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1、昌平区2023-2024学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知全集U=R,集合A=/T,则电A=()A.(lj)B.C.(,-1D.l,+)【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式结合补集运算即可得解.【详解】由题意全集U=R，集合A=xdo,A=xx2-l, = 5(-24x)【答案】D【解析】【分析】AB可根据函数图象直接得到在（
2、0,2）上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.【详解】A选项，y=2在（0,2）上单调递增，不合要求，错误；B选项，y=Sinx在k上单调递增，在（弓,2上单调递减，故B错误；C选项，yl-x+x(IT)2 (I)在（0,2）上恒成立,故），二上在（0,2）上单调递增，C错误；l-xD选项，令一Y+40得，0x4,=一/+4=一（一2）2+4在（0,2）上单调递增，而y=log05r在f（O,+）上单调递减，由复合函数单调性可知，y=】ogo.5（f+4x）在（0,2）上单调递减，D正确.故选：D6 .设函数力的定义域为R,则VxR,（x+l）（J
3、r）”是“/（力为减函数”的（）A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.-X-I,x-l 0,1 X 0.5 ,X 0.5, X 0.5一KX0【详解】若“力=0,0x0.5,则/(x+l)=V-x+0.5,X0.5作出函数图象,由图象可知VxRj(x+l)X,则/(x+l)(x),所以WxRj(x+l),。为原点，则AOAP的取值范围是()A.-3,3B.3,5C.1,9D.3,7【答案】D【解析】【分析】设P(X,y),利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得
4、结果.【详解】设P(X,)，因点A的坐标为(一1,6),所以AO=(I6),AP=(X+l,y石)，则AOA户=x+1布6)=X-VJy+4,设f=x-Gy+4,BPy=XH-(4f)，依题意，求，的范围即求直线=*1+*(4-。与圆。-1)2+产=1有公共点时在)，轴上截距的范围，即圆心(1,0)到y=*x+等(4)的距离1=与以4，解得3f7,所以AOAP的取值范围为3,7,故选：D.8 .“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长,Ac求三角形面积S,即S=Bc2a2-C.现有面积为3厉的二ABC满足sinA:sin/?:sinC=2:3:4则一
5、45C的周长是()A. 9B. 12C. 18D. 36【答案】C【解析】【分析】利用已知及正弦定理计算即可.【详解】根据正弦定理可知SinA:sinB:SinC=2:3:4=。：/?:。，不妨设=2Z=b=32c=4Z,二3i?.=3岳=k=2,4所以C的周长是+b+c=9Z=18.故选：C9.已知函数/(x) = 2.一23，则()A.B./(X)不是周期函数-X上存在极值D.元)在区间(0,)内有且只有一个零点【W】D【解析】【分析】对于A,由诱导公式即可判断；对于B,由三角函数周期可得2兀+x)=(x),由此即可判断;对于C,由复合函数单调性即可判断；对于D,令/(力=2加一2Cg=O
6、,x(0,7),解方程即可得解.【详解】对于A,. sin + x14,= Sin 2Ti 所以 j + J = 2sin；= COS X Lcos + X =COSU J U JCOS-2 1+ X4X(4= sin对于B,/(2+x)=2W2*+6_2COS8)=2而-2z=(x),所以是以2为周期的函数，故B错误;对于C,由复合函数单调性可知y=2加,y=2cw在区间(o,上分别单调递增、单调递减,所以/(可在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误;对于D,令/(x)=2SmA2=0,x(0,r),得2*吁=2。,所以SinX=COSX,即该方程有唯解(函数/(x)在(0,)内有唯一零
7、点)x=故D正确.故选：D.10.如图，在棱长为1的正方体ABCo-AqGR中，E为线段AB上的点，且=3,点。在线段AEEB上，则点P到直线AO距离的最小值为()A.也B.3C.-D.I225【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点尸到直线Ao距离的函数关系，再求其最小值作答.【详解】由题意以。为原点，OAoeOA所在直线分别为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为正方体棱长为1,=3,EB(3所以D(0,0,0),4(1,0,0),R(0,0,1),E1,-,04(3、不妨设DIP=ADIE=21,1,j,I4(0,0,l) = U,A,l- L所以A户=R
8、P+。=%(1,-114/DxP DAii = %，da而DA=(1,0,0),所以点P到直线AO的投影数量的绝对值为d=APcosAP,网=所以点P到直线AO距离h =3丫+, 25)25 5等号成立当且仅当7 =3，即点。到直线A。距离的最小值为-.25故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知 sinx = 一一,X 7C,一5 I 2兀，则tanx =3【答案】-#0.754【解析】【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.【详解】由题知，cosX=51-sin2x=-,f3A4又工兀,兀,所以COSX=一二，sinx3所以t
9、anx=.Cosx43故答案为：一412 .抛物线V=4），上一点P到焦点的距离为8,则点P到X轴的距离为【发】7【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设PGP,力)，抛物线的焦点为F(O)，则由抛物线的定义可得IP可=%+f=,+1=8,所以为=7,故点P到X轴的距离为7,故答案为：7.13 .己知数列4的前项和SfI满足S,=2%一,且,%+I，成等差数列，则4=:%=【答案】.2.T【解析】【分析】根据题意，得到%=2%52),得到%为等比数列，列出方程组，求得q=2,再由等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由数列4的前项和SfI满足Sw=2an-a,当m2时，Sa=2%,
10、两式相减可得%=2%52),即乌-=2(2),an-所以数列q是以2为公比的等比数列，又由0p02+1,生成等差数列,所以4+4=2(/+1),即4+44=23+1),解得q=2,所以数列q的通项公式为q=2”.故答案为：2；214 .若函数/(x)=一一在定义域上不是单调函数，则实数加的一个取值可以为.InX,%1【答案】0(答案不唯一)【解析】【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解.【详解】由题知，当x时，)=2、一加递增，当xl时，/(x)=InX递增，又/(%)在定义域上不是单调函数，所以2-znlnl=0,即TnV2.故答案为：0(答案不唯一)15 .已
11、知数列%,q=(0%；%为递增数列；DN*,使得Iaz-匈vl-.其中所有正确结论的序号是.【答案】【解析】结合不等式性质可判定.【分析】利用指数函数的单调性可判定，根据条件递推得%(。),【详解】根据题意可知生二。=。”因01,所以优%(,l),即正确;即由4%=”d%=%/%=a%CaaSVath=07%rt8=46o为，故正确；因为OVaV1,所以屋则2(,l),依次可知(,l),aan.x1.所以1a-att+l-anan+l-a-at故正确.aan()%，从而可判定，此外列举的过程中可得出4用(,1)，再根据不等式性质可判定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤
12、或证明过程.16.如图，在四棱锥尸一ABCD中，尸。_L平面ABeO,底面ABCO是直角梯形，ADlDC,AB/DC,AB=AD=2,DC=PD=4,点、N是PD的中点,直线尸C交平面48N于点M.(1)求证：点M是Pe的中点；(2)求二面角A-MN-P的大小.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)只需证明MNCD,而AB/CD,故只需AB/MN,所以只需证明A3/面尸C。即可.(2)建立适当的空间直角坐标系，分别求出面AMV和面MNP的法向量，由法向量夹角余弦的绝对值公式，结合二面角是钝角即可得解.【小问1详解】由题意AB/CD,Cz)U面尸CO,ABz平面PC所以A3面PC。，又直
13、线PC交平面ABN于点M,即面ABNMC面PCD=MN,所以AB/MN,又因为AB/CD,所以MN“CD,又因为点N是PO的中点，所以点M是PC的中点.【小问2详解】因为尸Z)_L平面ABCZ),OAoCU平面ABC所以PO_LDAPr)_LDC,又因为4。_LQC,所以DADcoP两两垂直，所以以点。为原点，DAocQP所在直线分别为羽V,z轴建立如图所示的空间直角坐标系:因为底面ABCo是直角梯形，AD.LDC,ABDC,AB=AD=2,DC=PD=4f点N是PD的中点，点M是PC的中点.所以4(2,0,0),0(0,0,0),P(0,0,4),C(0,4,0),N(0,0,2),M(0,
14、2,2),所以就=(0,2,0),24=(2,0,-2),NP=(0,0,2),不妨设面AAW和面MV尸的法向量分别为4=(N,y,zj,%=(-2J722),NA n = 2x - 2 z1 = O和“NM n1 = 2 = ONA n2 = 2x2 - 2z2 = ONP n2 = 2 z2 = O不妨令玉=%=1，则解得X=。,Z=LX2=z?=O,即取面AMN和面MNP的一个法向量分别为勺=(L(U),%=(1,0,0),不妨设面AMV和面MNP的夹角为仇则 COSe=Inn2子四二丽正22Tl所以七73兀而显然二面角AMV-尸是钝角，所以其大小为兀一6二=.4417.在.ABC中，Z
15、cosC+CCOSg=2COSA.(1)求角A的大小；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为己知，使得/8C存在且唯一确定，求43C的面积.条件：。=7；条件：c=8：条件：cosC=.7Tr【答案】(1)=-(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用正弦定理可得答案；(2)若选条件、，由余弦定理解得AC=3或4C=5,不符合题意；若选条件、，利用平方关系求出SinC,由正弦定理可得A8,利用两角和的余弦展开式计算出cosB,利用平方关系求出sin8,可得S,八时，符合题意；若选条件条件、，利用平方关系计算出SinC，由正弦定理解得BC，利用两角和的余弦展开式计算出CoS8,利用平
16、方关系求出sin5,可得5M品，符合题意.【小问1详解】由正弦定理得SinBcosC+sinCcosB=sin(BC)=2sinAcosA,因为在二48C中，r-4=8+C,所以SinA=2sin4cosA,又因为00可得SinC=-cos?。=，7ABBCAR=在二ABC中由正弦定理可得二，即43，解得48=8,sinAsine27cosB=cos(-A-C)=-cos(A+C)j入d.114311=-cosAcosC+sinAsmC=-+X=，272714因为0B0可得Sine=Jl-cos?。=,BC8BCAR=在JWC中由正弦定理可得=，即46，解得BC=7,sinAsine27cos
17、B=cos(-A-C)=-cos(A+C).”a.114311=-cosAcosC+sinAsmC=-+X=，272714因为0B所以SinB=Jl-Cos?B=所以S八8=-ABiBCSinB=，创87?=IOjL符合题意.做221418.某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：90,100),100,110),110,120),120,130),130,140,并整理得到如下频率分布直方图:M*.*.(1)求机的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于IlO分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评
18、分不低于UO分的车主送价值2000元的售后服务项目.若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望E(X);(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为y,问人仕=0,12.,10)为何值时，p(y=z)的值最大？(结论不要求证明)【答案】(1)W=0.028；(2)分布列见解析，期望6900；(3)k=7.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的性质计算即可；(2)利用频率分布直方图及离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可；(3)利用二项分布的概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.005+0.025+0
19、.035+机+0.007)Xlo=I=m=0.028：【小问2详解】根据频率分布直方图可知评分低于】10分的占比0.3,评分不低于110分的占比0.7,任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于UO分，所以X可取9000,8000,7000,6000四种情况，P(X=9000)=0.33=0.027,P(X=8000)=30.32X0.7=0.189,P(X=7000)=30.3,0.72=0.441,P(X=6000)=0.73=0.343,故X的分布列为：X9000800070006000P(X)
20、0.0270.1890.4410.343则E(X)=90000.027+80000.189+70000.441+60000.343=6900；【小问3详解】由题意可知P(Y=k)=CfOX(0.7)(0.3),0-a,可知当A=7时尸(丫=)取得最大值.证明如下：设P(E)最大，即2所以Cx(0.7)Ax(0.3产C柒X(0.7广，(0.3),r,Cox(.7yx(.3)gC0dx(.7)J(.3i0.30.7化简得I叱Y=6.7k7.7,因为0左10,ZN,故左=7.0.70.3齐宜19.已知椭圆E:0+m=1(人0)经过点M(2,0),离心率为乎.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点TaO)
21、的直线/与椭圆E有两个不同的交点AB(均不与点M重合)，若以线段AB为直径的圆恒过点M,求f的值.【答案】(1)l+Z=i42t=-3【解析】【分析】(1)利用椭圆的性质计算即可；(2)设点48坐标及设直线/方程，利用MA.MB=O结合韦达定理计算即可.【小问1详解】4由题意可知一=l=。=2,a又离心率为e=叵王=YZn/=2，a2即椭圆方程为：+=1；42【小问2详解】设直线/：X=由+r,4(,M),8(%2,%)，则MA=(JCI2,*),MB=(X22,%)，因为以线段A5为直径的圆恒过点M,所以加M3=0,联立直线与椭圆0,由MA例8=0,=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(2
22、+l)y1y2+(r-2)(y1+y2)+(r-2)2=0,2整理得3/8，+4=0=，=2或，=，【答案】20.x+y-5=021.答案见解析22.2;理由见解析【解析】【分析】(1)求出r(x)导数，然后求出r(2),从而求解.(2)由(1)知g(x)=/(X)=(-f+2x)e2r-i,然后求出导数g(x),从而可求解.(3)根据(2)中分类讨论g(x)的情况，然后求出相应g(x)=O的解，从而求出单调区间，从而求解.【小问1详解】由题意知/(x)=2t-x+1,定义域为R,所以(力=(一/+2工户一-1,所以直线的斜率攵=尸(2)=-1,/(2)=3,所以切线方程y=-x+5,即x+y
23、-5=0.【小问2详解】由知8(力=八%)=(一工2+2_k-，一1,所以g，(X)=(X24x+2)e2,令gG)=O,即工2_4无+2=0,解得x=2-或x=2+,当x(-,2-夜)，g0,当xQ-,2+血)，g(x)v,当(2+2,+),g(x)0,所以g(x)Q+,+)单调递增，在(2-,2+)单调递减.【小问3详解】2个极值点，理由如下：由(2)知当e-l0,g=70,所以存在唯一玉(,2-0),使g(%)=0:当2-应x0,g(2+应)vg=-12+时，(-f+2x)0,所以g(x)=(-f+2x)e2-l0所以g(x)在区间(2+J,+)无零点；综上，当x(-oo,%),g()=
24、r(o,当x(2,+oo),g(x)=f(X)V0,所以当X=%时，冗)取到极小值；当X=X2时，/(/)取到极大值；故有2个极值点.21 .己知Q：q，4，,4为有穷正整数数列，且W/Ww%集合X=T,0,l.若存在xiX,/=1,2,k,使得%4+%七+-，+七=1，则称/为-可表数，称集合T=tt=x1q+x2a2+七4，玉X,i=l,2,2为Z-可表集.(1)若Z=10,4=2”,i=l,2,k,判定31,1024是否为女一可表数，并说明理由；平_1(2)若1,2,证明：7r-2.;(3)设q=3=1,2,k,若1,2,2024T,求3的最小值.【答案】21.31是我一可表数，1024
25、不是4-可表数，理由见解析；22 .证明见解析；23.8【解析】【分析】(1)根据定义赋值及数列求和计算验证即可；根据定义判定sT则有7,从而可知1,2,0T,利用集合间的基本关系得出T中最多含有3k个元素，解不等式即可证明；(3)利用第二问的结论可设VN*,nN*,有二ZIC1,然后利用定义先证为切一可22表数，再根据三进制的基本事实确定Z的最小值为满足二km成立的，代入=2024求22m即可.【小问I详解】31是，1024不是,理由如下：由题意可知N4x2c2+xkck=t,当日=2,2=i时,有石+2+2=t,xi-l,O,l,显然若玉=-1,维=1，七=(左2,3,4,5,7,8,9,
26、10)时，=31,Wr20l+2,l+22l+.+291=2,o-1=1O23-；2【小问3详解】由题意可设DN*,nN,使?上lzlh二1,22qT_1Xxl1+x23+x332+Zi3w211+13+132+13w2=-所以加一1,即左/?,3”1而Ixl+lx3+l3?+1x3=,2Vl1即当=_?.时，取4=,%=3,.qH=3i时，为加一可表数，2f_1因为2x(1x1+1x3+1x32+13,-1)=2-=3,m-1,由三进制的基本事实可知，对任意的0p3-l,存在号0J2(i=l,2,孙),使P=4x3+为x3+rm3w,下”1所以p-l2=hx3+G夕+0x3i)-(30+3+
27、3i)=(LI)X3+&-l)3+(J)x3R令七二号-1,则有%-l,0,l,i=l,2,m,设 f = p_3m-l3,n-lt3m-l3w_13,m_1由的任意性，对任意的一-t-Z,22都有f=玉x3+x3+xz,j3w,l,x,-l,0,l=l,2,m,3m-又因为-所以对于任意的2r%fZ,为?一可表数,2综上，可知A的最小值为加，其中加满足匕二1-1,2237-138-1又当=2024时，-22所以2的最小值为8.【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定T中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设VN,mmN,有3-1rHz!,利22用定义先证为机-可表数，再根据三进制的基本事实设任意的Op3-1,存在j0J2(i=l,2,?,)，使=4x3+x3+3w,得出，=一WLl并结合定义确定Z为机-可表数，从而确定人的最小值为满足匕匚（九老二成立的加，代入=2024求用即可.
