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1、第1章集合与常用逻辑用语模块1集合()内容提要在全国高考中，集合这一节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考的知识点.L集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性.2 .集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中AQB或真子集集合4是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB集合相等集合A,B中的元素相同或集合4,B互为子集A=B3 .子集个数：含有n个元素的集合的子集有2几个，非空子集有小-1个，真子集有21-1个，非空真子集有2九-251)个.4 .集合的基本运算运算自然语言符号语言并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A
2、UB=xIX64或Bs交集由属于集合/且属于集合B的所有元素组成的集合AB=xXE4且B)补集由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合QuA=xxEU且XEA类型I：集合的概念、集合中元素的性质例1设集合4=2,2-+2,l-,若44则Q的值为答案：2或-3解析：4这个元素在集合4中，故依次考虑4中的每一个待定元素为4即可，因为44,所以M-Q+2=4或I-Q=4,解得：。=2或1或3；注意还需代回去检验集合A是否满足元素互异，当Q=2时，A=2f4,-1),满足题意；当Q=-I时，l-=2,不满足元素互异，舍去；当q=-3时，4=2,14,4),满足题意；综上所述，Q的值为2或3.反思求出
3、集合中参数的值后，务必检验是否满足集合中元素的互屏性.类型n：根据集合相等求参例2已知集合4=,b,1B=-1,2,2),若A=8,则a。=()A.1B.i2C.-lD.1或答案：A解析：集合B中只有1个待定元素故先考虑它是集合A中的谁，观察发现只能是1,因为1A,且4=8,所以1B,故a2=，解得：a=1,求出两个值，还需检验是否满足元素互异，当Q=I时，集合A中有相同元素，舍去，所以Q=-1,此时4=-l,b,1,B=-l,2,1,对比可得b=2,所以卢=(-1)2=L反思根据集合相等求出参数的值，务必检验是否满足集合中元素的互异性.变式已知集合4=xRIX2ax1=0,=xRIx22xa
4、3=0,若4=B,则实数a的取值范围是答案：(一2,2)解析：48都是一元二次方程的解构成的集合，先考虑它们都无解的情况，若A=B=0,则件一以N解得：-2qv2;U2=2-4(-a+3)O时，由QX+1O可得-，所以B=(-8，T要分析怎样能使BG4可函数轴来看，注意单独考虑端点燃否重合，BGA的情形如图1,所以一二V-1,解得：0VQV1；a当QVO时，由QX+1O可得-工，所以8=-工，+8),BGA的情形如图2,从而一L3,aLaa故一1v;综上所述，实数的取值范围是一/1).Ll1-L1r1-13-131图1图2总结分析列举法表示的集合间的包含关系，对比两个集合中的元素即可；而对于连
5、续取值的集合间的包含关系，常函数轴分析，需重点关注端点燃否重合；另外，当子集含参时，一定注意讨论子集为空集的情况.类型IV：子集个数例4已知集合4=1,2,3,集合B=(x,y)xA,yAx-y,4,则集合B的子集个数为答案：64解析：分析子集个数，需先分析集合中元素的个数，观察发现X和y各自都只有3种取值，可列表来看，X111222333y123123123-yO121O121O由上表可知集合B中的元素有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),共6个，所以B的子集有26=64个.反思求集合的子集个数，需先分析集合中有几个元素，再代结论即可(见内容提要第3点).
6、类型V：集合的基本运算例5(2022.浙江卷)设集合4=1,2,B=2f4,6,则4UB=()A2B.l,2C.2,4,6)D.l,2,4,6)答案：D解析：求并集，把两个集合的元素合在一起即可，由题意，4UB=1,2,4,6),变式已知集合4=x-2x0,若4UB=R,则的取值范围是()A.(8,1)B.(l,3)C.l,3D.3,J答案：B解析：/-5x+4OQ(x-1)(%4)OQ%V1或%4,所以B=(-8,I)U(4,+),分析连续取值集合的并集，可函数轴来看，其中端点燃否重合需要重点关注，如图，要使4UB=R,。一2与1,+3与4都不能重合，否则并集中就取不到端点处的元素，所以应有
7、解得：l3.反思4UB=%：/或B,对于连续取值的集合的并集，可函数轴分析，尤其需要注意端点.例6(2022新高考I卷)若集合M=xI三4,N=x3x1,则MnN=()A.xIO%2B.%IJ%2)C.xI3%16D.%IJ%16)答案：D解析：x40x16,所以M=%IO%V16,3x1x所以N=xx卦，求连续取值的集合的交集，可函数轴来看，如图，MCN=xxl.U-T-UxOJ163变式已知集合4=xIX2-%-20,B=x2aX2,若4CB=则实数a的取值范围是答案：O,解析：x2-x-20(x+l)(x-2)O-1X2,所以4=-1,2,接下来分析怎样能使4F=0,先考虑B为。的情形，
8、当B=。时，22,解得：O2,此时满足411B=。；再考虑B非空的情形，此时可函数轴来看，当B0时，首先应有2a2(1)：其次，图形应为图1或图2所示的情形，若为图1,则q2-1,无解；若为图2,则2q2,解得：qL结合(1)可得2;综上所述，实数的取值范围是0,.1t=lxI12。a2-12-122aa2图1图2反思根据交集为空集求参，一定要考虑含参集合本身为空集的情况.例7(2022全国甲卷)设全集U=-2,-1,0,1,2,3,集合4=-1,2,B=%I%2-4x+3=0,则Cu(4UB)=()A.1,3B.0,3C.-2,1D.-2,0答案：D解析：X24x+3=0(x-1)(%3)=
9、0QX=1或3,所以B=1,3,又A=-l,2,所以力UB=-1,1,2,3),接下来求Cu(AUB),只需在全集U中把AUB这部分去掉，取余下部分即可，所以CU(AUB)=-2,0.变式设全集U=R，集合A=xx2-(2m+l)x+m2+n0,B=x-2x1,若集合(CUA)B中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围是答案：(-2,-l)u(-l,0)解析：X2(2m+l)xn2+zn0(x-m)(x-m-l)0mxm+l,所以4=(m,m+1),故CuA=(-8,mum+l,+),再分析CI与B的交集，可函数轴来看，尤其需要关注端点燃在重合，要使(QA)nB中有且仅有1个整数，则可能的情形如
10、图1和图2所示，若为图1,m不能与一1,O重合，否则交集中有2个整数，所以一1租0血+1V1,故1VmV0；若为图2,m不能与一2,-1重合，否则交集中有2个整数，所以一2VmV-IVm+IV0,故2VmV1；综上所述，实数m的取值范围是(2,1)U(10).i.1.ux-TI.1.xx2-1m0m+11-2w-I101图I图2总结从上面两道题可以看出，分析列举法表示的集合的并集、交集、补集，直接从元素来看即可；而对于连续取值的集合，则常函数轴来分析，且往往需要重点关注端点.类型VLVenn图例8设集合U=l,2,3,4,5,若(C)U(QB)=1，2,3),则/nB=()A.4,5B.3,4
11、,5C.l,2,5)D5答案：A解析：直接由(CtM)U(QB)=U,2,3不易分析4B的情况，可画Venn图来看，如图，(CUA)U(QB)表示在全集U中，把4CB的部分去掉，余下的部分，即(CUA)U(QB)=Cu(AHB)t因为(Ql)U(QB)=1，2,3,所以CU(AnB)=1,2,3),故A8=4,5.反思当集合间的运算较抽象时，不妨画Venn图来分析，往往可使问题明朗化.例9学校举办运动会时，高一1班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，那么只参加
12、游泳一项比赛的有人；同时参加田径和球类比赛的有人.答案：9；3解析：题干的信息较复杂，不妨画出图形，并根据题意把各部分的人数标注出来，如图，图中的15、14、8是参加三项运动各自的总人数，所以只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人；再求同时参加田径和球类比赛的人数，可设为,只需把只参加田径、只参加球类的人数都用工表示，再由共28人参赛来建立方程求工,由图可知只参加田径比赛的有8-3-%=5-%人，只参加球类比赛的有14-3-=11一%人，所以9+(5-)+(ll-%)+3+3+%=28,解得:x=3,故同时参加田径和球类比赛的有3人.总结涉及多个集合关系的文字题目中，通过画图可将文字信息直观
13、地呈现出来，使问题明朗化.类型VH：集合综合题例10在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个九位正整数的所有数位上数字的几次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数,已知所有一位正整数的自恋数组成集合4集合8=%-3Vx4,xZ,则AnB的子集个数为A.3B.4C.7D.8答案：D解析：先求出集合4得从题干的信息开懂正整数自恋数的定义，一位正整数有1,2,3,9,它们都满足所有数位上数字的1次
14、方和等于这个数本身，所以它们都是自恋数，故4=1,2,3,4,5,6,7,8,9,又B=x|-3V%V4,xZ=-2,-1,0,1,2,3,所以4CB=1,2,3),故AB的子集个数为2?=8.例11设/,x2,X3X4R，集合A=xijlij4且i,JN,若A=-18,-3,1,i,I,6则XlX2%3%4=答案：3解析：要求%62%3%4，应先分析集合芍I1i/4且i,JN中的元素，可按i,J的可能取值来罗列，由题意，集合4中的元素演芍所有可能的情况如下表：i111223J234344XiXj%62%2%3%2必%3%4由所给条件知集合4中有6个元素，所以上表中所列的修芍的6种情况即为该6
15、个元素，我们要求的是修小的乙，故无需分析上表中的勺与所给6个元素如何对应，直接全部相乘即可，因为集合力=-18,-3,-1,6卜所以(Xl%2),(%1%3),(%64),(%2%3),(%2%4)(x3x4)(x1X234)3=-18X(3)(1)X(-，)X(X6=27,故=3例12设S为实数集R上的非空子集，若对任意的,yS,都有+y,x-y.xyS,则称S为封闭集.下面是关于封闭集的4个判断：(1)自然数集N为封闭集；(2)整数集Z为封闭集；(3)若S为封闭集，则一定有0S;(4)封闭集一定是无限集.其中正确的判断是A(2)(3)B(2)(4)C(3)(4)D.(l)(2)答案：A解析
16、：(1)项，自然数之差不一定是自然数，所以结合封闭集的定义知N不是封闭集，下面举个反例，因为2N,3N,但2-3=-lEN,所以自然数集N不是封闭集，故(1)项错误；(2)项，对任意的,yZ,%+y,x-y,%y都为整数，所以整数集Z是封闭集，故(2)项正确;(3)项，要判断OS是否正确，可尝试结合已知条件构造出0,观察发现由yeS可产生0,若S为封闭集，取=yS,则-y=0S,故(3)项正确；(4)项，正面推证结论不易，尝试寻找反例，受(3)的启发，我们考虑只有0的单元素集合，设S=0,则对任意的X,yS,必有=y=0,此时，x+y=x-y=xy=OeS,所以S为封闭集，但S不是无限集，故(
17、4)项错误.模块2常用逻辑用语()内容提要常用逻辑用语包括充分条件和必要条件、全称量词命题和存在量词命题两部分内容，有关考题由于涉及其它板块的知识，所以有一定的综合性，下面先归纳本节涉及到的一些知识点.1 .充分条件、必要条件的判断概念：命题“若P，则q”为真命题，则称P是q的充分条件，q是P的必要条件p=q且q=pP是q的充分不必要条件p=q且q=pP是q的必要不充分条件p=q且q=pP是q的充要条件，记作PQqp=q且q=pP是q的既不充分也不必要条件2 .集合角度看充分条件和必要条件：若QB,则A是xB的充分不必要条件.我们将这一结论简记为“小可推大，大不推小”.3 .含有一个量词的命题
18、的否定：(1)全称量词命题，M,Pa)”的否定为勺M,-IP(X)(2)存在量词命题勺M,p(%)”的否定为，M,-IPa)4 .命题及其否定的真假关系：命题P与该命题的否定的真假性必定相反.类型I：判断充分条件、必要条件例1设R,则|x-II1”是0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：所给的两个不等式都能解，先把不等式解出来再看，由|x1IVl可得一IVX-IV1,所以OVXV2,由0可得(+4)(x5)V0,所以4%5,故问题等价于判断0x2”是4Vx5”的什么条件，若OVXV2,则必有-4V%V5,所以充分性成立；若一42。”是“In
19、M比坟”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第1章集合与常用逻辑用语答案：D解析：两个不等式虽不能解，但都能化简，可先化简再看，22hb,Ina2Inb221na21nbabf所以问题等价于判断“Qb”是“|a|g|”的什么条件，下面分析两者能否互推，当ab时，ab不一定成立，例如a=l,b=-2时，满足ab,但a向时,ab也不一定成立，例如a=-2,6=1时，满足aI8|,但a2”是“Ina?1昉2”的既不充分也不必要条件.反思判断两个复杂不等式之间的充分条件、必要条件关系，可先通过等价变形将不等式化简再看.变式2已知a,bR,则ab”的一个充分不必
20、要条件为A,a2b28.1 naInbC.-2b答案：B解析：注意审题，选项是ab的充分不必要条件，所以应该是选项能推HS4但ab不能推出选项，可将各选项化简再看，A项，q2坟=Qb,由上面的变式1可知a出|是Qb的既不充分也不必要条件，故A项错误；B项，lnInb/?0,于是只需判断Qb0是否为Qb的充分不必要条件,当Qb0时，ab成立；但当b时，qb0不一定成立，例如=1,/?=2时，满足Qb,但不满足Qb0,所以Qb0是Qb的充分不必要条件，故B项止确；C项，由工V：不能得出b,例如，取Q=-1,b=l,满足工b的充分条件，故C项错误；abD项，2a2bab,所以2。2是Qb的充要条件，
21、故D项错误.总结从上面几道题可以看出，判断P是q的充分条件、必要条件这类题，可以直接判断p,q能否互推,也可将它们分别进行等价转化后再判断.类型n：根据充分条件、必要条件求参例2若“一2xm”是“%2_%_6V0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是答案：(3,)解析：不等式的解集容易写出，故可翻译成集合间的包含关系，再求Tn的范围，x2-x-60(x+2)(X-3)0-2x3,记力=xI2%3,B=x2xmf因为一2VxVTn是/-X-60的必要不充分条件=X2-x-63,此处m不能等于3,否则两个不等式应为充要条件关系,-23m反思p是q的必要不充分条件=q是P的充分不必要条件=q代表的
22、范围呈P代表的范围.变式关于的不等式/一2x+10在R上恒成立的充要条件是()A.01B.01D.1答案：C解析：注意到平方项系数为字母，故需讨论其等于O的情形，当Q=O时，q-2x+10即为-2x+l0,该不等式只在0恒成立，需满足二次函数y=q/-2%+1开口向上，且与T轴没有交点，所以彳?ZI/八，解得：l;综上所述，/一2+1。在R恒成立的充要条件是QL总结由充分不必要、必要不充分条件求参，可用集合的包含关系来分析；由充要条件求参，则直接等价考虑.类型11L全称量词命题、存在量词命题的否定例3命题p：V%R,+10的否定是（）A.3xR,X3X2+10B.3xR,%3X2+10C.Vx
23、R,x3x2+10D.3xR,x3-X2+10答案：D解析：否定全称量词命题，先将“V”改为2，再否定结论，命题P的否定为WR,X3-X210.例4设命题p：3xR,X2+1=0,则命题P的否定是（）A.x0R,X2+1=0B.VxR,x2+10C.3xCR,X2+1=0D.3xR,x2+10答案：B解析：否定存在量词命题，先将“三”改为“V”，再否定结论，命题P的否定为VxR,X2+10.总结否定全称量词命题，先把“任意”改为“存在”，再否定结论；否定存在量词命题，先把“存在”改为“任意”，再否定结论.类型V：判断全称量词命题、存在量词命题的真假例5(多选)下列命题中，真命题有A.VxR,/
24、%-jO4BHlnxi2C.3xR,exOx1112,ff(x)Vo=%Vln2,从而/(x)在(8,ln2)_t,在(In2,+)7,故/(x)/(ln2)=en2-21n2=2-21n2O,所以V%R,都有H-2x0,Jex2%,故C项为假命题；D项，当TT-8时，2x0,X2+,2X/不成立，故所给命题为假命题，下面举个反例,当=-1时，2*=2一】=：,X2=(-1)2=1,所以2V,故D项为假命题.总结判断全称量词命题为真，需论证所有情形下结论都成立，而要判断其为假，则只需寻找一种使结论不成立的反例即可；判断存在量词命题为真，只需寻找一种使结论成立的情况即可，而要判断其为假，则需证明
25、所有情形下，结论都不成立.类型V:由全称量词命题、存在量词命题的真假求参例6已知命题p：xR,3+3-是假命题，则实数a的取值范围是答案：2,+)解析：直接由命题P为假不易求Q的范围，而P为假等价于P的否定为真，故可从反面考虑，因为P为假命题，所以P的否定?xR,使得3、+3一、为真命题，所以(3+3r)min,因为3%+3一%23%3-=2,当且仅当3%=3-3即=O时取等号，所以(3*+3r)rnm=2,故a2.反思(1)全称量词命题或存在量词命题与其否定的真假性一定相反；(2)遇到根据命题为假求参的问题，可考虑转化为由该命题否定为真来分析.变式若命题p：3xR,q+2ox+10是假命题，则实数的取值范围是答案：0，1)解析：正面考虑命题P为假，不易求。的范围，故可从反面考虑，P为假等价于P的否定为真，由题意，命题P的否定为VXR,x2+2x+l0,且此命题为真命题，平方项系数为字母，需讨论，当Q=O时，Qx2+2OX+10即为10,恒成立，满足题意；当QO时，/+2ax+1O恒成立等价于；;2-4aQ1解得：OVaV1；综上所述，实数的取值范围是0,1).高中数学交流加群失败，微信扫码加我更多资源请加微ABCYZXT联系期待更多同行交流
