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1、课堂导学三点剖析一、利润最值【例1）某工厂生产某种产品，该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为p=24200-g2,且生产X吨的本钱为R=50OOo+20OX元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润到达最大？解：每月生产X吨时的利润为f(x)=(24200-X2)X-(50000+200x)5=-x3+24000x-50OOO(X20),53由f,(x)=-x2+24000=0,5解得X产200,X2=-200(舍去).因f(x)在0,+8)内只有一个点=200使f(x)=0,故它就是最大值点，且最大值为f（200）=-（200）3+24000X200-50000=31
2、50000.5答：每月生产200吨产品时利润到达最大，最大利润为315万元.温馨提示用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0,求y=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】某厂生产X件产品的本钱为c=25OOO+200x+l-x1元）.40（1）要使平均本钱最低，应生产多少件产品？（2）假设产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：此题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.25000+200x+ -X225000X（1）设平均本钱为y元，那么X200H(x0)40yz =(-200+-X =X4025000XH.40令y=0,
3、得Xi=I000,x2=-lOOO（舍去）.当在x=lOoO附近左侧时，y0；故当x=lOoO时，y取得极小值.由于函数只有一个点使y:0,且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均本钱最低，应生产1000件产品.YY(2)利润函数为L=500x-(25000+200x+)=300-25000.4040r*L,=(300-25000)=300-.4020令L=O,得x=6000,当X在6OOO附近左侧时，L0；当X在6OOo附近右侧时L0,故当x=6000时，L取得极大值.由于函数只有一个使I7=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生
4、产6OoO件产品.口三、导数在生活中优化问题的应用【例3】如下图，水渠横断面为等腰梯形.(1)假设渠中流水的横断面积为S,水面的高为h,当水渠侧边的倾斜角中为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)假设被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC=h(sin)设下底AB=X,那么上底CD=x+2hcot,又S=L(2x+2hcot)h=(x+hcot)h,2.*.T底x=Sh-hcot,横断面被水浸湿周长,2,S,2?coss/C,一、1=+(cot)=；+(0兀S=(a+a+2acos)h=-(2a+2acos)a
5、sin=a(l+cos)sin(0O),那么y=kv2,当v=12时,y=720.720=k,122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1%=侬匚v-8v-8令y=0,v=16.当vo16时,v=16时全程燃料费最省;2当VoVI6时，即v(8,Vo)时y0,即y在(8,v0上为减函数，当V=VO时,yt,in=v.%8综上，当v0216时，v=16千米/时全程燃料费最省，为32OOO元；当VOVI6时，那么V=V。时全程燃料费最省,为1000%.%-8变式提升1某种型号的电器降价X成(1成为10%),那么销售数量就增加mx成(mWRD.(1)某商店此种电器的定价为每台a元，那么可以出售
6、b台.假设经降价X成后，此种电器营业额为y元，试建立y与X的函数关系，并求m=2时，每台降价多少成其营业额最大？4解:由条件知降价后的营业额为y=a(l-)b(l+mx)=ab-mx2+(m-l)x+l.，当In=W时，y=ab(-3x、!x+i).444y=ab(-2x+L).令y，=Qt.,.x=-,即x=_时，yna=glab,即降价0.1成时，营业额最大.24101080类题演练2用边长为120Cnl的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为Xcm,那么水箱高为
7、h=60-(cm).21/水箱容积V=V(x)=x=60x2(0x0为比例系数.ab依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0)得b=型(0a30),2+。工日kkk(2+a)于是V=.ab30a-a230a-a22+a.仪30-/)_/2+)(300-2。).y=-=0,a=6或a=T0(舍去).(30-a-a2)2由于此题只有一个极值点，故a=6,b=3为所求.变式提升3有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？40Ti解：设NBCD=O,那么BC=,CD=40cot0(00Sin2(933令f()=0,得COSO=士.根据问题的实际意义，当cos0二？时，函数取得最小值，此5533时tsin0=,cot=.C-50-40cot-20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费54用最省.
