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1、微专题7导数与函数的单调性、极值、最值高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.【真题体验】1.(2023新高考11卷)已知函数外)=浸一InX在区间(L2)上单调递增，则。的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C解析因为函数外)=qex-Inx,所以)=er-1.因为函数/)=4e-Inx在(1,2)上单调递增，所以/(x)20在(1,2)上恒成立,即讹一320在(1,2)上恒成立，易知0,则0Wxev在(1,2)上恒成立.设g(x)=xex9则g0,g(x)单调递增，所以在(L2),
2、g(x)g(l)=e,所以we,即2:=e,故选C.ClCbc2.(多选)(2023新高考H卷)若函数Jx)=an彳+:+在。Wo)既有极大值也有极小人v值，贝|()A,.bcOB.abOC.+84c0D.ac0f产。，bn贝川加+也0,即J/Ulxx2O,-2c庐+80c0,IabOt所以C故选BCD.ac09bc%=(x+1)COSx,x0,2.令Fa)=0,解得工=一1(舍去)，jr3X=或x2因为y=cos+(j+l)sin5+1=2+；,()=cos多+怎+1)Sin争+1=-当，又JO)=CoS0+(0+l)sin0+1=2,/(2)=cos2(2l)sin21=2,TrTL所以
3、/U)max =/(1) = 2+,U)min=g)=一当.故选 D.314.(2022全国甲卷)已知=豆,1-41-4/!X.cbaB.bacC.abcD.acb答案A解析 因为 6=COS 1=12sin2,所以ba=-令y(x)=xsinx,则/(x)= 1 cosx20,所以函数7U)在R上单调递增,所以当心0时，yu)M)=o,即有xsinx(xO)成立，所以*sin上，得2sin2,所以比.1 - 4 n 4ta =4 1-4-1所以令g(x)=tan-X,cos2xsin2x1cos2x则g(kBT=Fr2，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当心0时，g(x)g(O)=O,
4、即有tanxX(X0)成立，所以tan；不即4tan11,所以又比0,所以Ob.综上cb故选A.5.(多选)(2022新高考I卷)已知函数yU)=x3-+l,则()AU)有两个极值点Br)有三个零点C.点(O,1)是曲线y=(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线=U)的切线答案AC解析因为yu)=x3-x+,所以F(X)=3/一i.令F(X)=3一1=0,得X=坐.由/(x)=3x2-10得G坐或x一坐;由F(X)=3f10得一曰x坐所以yU)=%3x+在(坐，+8),18,一坐)上单调递增，在(一坐,坐)上单调递减，所以yu)有两个极值点，故A正确；因为T(X)的极小值周=惇一尊+1=1-苧
5、0,12)=(2户(2)+1=50,所以函数段)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)=x3-的图象向上平移一个单位长度得函数兀v)=Rx+1的图象，函数g(x)=x3-的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,D是曲线yu)=-+的对称中心，故C正确；假设直线y=2x是曲线y=y(x)的切线，切点为(X0,o),则f(XO)=3xo1=2,解得XO=1；若Xo=1,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上；若刈=1,则切点坐标为(-1,1),但点(一1,1)不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.【热点突破】热点一利用导数研究函数
6、的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.考向1求函数的单调区间2例1已知/U)=(-Inx)+-7一,R.讨论/(x)的单调性.2 l 2(or22) (-1)f(x)=a解40的定义域为(0,+8),.v,若W0,当x(0,1)时，/(x)0,7U)单调递增,当x(l,+8)时，/()v,兀V)单调递减;a (-若 a0, f(x)=产x+当 x(O, 1)U当 x 1,时，/()o, yu)单调递减.当。=2时,当0o, yu)
7、在(0, 1=1,在X(0, +8)内,+8上单调递增,/()o,yu)单调递增.当。2时，O0,/)在 0,1时，o, 7U)单调递减.，+8)上单调递增,综上所述，当W0时，段)在(O,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减;当02时,内单调递增,1内单调递减，在(1, +)内单调递增.考向2单调性的应用例2(1)(2023西南大学附中质检)若函数应)=(-2CoSX)SinX+X在R上单调递增，则。的取值范围是（）八111lA.0,2B.22C.（-8,一；）D.O（2023河北名校联考）已知/（x）为7U）的导函数,满足tan上了（戏次幻,若Q=Z尼），）=例e），C=/住），则下列
8、大小关系正确的是（）A.abcB,acbC.bacD.cb(x),即tanx(x)/U)0,即黑点八功A)，gP-sinxf(x)-cosx(x)0,所以sin2x p(X)cos x sin X0,分析可得,当（,时，cosx0,y0,当Xg,，时，COSX0,fsi；）0（或/（x）0）在x。上有解.训练1（1）（2023晋中二模）已知=lnLb=竽c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacD.cabC.abo),则)=v当x(0,e),/(x)0,TU)单调递增；当x(e,+8)时，/()0,共功单调递减.6F=ln啦=；ln2=帛n2=1ln4=犬4),。1又b=J(3),c=(
9、e),e34,且r)在(e,+8)上单调递减，所以14)勺(3)勺(e),所以40,Sin(X+0,则la)V0；当w(亨,)时，ex0,SinLr+j0.危)在(0,Tr)上的单调递增区间为传，兀).(3) ,.x)=(-l)er-AZtr,(x)=xev-/H,;Z(X)在区间1,2上存在单调递增区间，(x)0在口，2上有解，即加e能成立，令g(x)=xex,x三l,2,则go恒成立，ga)=XeX在口,2上单调递增,*g(x)max=g(2)2e2,：n0且0l时,40存在一个极小值点xo,且xo3,求实数。的取值范围.解)=2Q足4+l)x+(2I)InX+2,、. l la 1f(x
10、)=a-(2a2 a+) +-加一(2/4H) + (2a1)X(or1)x(2-1)=x，由/(x)=0,解得X=5或=2-l,若0弓则2-l0,2,故当(o,3时，0,外)单调递增，所以/(x)有一个极小值点:，即XO=:，所以53,解得06t；若0l,贝1J02a-1o,段)在(0,2-1)和色+j上单调递增；当xE(2al,/I时，/(x)0,/U)单调递减，所以/U)有一个极小值点J,即XO=所以卜3,解得0,则00,Kr)在(0,0和(2。-1,十8)上单调递增；当xg,2。一1)时，/(x)3,解得42.综上，(,IjU(2,+).易错提醒1.不能忽略函数的定义域.2(xo)=O
11、是可导函数兀V)在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即/(X)的变号零点才是/U)的极值点，所以判断7U)的极值点时，除了找/(x)=0的实数根刈外，还需判断7U)在xo左侧和右侧的单调性.3.函数的极小值不一定比极大值小.训练2(1)(2023成都模拟)若函数八)=尺1+。)2在工=1处有极大值，则实数。的值为()A.lB.1或一3C.1D.3(2)(2023盐城质检)若函数yU)=b-er+$3-依无极值点，则实数。的取值范围是.答案(I)D(2)(8,2解析()J(x)=x(x+a)29f(x)=(xa)2+2x(x+d)=(xa)(3x+a),j(x)=x(x+a)2在X=1处有极大
12、值，可得F(I)=(I+)(3+4)=0,解得a=1或=3,当。=1时，f(x)(-1)(3-1),当Xg,1)时/()v,当x(l,+8)时/()0,7U)在g,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，火方在X=I处有极小值，不合题意；当a=-3时，f(x)=(x3)(3X3),当X(-8,1)时/()0,当x(l,3)时/(x)0,yU)在(一8,I)上单调递增，在(,3)上单调递减，7U)在x=处有极大值，符合题意.综上，可得=-3.(2)若/(x)=ex-6一+/3x无极值点，则/(x)=+er+x2-。无变号零点，令g(x)/(x)CAevx2a,贝Ugx)=ev-e-r2x,当x
13、0时，Oexl,2x0,则e-e-A0,则g,(x)=ee-v2xO时，evl,Oe-0,则ex-exO,则g(x)=ex-。-”+2第0,则g(x)在(-8,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增，即F(X)在(一8,0)上单调递减，(0,十8)上单调递增，在X=O处取得最小值,若Fa)=9+*+/一。无变号零点,则F(O)=e+e-+()2解得W2.热点三利用导数研究函数的最值求函数7U)在，句上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在3，力内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值式)，他)；(3)将函数7U)的各极值与y(),犬份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4(1)
14、(2022全国甲卷)当X=I时，函数TW=Hn%+取得最大值一2,则/(2)=()A.-1B.-2号D.1(2)(2023石家庄模拟)已知函数J(x)1nx-,(0,所以人(兀)在(0,+8)上单调递增,又以1)=0,所以当 Oxl 时，MX)0,即 gXr)0,即 gO, 所以当X=I时,g(x)取得最小值g(l)=l,所以671.【精准强化练】一、基本技能练1.(2023温州二模)已知函数TU)与Fa)的图象如图所示，则g(x)=71()lnx恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-,1B.(0,1C.(,：D.(-8,0答案(I)D(2)A解析由大w)=g(),得e，+?=3，化简整理得
15、3/73m=em2m.令h(m)=e,w2m(mR),h,(ni)=ew-2,令2=0,解得7=ln2.当m(8,l112)时，(zn)09力(M单调递增；即h(m)mia=h(n2)=221n2,lc2故(一加)min=1(l-In2).(2)因为不等式x3-or22InX恒成立，所以不等式。x一在(0,+8)上恒成立，.InXm,x3-l+2InX令g(x)=Ly,则g=123-24-2+12X=12x(x2-2x+1)=12Xa-1)2,因为a-1)220(当且仅当=l时取等号)，则当x0时，/(x)0时，/(x)0,所以yu)的单调递增区间为(O,+),单调递减区间为(一8,0),所以
16、的极小值点为0,没有极大值点，即7U)有且仅有一个极值点.3.(2023三湘名校联考)已知函数yU)=53+3-1)f+没有极值，则实数Q的取值范围是()A.0,1B.(-,0Ul,+)C.0,2D.(-,0U2,+)答案C解析由/(x)=x3+(6F-l)x2+x1,得/(x)=x2+2(-I)X+1.根据题意得2(-1)尸一4W0,解得OWaW2.4 .(2023淄博调研)“mvl”是“函数7U)=2x2一mx+lnX在(0,+8)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若r)=2x2-mx+lnx在(0,+8)上单调递增，则/(
17、x)=4-加+0在(0,+8)上恒成立，即m4x+;在(0,+8)上恒成立.因为g(x)=4+2/44=4,X1Ji当且仅当4x=1,即X=当时，等号成立，所以mW4.因为(-8,1)(8,4,所以“加e2023AO)B.fi2023)e2023AO)C(2023)=e2023(0)D./2023)与e2023AO)的大小关系无法确定答案B解析令函数g)=二,C.f(X)f(X)则gf(x)=-/.7W()，g()0，即函数g(X)在(一8,+8)上单调递减，/(2023)f(0)g(2023)g(0),/.2O23eo,2023)bB.bcC.c=aDcVa答案ADY解析令TU)=而，XE(
18、1，+8),则/U)=In X- 1(Inx) 2所以当Qe时，/(x)0,当lxe时，/(x)b,cb.2321n3-31n2In32-ln23In9-ln8又IihiiTI=In2ln3=In2ln3=In2ln3所以c.所以cb.故选AD.7 .函数y(x)=xsinx+cosx3x2的极值点为.答案0解析由已知得F(X)=Sinx+xcosxsin-6x=x(COSX6),当x0,当GO时，/(x)v,即/)在(一8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，JU)在X=O处取得极大值.8 .(2023全国乙卷)设(0,1),若函数於)=+(l+尸在(0,+8)上单调递增,则a的取值范
19、围是.答案产下一，D解析由题意得当x0时，f(x)=axna+(+ayn(+a)=axn+(+l)tln(l+)20.设g(x)=ln+(z+l)XM(l+),因为0,所以g(x)e.因为(O,1),所以ln(l+o)0,11,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，故只需满足g(0)20,即ln+ln(l+)=ln(+2)20,所以1,解得W1或L又OVaV1,所以、的取值范围为W?LD9 .函数於)=2-l-2InX的最小值为.答案1解析函数yu)的定义域为(0,+).当xg时，J(x)=2-121nx922(-1)所以)=2_=.当TaVl时，Q)1时，/()0,所以於)在，1)上单调递减
20、，在(1，+8)上单调递增，所以y(x)min=(l)=2121n11；当OaWg时，fix)=12-21nx9显然7U)在(o,当上单调递减，所以人r)min=y6)=-2Ing=2In2=In4lne=l.综上,y(x)min=1.10.(2023昆明模拟)若函数yu)=2x+cosx在定义域R上不单调，则正整数的最小值是.答案3解析因为yu)=2x+kcosx,所以F(X)=2SinX,2令f(x)=O,得n=,Jsnx因为SinX-1,1,且N*,所以22,当=2时，/(x)=2-2SinX20,则r)单调递增，2当n2时，当/(jv)=2SinxO时，sinx,所以人力不单调递增，所
21、以正整数的最小值是3.11 .已知函数yU)=Hn一3R,试讨论兀)的单调性.解r)的定义域为(0,+),-a,1ax+1且)=1+=若。20,则Fa)o,7U)在(O,+8)上单调递增.若0,令f(x)=0,得X=.当Xe(K时，八护；当X(，+8)时，f(x)0时，x(-8,一W)U(W，+8)时，/(0；r(-或，犯)时，f(x)O;故KX)在(一8,一/)和(、，+8)上单调递增，在(一g,5)上单调递减.(2)由(1)可知，当Wo时，危)在0,3上单调递增,g()=3)-0)=27-9由当皿23,即N9时，40在0,3上单调递减，g3)=A0)-A3)=9-27；当0g3,即09时，
22、/U)在0,犯)上单调递减，在(W，3上单调递增，于是式X)min=Z(W)=-2+0,又的)=,火3)=278”故当0v3时，g(4)=279。+2动；当3d9时，g(a)=2crjaf综上可得，27-9。，0,2792,03,Wm)=2cra939,0且W1)在(0,1)内单调递增,则的取值范围是()A.3,+8)B.(l,3C(O,乡D.*1)答案A解析令=g(x)=or-X3,则gf(x)=a-3x1t递增,当白l时，y=k)g,必为增函数，且y(x)在区间(0,1)内单调递增,此时g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)g(0)=0恒成立，当0al时，j=logu为减函数,且函数段
23、)在区间(0,1)内单调递增,所以，也W无解，0acA.abcC.bcaD.cba答案B解析将g用变量X替代，则a=SinJGb=ex-1,C=In(X+1),其中X(0,1),令yU)sin-ln(x1),贝IL=COSL*,令g(x)=7(x)=cosxJ、，则g(x)=-Sinx+.；)2,易知gO,g(l)=:-sinlO,/(X)单调递增；当x(xo,1)时，g(x)0,.,(x)0,次0在(0,1)上单调递增，次O)=0,即sinxln(xl),sinJlnact记a(x)=e-(SinX+1),x(0,1),则(X)=F-COSx0,z(x)在(0,1)上单调递增,又(O)=eo
24、-(sin0+1)=0,所以力(，人(0)=0,所以e；lsin所以ba,综上，bac.15 .（多选）（2023浙江义乌适考）当心1且yl时，不等式也；。恒成立，则自然数可能为（）A.0B.2C.8D.12答案BC解析由于Ql且1,所以Iny0,j停），构造函数/U）=*,g（y）=竽，.(2-n)e2x/(无)=尸;Iny(2Iny)g。)=，H当2,且N时，故当XV/(x)0,因此/U)在(一8,3单调递减，在g,+8)单调递增,故当X=时，凡r)取最小值2当00,g(x)单调递增,2当ye；时，g(x)g(V)max，e2A要使i怛成立，则需要fix) mi(X)max，当=0时，不妨
25、取x=2,y=ee2,则一(InB乎=1,而修)=L不满足旨用：故A错误;当=2时，y(x)minnC2,故满足题意，B正确;fln2芽7I=+2(-2)ln+(2)ln2恒成立.当=8时，8+261n8-61n2=121n2,C正确；2当=12时，In20.4ln2lne042ej25e2,IOln12-IOln2=IOln2+IOln3101n2+1014,D不满足题意,错误.16.(2023临沂模拟)已知刈是函数/U)=+2班+的一个零点，且xol,e,则M+及的最小值为.答案f解析Vxo是yu)的一个零点,L阳将(mb)看作直线x+2ym+e7=0上一个点的坐标，则原题就变为：求当xo
26、l,e时，点3,b)到原点距离的平方的最小值,1.却原点到直线x+2y屈+e；=0的距离为竺e2exev (4-3)引1，时)，gO ( l+4) 23当4时，g()O,g()是增函数，/1e.在X1,e时，g(x)min=g(l)=5.M+序的最小值为3Y17.(2023宁波段测)已知函数/U)=若曲线y=(x)在点(2,12)处的切线斜率为一1,求。的值;(2)若TU)在(1,+8)上有最大值，求。的取值范围.?12(X-ci)解(IVU)的定义域为4T户i),/(式)=(FT)2=-由已知可得/(2)=生齐=1,解得。=1.,一x2,-2ax-1(2)由(1)知/(X)=-7_)2令g(
27、x)=x1+2a-(x1).当W0时，对任意的xl,g(x)=2+2t-1VO恒成立,则Fa)V0,此时x)在(1,+8)上单调递减，没有最大值；当OVaWl时，g(x)=-f+2ax1在(1,+8)上单调递减,则g(x)Vg(I)WO,则/()vo,此时7U)在(1,+8)上单调递减，没有最大值；当白l时，方程一/+2Or1=O的两根分别为,2.则Xi+x2=2a,xX2=1,不妨设OX110,於)单调递增；X(X2,+8)时，/()0,yu)单调递减.所以=X2时，/(X)取得极大值即最大值.综上所述，实数。的取值范围是(1,+).加微ABCYZXT可联系我高中数学交流亲，微信扫一扫可以找
28、到我哦竹一为上面的二维码图案一加我为期我是一个普通的数学老师，很普通的那种！如果觉得资料好，可以联系我，分享你我！如果觉得资料好，推荐更多人受益！如果你觉得资料不好，也可以联系我，告诉我及时改进！如果想认识我，当然可以加我！如果，没有如果了加微对接暗号：123SmX+822+81cos1cosxC2xc.也2cos22snxY8sin*2*4cos2=tan+r22sinAX令Z=tan2因为Or0,则r(2,+),令g)=l-*v,则r(0,2),所以g(f)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以g的最小值为g(2),4因为g(2)=2+4+分=7,所以40的最小值为7.易错提醒1.求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.2.求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.训练3(1)(2023开封二模)已知函数Kr)=CA+x,g(x)=3x,且贝m)=g(),则一
