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1、九省联考适应性练习04数学试题卷注意事项：1 .本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2 .答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3 .考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 .已知集合A=xNy=log2（4-x）,8=yy=x-l,xtA,则AB=（）A.0,lB.0,1,2C.1,2,3D.1,22 .在CABC中，CA=终48则SinA:sinB:Si
2、nC=（）543A.9:7:8B.97:C.6:8:7D.673 .过点MQ5）作圆U+y2+4Ty-1=0的两条切线/与圆C分别切于A,B两点，则直线48的方程为（）A.2x+3y-1=0B.2x-3y-=0C.2x+3,-9=0D.2x-3y-9=04.某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日户假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（）5.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为（）
3、A.32dm2B.33dm2C.34dm2D.35rdm26 .6知在数列4中,an+ian2a-ant且q=2.设2=一心，且S“为也的前项和，则S.的整数部分为（）A.2B.3C.4D.57 .奔驰定理：己知点。是liBC内的一点，若力。C,0C,”08的面积分别记为ASS则SQ4+S2OA+S3OC=O.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美/卜的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔/驰定理如图，己知。是的垂心，且OA+2O8+3OC=0,则cosC=（）A诙B.C.巫D.更1010558 .已知函数/(x)=SinX-2v-wcoslt,x0,f
4、(x)0,则实数。的取值范围是()-,+OO 4-,+CO3二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.)9 .己知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和m23,24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,则()A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同10 .函数/(#=85(血+。)(00,一不。O三、填空题(本题
5、共3小题，每小题5分，共15分.)12 .某班设计了一个“水滴状”班徽(如图)，徽章由等腰三角形A8C,及以弦BC和劣弧8C所围成的弓形所组成，劣弧BC所在的圆为三角形的外接圆，若NA=,(0,),外接圆半径为1,则该图形的面积为./X13 .若直线y=履+(j!-j2lzi-z2.若A和6两点之间的距离是J,则A和8两点之间的“直角距离”的取值范围是.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15 .(13分)在3ABe中，内角A,B,C的对边分别为b,J已知该三角形的面积S=Ls2+c2-a2)3nA.2(1)求角A的大小；(2)若=4时，求.ABC面积
6、的最大值.16 .(15分)中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：0,20)20,40)40,60)60,80)80,10031岁40岁48139641岁50岁28102218规定成绩在0,60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在60,100内代表对中医药文化了解程度高.(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；(2)将频率视为概率，现从该地41岁50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对中医药文化
7、了解程度高的人数，求X的分布列和期望.17 .(15分)在四棱锥P-AHCD中，底面ABC。是边长为6的菱形，ZABC=Or,PB=PD,BPAlAC.(1)证明：301平面AC；2若尸A=3,M为棱尸C上一点，满足CM=求点A到平面M8。的距离.18 .(17分)已知双曲线=1的左、右顶点分别为A、B,曲线。是以A、B为短4轴的两端点且离心率为立的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆2相交于另一点(1)求曲线C的方程；设点P、T的横坐标分别为制，X2,证明：XX2=h(3)设力8与APOB(其中O为坐标原点)的面积分别为S/与S2,且PAP810,求的取值范围.19 .(17分
8、)对于项数为加的有穷数列%,设2为“曲,4(=1,2,中的最大值，称数列仇是%的控制数列.例如数列3,5,4,7的控制数列是3,5,5,7.(1)若各项均为正整数的数列可的控制数列是2,3,4,6,6,写出所有的6；(2)设他t是的控制数列,满足a“+%”.1=。(C为常数,=12,m).证明：bn=n(w=l,2,m).(3)考虑正整数1,2,加的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列%.是否存在数列cft,使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列%的个数；若不存在，请说明理由.参考答窠：1. B【分析】由函数有意义求得集合4进而求出集合B,再利用交集的定义求解即得.【详解】由4
9、0,得x4,XxeN,因此A=,123,B=,l,2,所以AB=0,l,2.故选：B2. B【分析】木题可设组速C=变0=如丝=(fAB2+AC2-BC2=-6t,最后通过求出BC、AC,A8即可得出结果.V21,qA88CBCCACAAB(八、【详解】设=r(rl(N).再将等式两边同除以。，得十一所以数列，-1是首项为-：，公比为;的等比数歹J.22故：一%=凡(4-1).又s“+S”=%=,故s“是关于的递增数列,故S“S=&=4；-q=2?-2=2；22当2时，2i(凡T)=EQT)(2”.2)2T1_1_一(2w-l)(2,-l)-2rt,-l-2-1C2fill1I)ClC故(2l
10、-l)I3372m,-12,-lJ2-1综上有2S,3.S,r的整数部分为2故选：A.7. B【分析】延长Co交AB于点P,则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得工：52：53=1血4：12115/11。，再利用50/1+52。3+530=0和04+208+3。7=0可得tanA:tanB:tanC=1:2:3,不妨设tanA=A,tan3=2k,tanC=3攵，利用tanA=-tan(B+C)=-可求出A的值，从而可求出COSC的值.1-tanBtanC【详解】延长8交A8于点P,O是AABC的垂心，.OPLA8,金：S2=(3-0C.BP):(3.0C.AP)=BP:AP=(OPtanN
11、POB):(0PtanNPoA)=tanNCOB:tanZCOA=tan(-A):tan(r-8)=tan:tan?.同理可得S：S3=tanA:tanC,/.S1:S21S3=tanA:tanB:tanC.又SOA+S2OB+S3OC=O,:.tanAOA+tanBOB+tanCOC=O又。4+2O8+3OC=0,.tanA:tanB:tanC=1:2:3.不妨设tanA=k,tnB=2k、tanC=3k,其中k0./c_、tan8+tanCtanA=-tan(B+C)=,1-tanBtanC.2k+3k5/日k=一,解得*=1.-2k3当上二1时，WtanAO,tanBO,tanC0,故C
12、为锐角，SinC=3L/.*cosC,解得cosC=业,sin2C+cos2C=1故选：B.【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得S:S2:S3=tanAAanBAanCt再结合已知条件得tanA:tanB:tanC=l:2:3,设tanA=A,tanM=2KtanC=3少,再利用两角和的正切公式可得左,从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.8. C【分析】依题意可得r对U0恒成立，记鼠力=广”一-公，即g(x)O在2+cosx2+cosxO,+8)上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分”之？、0。、0三种情况讨论
13、，即可求出参数的取值范围.【详解】x0,WO等价于1三r,记g(x)=2；：SI：一v,即g(Hv0在。，+8)上恒成立，、2cosx+l111Y1slx)=T-=-3+-a.(2+cosx)2+cosX3J3当g-4O即1g时，g(x)O,g(x)在0,+功上单调递减，所以当x0时，g(x)g(O)=O即f(x)O恒成立;当040,*所以存在毛(0,3,使得“Go)=O,当x(O,o)时，,(x)O,MX)单调递增,所以MX)z(0)=0,即浮办，所以当xw(O,o)时，smxaxf即f(x)O,不符合题意；2+coSX3当0时，=不符合题意.综上，的取值范围是+j.故选：C【点睛】方法点睛
14、：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.9. BD【分析】根据已知平均数的关系求得=28,再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设,2021+22+23+24+25+2324+25+26+27oUCC=3,所以=28,66甲组数据中6x70%=4.2,故第70百分位数为24,A错;甲乙组数据的极差都为5,B对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28,故其中位数为二寸=25.5,C错;由上易知：甲的平均数为22
15、.5,乙的平均数为25.5,所以甲的方差为!X(2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)=之，乙的方差为JX（2.5?+1.5?+0.52+0.52+1.52+2.52）=,612故两组数据的方差相同，D对.故选：BD10. BC【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可【详解】由图象可知（T=系一一手得T=2几,所以勿=F=1,所以/（x）=CoS（X+）,2因为函数图象过点（葛,1）,所以cos（年p）=l,所以葛+/=2攵乃MeZ,得（p=2k兀一次，kwZ,6因为r90,所以O=,6所以/（X）=COS一系），对于A,因为/（与）=cos（专一卷）=cos
16、=0wl,所以X=与不是F（X）图象的一条对称轴，所以A错误，对于 B, /() = cosX=Sinr所以B正确，对于C,因为/（f）=cos（浮-V）=COS、=0,所以/3）的图象关于点（浮,0）对称，所以C正确，对于D,由一;t+2kx2k,k+2kx)一/(1)=1.可设幺2=InX+C(其中C为常数)，X又对任意的正数m,n恒有f(mn)=nf(nt)+mf(n)+nm,对任意的正数肛恒有皿=/也+3+1,innmnln(w)+C=lnzw+C+lnn+Cl,C=-I,也=InX-1,BRf(x)=xnx-xtX对于A,由上式可得1)=-1,故A正确；对于B,(x)=lnx,设切点
17、为(如/(%),则切线斜率为=In/,.In%=J(An)-/(e)=In/一/，化简得eln%=%,解Xo=e,-e-e所以点(eJ(e)就是切点，所以切线方程为y=x-e,故B错误；对于C,令g(x)=(x)-x+e=xlnx-2x+e,x0,则g(x)=ln工-1,令g(x)0,可得xe,g,(x)O,可得0x(e)=elne-2e+e=0,所以f(x),对DXt(0,+)恒成立，故C正确:对于D,p(x)=/()+x2=xnx-x+x2,p,(x)=lnx+2x,“在(0,+8)上单调递增，K(一)=-l+-0,所以三eg)使P(X)在(0,%)上单调递减，MX)在(题,y)上单调递增
18、，X=七为函数P*)的极小值点且满足InXo+2%=0,/wg,l),/(xo)+3x0=X0Inx0+=-2x+2毛=2毛(1一天)0,故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件，由导数的运算法则得(W)=矿；Q),可设=n+c,再由条件，代入运算求得f(x)=xnx-x,再根据导数知识可依次判断各个选项得解.12. a+sina【分析】分别求出扇形30C的面积，SABc，SlIOc,进而可求出图形的面积.【详解】解：如图:因为 ZA = ,所以 Z.B0C = 2a, 扇形50C的面积为gx2F = ,Sj boc=-x2SinaX(I+cos
19、1)=sin0(l+cos),=llsin2a=sinacosa2则题中图形面积为+sin(l+cos)-SinaCOSa=0+sin,故答案为：a+sina.【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用，是基础题.13. -1【分析】分别设两条曲线的切点分别为4和Y),B(X2,%),根据切点处的导数即为切线斜率和切点即在曲线上又在切线上列方程组，然后求解可得.【详解】设直线y=6+仅0)与曲线f(x)=ei和g(x)=lnx分别相切于4和),8(孙当)，因为1f(x)=eE,g,(x)=X所以=e-2=J，依+力=eT，乜+Z=lnx2.当由可得X=InA:+2,如=1,代入可得：因此&(2+ln
20、Z)+h=kl+b=lnL,k消元整理可得(一1)(Ink+1)=0角军得2=1或攵=1，所以人=o或力=-1e因为Z?vO,所以力=一1.故答案为：-114. 3,3【分析】根据空间两点距离公式，结合三角代换法、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.详解因为AB二府工Tw与齐ms所以设IXIT2=Gc。SeSinQ,M-yz=GsindSinQJZI-Z2=Gcosq,其中仇*e0弓，因此外明二后一百+|%-%|+归一4|二归一天|=GCosOsin0+GsinOsin8+石cos/=GSin*(CoSe+sin6)+GcosQ=sin/sin+-+53cos,因为0,-,所以L 2
21、J4 |_4设z = sin（ + ：）e,于是有4人= Sin GSin （ + ：） = 6t2 +3 sin（0 +arctan,因为砂 0, ,所以Q+arctan, 因此当/ = 1且9+arctan言= IHT 4八冏有最大值j6xl + 3 =3 , 当/=也且*=0或8=E时，4, 22此时 arctan -j=- = arctan 1 = ： , d3 所以4a的最小值卡x* = 5, 综上，A和B两点之间的“直角距 故答案为：6，3,因此SinK+ Je，+ y/3 cos = Jl sn+y3 cos 11 arctan -=-, arctan -7=- + ,2t L2
22、2 2j即当f = l且夕=2-arctan时， 22有最小值，=sin ： = 5 或 = 6siny = j离”的取值范围是C，3.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角代换的方法、运用正弦函数的最值的性质.15. A=；(2)43.【分析】(1)利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.(2)由(1)中信息，结合基本不等式求出儿的最大值即可得解.【详解】(1)在二A8C中，S=bcsnA=(b2+c2-t2)sinA,而O0,b2+c2-a2=bc,由余弦定理得COSA=+：一=4,2bc2所以A4.(2)由(1)知，A=,h2+c2-a2=hc,而=4,于是16=Z+c2-尻、，即162Z
23、w-儿=儿，当且仅当8=c=4时取等，因此.ABC的面积S=-Z?csin-=Zjc43234所以当Z=c=4时，$48C面积取得最大值4J.16. U20(2)分布列见解析，E(X)=2【分析】(1)由表格得出成绩在60,1(叫的人数，计算频率，即可得出答案；(2)由表格得出41岁50岁年龄段中，成绩在0,60)内以及60,100内的人数，求出概率，进而得出X8(3,|).然后列出分布列，求出期望即可.【详解】(1)由表格可知，成绩在60,1(X)的人数为9+6+22+18=55,所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为蚤=.lZU(2)根据表格可知，41岁50岁年龄段中，成绩在0,6
24、0)内的人数为2+8+10=20,成绩在60,100内的人数为22+18=40,402则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率P=?=3,了解程度低603201的概率I-P=右=彳.603由题意可知X3,J,X的可能取值为0,1,2,3,贝 IJP(X=O) = C；P(X=I)=C,xx2=.P(X=2)=C鸣X抬,尸(X=3) = CXf=故X的分布列为X0123P1272949827X的数学期望E(X)=OXg+1x+2x6+3x/=2.17. (1)证明见解析;华.【分析】(1)连接8。交AC于。，连接PO,利用线面垂直的判定推理作答.(2)求出点M到平面A8C。的距
25、离，再利用等体积法求解作答.【详解】(1)在四棱锥PABCO中，连接6。交Ae于。，连接PO,如图，因为底面ABCO是菱形，则8O_LAC,又。是BO的中点，PB=PD,则LP0,而4。0。0=0,4。/0匚平面抬。,所以801平面PAc(2)连接8M,MO,例。，由30/平面尸AC,Q4u平面PAC,则比_LQ4,而Q4LAC,ACCBD=O,ACBoU平面A8C。，因此EAL平面A8CD,又A8C。是边长为6的菱形，ZABC=60,则AC=6,8。=6J,ZsABO面积Am=TX6x3=95，一2过M作AfE77交AC于E,而=3,且CM=5cP,则ME=2,Eo=1,显然ME_LAC,于
26、是MO=5JVfBO面积Sww)=-635=3i?,令点A到平面MBD的距离为，又MEJ_平面A8C。，由匕-MM=V“.am，即:Sw,1=gS八的ME,.3i5=932,解得=然，所以点A到平面MBD的距离为述.5218. (l)2-+=4(2)证明见解析(0，H【分析】(1)设椭圆的方程为4+4=l,ab0t依题意可得A(-1,0),B(1,0),ab推出b=l,又椭圆的离心率为且，解得/,即可得出答案.2(2)设点P(制，”)，ToC2,y2)(x0,yiO,i=l,2),直线AP的斜率为女(20),则直线AP的方程为)，=心+1),联立椭圆的方程，解得必同理可得用=言J,进而可得XX
27、2=1.由得E4=(-1T,-y),丽=(1一pf),由尸4P810,得1bO,依题意可得A(-1,O),B(1,0),所以方=1,因为椭圆的离心率为立，2所以=S=O1=3,即/=4,aa4所以椭圆方程为t+=l.4(2)证明：设点P(xh”)，Ta2,y2)(XO,yfO,/=1,2),直线AP的斜率为(k0),则直线AP的方程为y=k(x+)t联立方程组y=(x+l),V2,整理，得(4+N)f+2AF-4=0,r+2L=I4解得IT京44“2同理联立直线AP和双曲线可得，M=4-k所以同X2=l(3)由PA=(-l-1,-1),PB=(l-xp-y1),因为PAPB10,所以(1)(1
28、-xj+y：10,gp+ll,2因为点尸在双曲线上，则彳；-3=,所以片+4尤一411,即M3,因为点尸是双曲线在第一象限内的一点，所以1V%6,因为$=；NH*S2=lOB-y1=ly1,所以S：_S；=y1-J2=(4-4xj)-(x-1)=5-xi2-4xj.由(2)知，XX2=f即&=,x设f=x；,贝J1V3,贝lS；S；=5T：.44设/(f)=5-t=5-(r+-)5-4=l,tt4当且仅当，=,即f=2时取等号，t结合对勾函数单调性知函数/(E)在(1,2)上单调递增，在(2,3上单调递减.42因为/(3)=5-3-/(1)=0,所以7(1)V)3),所以S；-S；的取值范围为
29、(0,1.19. (1)答案见解析；(2)证明见解析；5?-1)!+1。【分析】(1)由控制数列确定原数列6，只是在确定时，只要牝6即可；(2)由己知证得控制数列4是不减的数列，然后确定4也是不减的数列，由第一项开始可证明对应项必相等；(3)由于控制数列a是等差数列，因此可考虑4=或亳=加两种情形，分类讨论可得.【详解】(1)由题意4=2,%=3,%=4,4=6,a561所以数列4有六种可能：2,3,4,61；2,3,46,2；2,3,46,3；23,4,6,4；2,3,4,6,5；2,3,4,6,6.(2)因为a=max4%,叫，%=max4M2,M4+J,所以%之2，所以控制数列是不减的数
30、列，出是应的控制数列，满足4+黑日二0，C是常数，所以4+为，即数列也是不减的数列，1024，则4+=%+,若4+=bw则4+=%=4=4+,又A=%,由数学归纳法思想可得对=1,2,m,都有以=可；(3)设qj的控制数列是也J,由(2)知出)是不减的数列，瓦必有一项等于m,当小是数列中间某项时，a不可能是等差数列，所以=1或匕f=加，若=，则(n=l,2,.n),是等差数列，此时只要(=m,C2，q，。是123,加一1的任意排列均可.共(加1)!个，bn,=m,而伉工加时，数列a中必有=，否则不可能是等差数列，由此有q=,即q就是L2,3,m,只有一种排列,综上，%的个数是-1)!+1.【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义，本题关键是确定控制数a是不减的数列，从而由此可确定结论.对学生的逻辑思维能力要求较高.
