Y,等)D.若函数f()在区间3,岩)上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是-与,0)12 .已知椭圆C：?+=l(b0)的左右焦点分别为6、F2,点P(I1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是()A.离心率e的取值范围为,制B.当C=李时，I/+例的最大值为4+当C.存在点Q,使得QVQK=OD.康1的最小值为1三、填空题13 .为全面推进乡村振兴，某地举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走，去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同的排列种数为(用数字作答).14 .设(24-1)6=
4、/1+6/+a/+%,则q+%=.(用数字作答)15 .现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为.16 .如图，在直三棱柱ABC-ABG中，ACA-AB1AC=2tAA=4,力会=:AB=6,点E,尸分别是A4,AB上的动点，那么CE+EF+皿的长度最小值是,此时三棱锥4-GEF外接球的表面积D/为.四、解答题17 .已知正项数列/的前项和为S.，+=2Sn+2,数列包满足蛆=4孕.求数列K
5、J的通项公式；(2)求数列电的前项和18 .在tlBC中，儿氏。所对的边分别为凡方，已知从=c(+c).若求的值；4a(2)若HBC是锐角三角形，求Jsin8+2cos2c的取值范围.19 .为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识竞赛活动.竞赛共有A和8两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道3类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道8类试题的概率均为(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，
6、求X的分布和期望；(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.20 .已知在四棱锥C-ABEZ）中，OE平面ABC,AClBCfBC=2AC=4,AB=2DE,DA=DCi点尸为线段BC的中点，平面OAC_L平面ABC.(1)证明：)平面A8C；(2)若直线M与平面ABC所成的角为60。，求二面角B-ADW的余弦值.21 .已知双曲线。：-*130力0)经过点尸(4,6),且离心率为2.求C的方程；(2)过点尸作了轴的垂线，交直线Lx=I于点M,交N轴于点N.设点A8为双曲线。上的两个S动点，直线PAM的斜率分别为心内,若k+%=2,求I.JNAR22 .已知
7、函数/(x)=e-/-5-2ar.当=0,求曲线y=f()在点(Ij(I)处的切线方程.(2)若/在。+8)上单调递增，求。的取值范围；(3)若了的最小值为1,求。.参考答案：1. D【分析】解不等式可得集合A8,根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为A=xlog2X2=(0,4,B=-2=(-h2),所以A、8=(T,4,故选：D.2. B【分析】由题意先分别算出了,片Md的值，然后将“简+b与-3+2b垂直”等价转换为(筋+9(-32+办)=0,从而即可求解.【详解】由题意有=1,=l,t7b=p6cos600=11=,又因为c+b与3a+2b垂直，y,(a+b)(-3fl+27)=-3
8、2+(2-3)+2=-3+(2-3)+2=0,整理得-24+；=0,解得2=；.故选：B.3. D【分析】设圆台的母线长为/,根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为,因为该圆台侧面积为3扃，则由圆台侧面积公式可得(l+2)=3=35,所以/=正，设截去的圆锥的母线长为由三角形相似可得=则2r=r+更,解得所以原圆锥的母线长r+/=6+6=2百，故选：D.4. A【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可如钎空产=2a+4.34.8+6.744+15.84所以样本中心伉刃为（2,巴誓）代入回归方程有：竿=0.
9、9532.6,解得”225. C【分析】先根据任意角的三角函数求出Z,再求出tana的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.【详解】由任意角的三角函数公式可知8sa=7&解得/=:，r+152一 2 + 1l-(-2)l/tana+tan一所以tan=)=-2,所以tana+；=：XI471-tantan-4故选：C6. C【分析】根据数列的单调性，即可根据2rv6+3对1,2,3,4,5,6恒成立，以及【详解】当123,4,5,6时，%_q=3(+1)2-2，(+1)+2-32+2加-2=6+3-200恒成立,所以2fv6+3对wl,2,3,4,5,6恒成立，故2r7,WN时，=4+
10、94为单调递增的数列，故要使对任意cN*,都有4+I4，则g%,gP48+94372-14r+2,解得，咛，14综上可得飞塔令,故选:C7. B【分析】连接。4、OB、OPf则OAJ.AP,OBLBPf设点尸（乂丁），贝J丁=可得出2的取值范围, a由可求得。的取值范围.【详解】连接OA、OB、OP,贝IJOAJ_AP, OBlBP,由切线长定理可知，I刚=I啊,又因为3=Q8,0P=0Pf所以，MO皿BOP,所以，/APO=/BPo=NAPB=g则IoPI=2OA=2Z?,设点P(,y),则丁=空-/,且R0,a所以,IOH=3=7777=卜+写；=J亨一/4”一从=,所以,湾，故可故选:8
11、. DB.【分析】根据题意可得/(X)为奇函数,其图象关于直线X=I对称且一个周期为4,再根据当xe(),l时，/(x)=x3-x2+x,求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】)+f(x)=O,f(x)为奇函数,又()=+2),/(力的图象关于直线=l对称.当x0,l时，(x)=3x2-2x+1O,f(x)单调递增.由f(-)=f(x+2)=-f(x)，即有f(x+4)=-f(x+2),所以/(x+4)=x),即函数“力的一个周期为4,由r)+f(x)=0可得，f(r)+x+4)=0,所以力的图象关于(2,0)中心对称.函数/(x)的简图如下：其中刍=2,由/(x
12、)=3x-2),，所有实根之和为(+5)+(z+z)+七=4+4+2=10.故选：D.【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；9. BC【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A：z=2-i,所以Z的虚部为T,A错误；对于B：Z对应的点为(2)，位于第一象限，所以B正确；对于C：z=22+(-1)2=5,IZl=历F=6，所以：=1,C正确;对于D：在复平
13、面内IZ-zj?1表示到点(2,1)距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以(2,1)为圆心1为半径的圆，所以面积为S=,D错误，故选：BC10. BCD【分析】根据基本不等式即可求解BD,由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.【详解】对于A,a0,h()f2+1=+1+2Z,)=4+4+2=8,当且仅当竺=?,即=b=J取等号，故A错误，ab24a + 2b = 当且仅当。=给，即=g,b=*取等号，故B正确,a2+b2=(-2b)2+b2=5b2-4b+=5b-+1,故当方=|时，取到最小值(，此时满足题意，故C正确，2“+42J2=2J22b=20,当且仅当2=
14、4J即=g,h=;时等号成立，所以D正确故选：BCD11. ABD【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A,由函数的平移变换可以判断选项B,根据函数图象的零点和最值即可判断C,D.【详解】选项A：根据题意函数f(x)=sinox30)在区间gg上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则-5-5环解得Ov0l又因为图象关于直线l=与，贝号。=E,AeZ,解得。=；+会keZ当2=0时，。=一符合条件.则A正确；4选项B：由A可知/(x)=sin1x向右平移名个单位长度后，解析式变成43SM=sinfx=cosjv，则图象关于)轴对称.B正确；选项C：函数f(x)在区间3等)没有最小值
15、，则令r=x,x(,学)，则4946当-箸?,即一勺等时，没有最小值.c错误；24639选项D：函数f()在区间3岩)上有且仅有2个零点，因为，=兀时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.34所以一VO,即-90,D正确.43故选：ABD.12. ABD【分析】A项中需先解出匕的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求4-|。闾+|朗的最大值，从而进而判断；C项中先求出点Q的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得Q6+QR=2=4,并结合基本不等式判断.【详解】对于A项：因为点P(KI)在椭圆内部，所以1+好1，
16、得2Z4,所以得：e=5=J-=J-e(0.Jj，故A项正确；对于B项：由椭圆定义知|。制+|朗=4-依闾+依耳，当。在K轴下方时，且。，Qt尸2三点共线时，IQii+QH有最大值4+|空|,由e=i,得C=冬4条。),所以得归周=J(g-用+1二手,所以网+创最大值4+争故B项正确；对于C项：设Q(,y),若QRQF2=0,即：(-c,-y)(c-,-y)=O,则得/+V=,也即点。在以原点为圆心，半径为C的圆上，又由A项知:,得c = e=仅,闾,又因为24,得此（应,2）,所以得：cb,所以该圆与椭圆无交点，故C项错误;对于D项：由椭圆定义得QM+QR=2=4,所以i+j=4.（向+jQ
17、MQ周）当且仅当IQ耳I=IQKl=2时取等号，故D项正确.故选：ABD.13. 12【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于数幸福与乡村振兴唱起来相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A；A；=12种.故答案为：1214. -364【分析】利用赋值法计算可得【详解】因为（2%-1）6=必%6+。5/+%,令X=1,贝Jl=%+4+4+&，令X=-1,贝Ij729=%-+6一%+%，一得2（4+%+4）=-728,所以4+6+%=-364,故答案为：-36415. 28【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果.【详解】设没剪之
18、前正方形的边数为q,即4=4,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3,即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：6=4+8x3=28.故答案为：2816. 8244【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和尸，3尸，由于A4,故用四点共圆，三棱锥夕卜接球即为四棱锥G-Aq在的夕卜接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.【详解】将三棱柱的侧面ACGA与侧面A网A沿着AA展开到同一平面内，
19、如下：则GE+鹤长度最小值转化为Gn%的最小值，作点G关于直线8。的对称点“，连接“九交Be于点F,q4%Z.Z4I贝J4即为c+p始的最小值，也即GE+所+户始的最小值，其中G”=2CC=8,B1C1=AB+AC=6+2=8,所以忸问=JCM+昭1=82,此时可求出斯=4,AF=2,且Ng9?=45。，ZAFE=45%故AE=AF=2,AE=2,由勾股定理得M=2Iq尸=4gE=1E2+,Bi2=4+36=2M,所以E尸+8尸=用炉，由勾股定理逆定理可知，EFLBxF9由于故A，产出四点共圆，三棱锥片-cm外接球即为四棱锥G斥的外接球，连接AQ,由于四边形44柱的外接圆圆心为片E的中点Q,半
20、径为卢=机，4G=io,故OQL平面AqFE,所以3平行于GA,取AG的中点W,连接OW,OC,则OW=AQ,且。G即为外接球半径，且。G=商再加7=11U=11外接球的表面积为4而2=44兀.故答案为：82,44【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径17. .4=+1&l3/2-2【分析】(1)利用S”与”的关系，求解通项公式；(2)利用错位相减法求解数
21、列的前项和.【详解】(1)当=1时，of+1=2+2,gpa12-1-2=0,q=2或=-1(舍)当2时，WT+*=25rt.1+2,又因为+/=2S,r+2,两式相减得。“2-q-*=0,整理得(qf+ZJT)(q,-1)=。为为正项数列，an-an-=1数列为等差数列，公差为1.:.an=4+(n-l)l=h+1(2)=3=(wl)3n+,T11=232+333+434+(+l)3frt+03=233+334+435(n+l),+两式相减得-27；,=2x32+33+34+35+0-(+l)3(n+2)18. (1)2-1(2)(3+l,3)【分析】(1)根据余弦定理即可求解，(2)根据余
22、弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得B=2C,即可由三角函数的性质求解.【详解】(1)在AABC中，8=：,据余弦定理可得从=/+。2一248058二/+。2缶。又b2=c(a+c),故/一在z=ac,由于。0,故=(7+l)c,得:=应一1.(2)在11BC中，据余弦定理可得/=2+c?一2accos5,又。*=c(ac),故/一2accosB=ac,又白0,故。一2ccosB=c据正弦定理=,可得sinA-2sinCcosB=sinC,SinAsinCsin一(B+C)-2sinCcos=sinC,SinBCosCCosBsinC-2snCcosB=sinC,s
23、in(B-C)=sinC,因为A8,Cg(0,7),所以3-Ce(-,),则B-C=C或3-C+C=,即B=2C或3=江(舍)所以6sin2cos2C=V3sin2C+cos2C+1=2sin(2C+-)+1,A=Tt-(B+C)=t-3Cy0-3C-2因为是锐角三角形，所以02Cg,得Cv,2640C-2尹沼哼故sin+凯故小SinB+2cos2C(G+1,3),19. (1)分布列见解析，E(X)=21【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，(2)根据相互独立事件的概率，即可求解.【详解】(1)X0,10,20,30P(X=O)=与=J-,P(X
24、=Io)=年=义_=2_,C2120CO12040W。喈假啜C3 35P(X=30) = = - 。120724所以X的分布为X0102030P1120740214072417217所以E(X)=OX+10-+20-+30-=21120404024(2)记“该同学仅答对1道题”为事件M.n,w7zl23E1219v7103103390IQ这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为t.20.证明见解析;【分析】(1)通过证明EZUAaE/FAC来证得所工平面48C；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角-C的余弦值.【详解】(1)取AC的中点。，连接O尸、ODf,.DE/平面ABCfOKU平
25、面ABED,平面ABEDC平面ABC=AB,/.DE/AB,又：。，尸分别为AC,BC的中点，。尸/AB,0F=g48,.AB=2DE：.OFfZDE1OF=DEtJ四边形O为平行四边形，普7/。0,Y在ACAC中ZM=De且。为AC中点，DOLAC.，由平面D4C_L平面A3C,且交线为4C,DOu平面QAC,得DO_L平面ABC.A8,ACu平面ABC,DOLABfDOACt,.EFHDO,.EF上AB,EFlACfVABnAC=AtA8,ACu平面43C,工所/平面ABe(2).DO_L平面ABC,ACBCu平面ABC,所以Do_LACDO_L8C,又因为AB4AC,所以DaAc8C三者
26、两两互相垂直，以。为原点，OA所在直线为X轴，过点0与C8平行的直线为)，轴，0。所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系.则A(Lo,0),C(-l,0,0),B(-l,4,0).*.*EF_Z平面ABC,工直线属与平面ABC所成的角为Nfiw=60./.DO=EF=BFtan60=20,.*.D(0,0,23).平面AOC的一个法向量为m=(OJO),设平面A08的法向量=(x,y,z),UUtl/A=(-20)fAD=(-l,0,23),-2x+4y=0LL贝7+23z-o,取z=1,贝IX=23,y=W,.=(23,3j),由图可知二面角B-A。-C为锐角，二面角8一3C的余弦值为会3(2)
27、f【分析】（1）根据题意求出从即可得解；（2）设A（My）,8（七,）,方法一：分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论,设直线AB方程为），=奴+，联立方程，利用韦达定理求得X+9小，再根据吊+=2求出&,m的关系，从而可得直线AB过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线AB方程为?（1）+心-6）=1,由?咤=1可得（x-4）+4-J（y-6）+62=,再根据占+&=2求出小，从而可得直线AB过定点,412进而可得出答案.16361K【详解】（1）由题意得=2,解得：,ab=12a2+b2c2所以C的方程为I-A=1;(2)由题意，点M坐标为(1,6),点N坐标为(0,6),设A(N,y),
28、8(4必)，方法一：若直线AB斜率存在，设直线AB方程为尸&+叫彳一运，消去y可得(3-公卜2一2右世一?2-12=0,y=kx+m3-Ar2O0,2kmn2+12且为+%=薮/电=一三y1-6y2-6_+m-6)(x2-4)+(hr2+w-6)(x,-4)_=kk(，整理可得(加一42+2)(%+x,)+(2-2)x1x2-8w+16=0,(,一4&+2).至1(22)j一当87+16=0,彳七简得一12加一8攵212攵+2朽+36=0,BP(w-2-6)(w+4-6)=0,因为直线AB不过点?(4,6),所以m+46w,所以加-24-6=0,即m=2A+6,所以直线AB的方程为y=A(x+
29、2)+6,恒过定点(-2,6),若直线A8斜率不存在，则XI=Ji,+必=。，+k=i+Xj+%72=*=2,x1-4x2-4xl-4X1-4解得X=W=-2,所以直线A8的方程为工=-2,过定点。(-2,6),综上，直线A8恒过定点。(-2,6),设点M到直线AB的距离为4,点N到直线AB的距离为d2,SmIB43SNABI-ABJ24NQ2方法二:因为直线AB不过点P(4,6),所以可设直线AB方程为闻x-4)+(y-6)=l,由二_t=1可得(x-4)+0,2m-24n12n+l2,解得用.J-6-6&+匕=+,2x1-4X2-4所以直线48方程为-：(犬-4)+()，-6)=1,O即-
30、(x+2)+6(y-6)=0,恒过定点(-2,6),【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2) “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3)求证直线过定点(XO,%)，常利用直线的点斜式方程)%=MXF)或截距式y=+6来证明.22.(l)2(e-l)x-2y+l=0应【分析】(1)求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；(2)参变分离，构造g*)=三，
31、求导，得到其最小值，求出。的取值范围；厂+2(3)注意到/(0)=1,多次求导得到/(x)=e-2%从而分=g,g,0与O +2min令批)=泻,则gQ)(eA-l)(x2+2)-(ex-x)-2x(3令h(x)=(ev-l)(x2+2)-(eA-x)2x,则/(X)=x2ex+2x,当x0时，Ia)0(x)单调递增，U)(O)=O,所以g(%)之0,所以g(%)在0,+)上单调递增，故g(x)min=g(O)=g,所以g2(3) *)=e-耕-5-2OrJ(O)=1,f,(x)=ex-cvc-x-2,f,(0)=1-2a,令Z(X)=f,(x)=cx-ax2-x-2e,则Y(X)=e*-20
32、x-l,令/(X)=k,(x)=e-2ax-1,贝I(x)=qx-2af11r22当二彳时，/()=e-X3-*fM=x-x-ItZ622贝J%(x)=eX-X-1,Z,(x)=ev-1,当XVO时，l,(x)0/。)在(-,0)上单调递减，当“0时，(x)(UG)在0,+)上单调递增，Y(X)/(O)=O,(x)在(f,位)上单调递增，且Ar(O)=O,所以，当xO时，仪X)Oj(x)O,f(x)在(0,+)上单调递增，所以/(x)min=F(O)=I.所以=T适合，当*时，当0xvln2时，(x)O,/(x)在(0,ln24)上单调递减，/(x)Z(O)=O,MX)=f()=e-加r-勿在
33、(O,In2)上单调递减，因为f,/(O)=l-20,所以在(O,ln2a)上单调递减，此时Ax)vf(O)=l,舍去.当0时，当x0时，r(x)=ev-20r-l(0)=l-20,/S)在(-,O)上单调递增，/W/(0)=1,舍去；当OO,?*)在(ln2,0)上单调递增,k,/(O)=l-20(x)在(In2,0)上单调递增，此时，(O)=l,舍去.综上，=g【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
