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1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理素养目标定方向超学习目标1 .通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.2 .能说出分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.3 .能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.应核心素养1 .通过两个计数原理的学习，提升逻辑推理素养.2 .借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，培养数学运算素养.3 .通过合理地分类或分步解决实际问题，提升逻辑推理的素养.A必备知识探新知只点1分类加法计数原理三完成一件一有两类不同方案.在第1类方案中一R种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法完成这件事共有N=m+“
2、种不同的方雷一提醒：定义中各种方案之间相互独立，任何一类方案中任何一种方法也相互独立.想一想：若完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有册种不同的方法，在第2类方案中有愚种不同的方法在第类方案中有%种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有+股+血种不同的方法.练一练：思考辨析（正确的画“J”，错误的画“X”）（D在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（）（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（）（3）从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船每天有4班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.（）(4
3、)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务,安排方法共有14种.()知识点2分步乘法计数原理想一想：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有几种不同的方法做第步有加种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？提示：共有助X/XX物种不同的方法.练一练：思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)(D在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(X)(3)己知x2,3,7,y3,4,8,则xy可表示不同的值的个数为9.()(4)在一
4、次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有4)种.(X)识点3分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系都是用来计算完成一件事的方法种数区别一针对的是“分类完成问题”针对的是“分步完成问题”区别二各种方法相互独立各个步骤中的方法相互连续区别三任何一种方法都可以做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事想一想：如何判断一个计数原理为分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提不：分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.练一练：如图，从/1-8C有_4种不同的走法；从力-
5、*。有6种不同的走法.解析A8-C分两步:第一步，Ai,有2种走法;第二步，BTa有2种走法.所以C/C共有2X2=4（种）走法.力fC分两类：第一类，力-8-C共有4种走法；第二类，4-。（不经过有2种走法.所以共有4+2=6（种）走法.关健能力攻重难题型探究题型一分类加法计数原理典例1（D如图所示为一个电路图，若只合上一个开关，可通电的线路共有（B）l-r三A.6条B.5条C.9条D.4条（2）某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（C）A.3种B.5种C.7种D.9种（3）有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名.学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖
6、项，学生甲获奖的不同情况有6种.解析（D可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法计数原理知，通电的线路共有3+2=5（条）.（2）分三类：买1本、买2本或买3本，各类购买方式依次有3种、3种、1种，故购买方式共有3+3+1=7（种）.（3）三项体育运动项目，每个项目设冠军和亚军各一名，即每个项目可有2个奖项.由分类加法计数原理，学生甲获奖的不同情况有2+2+2=6(种).规律方法应用分类加法计数原理解题的策略(D标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事
7、.1对点训练(1)为调查今年的北京雾会治理情况，现从高二(D班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有种.(2)某校开设物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数为(用数字填写答案)解析(D完成这件事需要分两类完成：第类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有胪=38+18=56(种)不同的选法.(2)可分为3类，第1类，只选化学不选生物学，需再从物理、思想政治、历史、地理中选择2门，有6种选法；第2类，只选生物学不选化
8、学，同样也有6种选法；第3类，化学和生物学都选，需再从其他4门中选择1门，有4种选法，所以共有6+6+4=16种选法.题型二分步乘法计数原理典例2由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：(I)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？分析(1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0：(2)数字可以重复，但百位上的数字不可为0.解析(D分三步完成.第一步：排百位，1,2,3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有3种不同的方法；第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可以，有2种不同的方法.故可组成无重复数字的三位数共3X3X2
9、=18(个).(2)分三步完成.第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有.4种不同的方法；第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的方法.故可组成可以有重复数字的三位数共3X4X4=48(个).规律方法利用分步乘法计数原理解题的一般思路(I)分步：将完成这件事的过程分成若干步.(2)计数：逐一求出每一步中的方法数.(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.对点训练(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(A)A.56B.65C.30D.11(
10、2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,，99；3位回文数有90个101,111,121,，191,202,999.则5位回文数有900个.解析(1)第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有5种不同的选法.(2)第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法，故5位回文数有9X1OX10=900,故答案为900.题型三
11、两个计数原理的综合应用典例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(D从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解析(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法：从油画中选，有2种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理知共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5X27=70(种)不同的选法.(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选
12、自油画，由分步乘法计数原理知，有5X2=10种不同的选法：第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5X7=35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X7=14(种)不同的选法，所以有10+35+14=59(种)不同的选法.规律方法利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情.其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先
13、分步后分类”.io对点训练如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由2个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（B）A.60B.48D. 24C.36解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6X6=36（个），另外含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6X2=12（个），所以共有36+12=48（个）“平行线面组”.题型四用计数原理解决涂色（种植）问题典例4如图所示，要给力，B,C,四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？解析力，B,
14、C,四个区域依次涂色，分4步.第1步，涂力区域，有3种选择;第2步，涂夕区域，有2种选择;第3步，涂。区域，它与儿夕区域颜色不同，有1种选择;第4步，涂区域，它与4。区域颜色不同，有1种选择.所以根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有3X2X1X1=6（种）.规律方法涂色问题的两种解决方案：（D选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算.若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步.（2）首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理.然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘
15、法计数原理.最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数.对于涂色（立方体）问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.1对点训练将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有42种.解析分别用a,b,C代表3种农作物，将试验田从左到右依次编号为.先种号田，有3种种植方法，不妨设种植a再种号田，可种植6或。，有2种种植方法，不妨设种植力若号田种植八则号田分别有2种种植方法，则不同的种植方法共有2X2=4（种）.若号田种植a,则号田可种植上Z或c.（D若号田种植则号田有2种种植方法；（2）若
16、号EU种植4则号田只能种植。，有1种种植方法.综上所述，不同的种植方法共有3X2X（4+2+1）=42（种）.易错警示分步标准不清致错典例5甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有64种.错解分四步完成这件事.第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况.同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况.由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4X4X4X4=256（种）.辨析用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题
17、时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据.本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况.正解由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况
18、;第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况.由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4X4X4=64（种）.课堂检测固双基1 .已知集合.林=-2,3）,人餐4,5,6,依次从集合掰川中各取出一个数分别作为点的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点。的个数是（A）A.4B.5C.6D.7解析由集合中的元素作为点P的横坐标，集合”中的元素作为点尸的纵坐标，在第一象限的点尸共有2个，在第二象限的点尸共有2个，由分类加法计数原理可得点P的个数为2+2=4.2 .将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（B）A.2160B.720
19、C.240D.120解析第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，根据分步乘法计数原理得，共有10X9X8=720种分法.3 .现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（D）A.24种B.30种C.36种D.48种解析由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色,有2种结果，根据分步乘法计数原理知共有4X3X2X2=48（种）结果.4 .跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第1格：在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有工种办法.解析每次向前跳1格，共跳6次，有唯一的跳法；仅有一次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳5次，有4种的跳法：有两次跳2格，其余每次向前跳1格，共跳4次，有3种的跳法.则共有1+4+3=8种.故答案为8.
