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1、第六章级数本章主要知识点 级数收敛定义及性质 正项级数敛散判别方法 一般项级数敛散判别方法 哥级数一、级数收敛的定义及性质定义：收敛。Sn=BS（有限）（2+8）三lJt=I性质：必要条件Iim为=On%与收敛，那么收敛收敛，Za发散，2（。2）必发散Z%发散，Za发散，不能确定71收敛P102/一1发散pq收敛,当I司=const.zi)-5G8)例6.2.计算Zg”(Iql=ConSt,(n)-q-q所以,=1j=o1-q二、正项级数Zq(40)敛散性判别法1 .比值判别法71,发散/=1,比值判别法失效例63.4M=IMran+V5+1)!1-/”-IJ角吊：hm-2jj-=h-=lm(
2、)=e1-an“-+I)nw0+l所以由比值判别法知原级数收敛。例 6. 4. Z n=ln2+4解：Iim也= Iimc 白 moo357.(2m + 1)357.(2-1)收敛hji.11.+12+4/1+1111.解：hm-2iL=IIm：=Iim=发散。极限式：如果!5/=/（/。0有限数），工,、（6也；0）同敛散；%特别地，假设/=O且Za收敛，那么Za”收敛;假设/=8且Za发散，那么an发散。p 1 发散。nl等价无穷小式：art=，（C0）,pl,收敛,n=lsin 2 （乃）QO例6.6.Z11=1解：0sin2 （i） 1 2+l - c，而2T收敛，由比拟判别法知W=I
3、Sin2 （乃）W2+1收敛。例 6. 7. Z W=I arctanV 2n 1 ； 3+2m解：0arctan2 + 112 13+2“，、“收敛，收敛,W=I=1由比拟判别法知：Sq也收敛。i I例 6. io. y-7= 念 3 + l而-5=发散，由比拟判别法知力发散。r3 + l一 B 2n-4例 6. IL Y ./1=1 J3“ 6 + 5解：因为2 一 434-6n2 *52n _ 232 3?p=l,所以原级数发散。例6.12.S粤”=1nInn,j.n3z21.Inn解：=hr114-=hm1IimJ+ (.l),2eoo,xX二收敛,n故由比拟判别法知,原级数收敛。25
4、例6.14.Z2n1sinN=In解：因为J2+1sin-J2+14nnZ3收敛，由比拟判别法知3+卜而二收敛。5/1=1三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。定义1：Ean绝对收敛OZkJ收敛。原级数绝对收敛必收敛。定义2：Za条件收敛OWJaj发散，而W收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，假设绝对发散那么研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数Z（-1）Z“（4,0）交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数Z（-i约假设（1）w0,即级数是交错的，（2） .单调下降,（3） Iima=Occ那么(-)为收敛。w=l81例6.15.y(-l)w.一3?3+
5、2n+解：先考虑级数Z/一3+2n+l因为-/3n3 + 2n + l13hi而z3收敛，所以/I一收敛33n3+2n+即原级数绝对收敛。例2谭解：对于EMN岛肃因为斯一,所以发散，原级数绝对 2n311发散0而Z(T)：是交错级数，/单调下降,且M=4112-6n+14j2-6n+1Iim-=Oz84-6+1由莱伯尼判别法知，原级数是条件收敛。例6.17.研究级数S(T)sin-!r敛散性解：l6fw=snA(k=Const1.1sm-11Iim产=1，sin-r与ZF同敛散，1JnJn故当Al时，原级数绝对收敛；当&1时，原级数绝对发散;当人0时，IimSin-r不存在，所以原级数发散；n
6、son当OVZVl时，y(-l)nsi114-为交错级数，且sin单调下降，Jnn且sinr05+8),故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。nk四、事级数1.收敛半径和收敛区间Sa“-与)称为辕级数，对于哥级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。=l收敛半径R：R=Iimnoo收敛区间：AO-Rv/+R;对于X=XO-R和X=玉)+R端点处特别考虑。例6.18.求(一1)七J的收敛半径和收敛区间,=2+5解：R=Iim2=lim1n3+13n+i+1N.-o对于x（匕立,匕立），原级数收敛；当X=上立时，y=3,原级数发散，故222收敛区间为（l-3l+3Z,T/222.函数展开为塞级数几个常用
7、的哥级数形式-OOx+00三0sinx(2n+l)!xeR力（-ln（l+力=父，xD展开为X的哥级数。2）展开为的幕级数。解一)八)-=翡(力图。(-1)击/M21 +22912 )/(x)=l=1-r、73+x-l3IXTr2例6.21.f(x)=7展开为X的哥级数。v7(2x-l)(x+3)X2(2工-1)-2(x+3)_22fT(2x-l)(x+3)_7(x+3)+7(2x-l)1X22X211V，xm+22(IrIj=FLbW铲)丁一裕2X“收敛() w=0A.必要条件C.充要条件B.充分条件D.无关条件02 .正项级数Z%收敛的（）是前n项局部和数列s 有界 W=I.必要条件B.充
8、分条件C.充要条件D.无关条件3 .以下级数中收敛的是（）A.4.以下级数中条件收敛的是（）b *广(11c d. y ； 7a 2n3+45.以下级数中绝对收敛的是（）A.y (-11b (-0h,=l2n-6.7.8.9.6(-1严 c r以下级数发散的是()C. (T)5=1 D事级数(1)=1A. -1,1C. -1,1 )rH=I 11S nB. YD.OO的收敛域是()B (-1,1)D. (-1,1 ,当时，级数绝对收敛;当时，级数条件收敛；当时，级数发散。某级数S工的和函数5*) = ,.=0 nOO w=0(一2)n=,Iimn n10.判别以下级数的收敛性.nOO sin
9、23a,n 八 I、 ,，(40,l,e)H=I n(-r, inM=I(4)K 117 + ln n=l D(6)y2Lr0 t2Y (!)(8)(y/n+sinn=n-n+4(10)(-l)-arcsinlW=I-1=I11 .求以下哥级数的收敛半径和收敛域：8Qfl8v,2-1(1)t-n(2)ytfH2+l(2h-1)(2h-1)!(3) (-1)=l2n-5n+T12 .将/(x)=(l+x)ln(l+x)展开为X的哥级数。13 .将F(X)=-J展开为工一1的塞级数。X+4x+3Y14 .将函数F(X)=六(1)展开为X的某级数，(2)展开为冗一1的辕级数。+R15.求 Z=ln(
10、w + l)的和函数。历年真考题)产 1B. X 一一收敛+D. Z!收敛M=I1. (2003)以下正确的选项是(产1A.Z收敛*+f-iy,C.ZjL绝对收敛H=I展开成X的基级数，并指出收敛区间1不考虑区间端点)。2. (2003)将函数/*)=4+x3. (2004)基级数之与二的收敛区间为。fln=l乙4. (2004)把函数F(X)=一展开为2的幕级数，并写出它的收敛区间。x+25. (2005)设有正项级数(1)Z“与(2)X”；，那么以下说法中正确的选项是OA.假设(1)发散那么(2)必发散。B.假设(2)收敛，那么(1)必收敛。C.假设(1)发散，那么(2)可能发散也可能收敛
11、。D.(1),(2)敛散性一致。6. (2005)鼎级数Z(2一I)X”的收敛域为.W=I77. (2005)将函数f(x)=7展开为X的幕级数，并指出收敛区间。2-x-x章节测试题1.级数Z/1=1(-Dn(22+1)p2的敛散性:B. (-1, /1=13jil)白 nB. y ft 3/2-1D.X的事函数是()当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛;当时，级数发散。2 .73)二一，展开为大的幕级数为。l-2x3 .以下级数条件收敛的是()芍(-1)a,自下C.落空后2+l4 .以下级数发散的是(AV(T)A.)一(-1产w=l5 .优(O,l)展开为3炉,、(xna)naT7bZ(T
12、)ca20O6.X，一X的收敛半径R=()“=o+3D.+ODJI=I(xna)nA.1B.3D.7.在-8VXV+8的和函数S(X)=39.以下级数中条件收敛的是（D. -e2 )D. 3C.-e-2的收敛半径是（C.12）a.C.d10 .判断（-1）（而T-JG）的敛散性。=l11.求事级数二的收敛半径和收敛区间。Zt2n12 .设pO,讨论为何值时，级数之上收敛。Mnpn13 .ln（e展开为X的鼎级数，并求出收敛范围。U14 .讨论不在0v4;31=13/2=0,所以原级数收敛。H + 1二0,所以原级数收敛。而白收敛，所以原级数收敛。z7+InnIim3=Iim,=Iim2E%-C
13、J(+De2I/a1(+lY,+1(w!)2lim3=lim-=Iim-/+wn+1V+1*一+12,2（充分大）=*，而/收敛，n2所以原级数收敛（9）ZgI3=Z-发散，而Z（Tyl.一为交错级数，且?一单调下乙z2-1n2乙17n2-ln2-l降趋于零，故（）条件收敛。(10)(-Darcsin=VnJ.1arcsinn.1arcsn而j1(7?+),故绝对发散。narcsin,为交错级数。且arcsin,单调下降趋于0narcsin,条件收敛。n11. (1)解：R = IimWo=Iimnn2+2(n+l)2l _ 12十 I2 2 +1x = - 乙 +1收敛;当时，言T)黑收敛，
14、收敛区间为_112,2(2)令 y = 2,Z2-1(2w-i2n-l)!X&=8,收敛区间为(-,)(3)令y=,原级数=(T)”当工=行，原级数=2三(一1)”5F=5,n+T(T)=,条件收敛J+1(4)令y=2x+l,原级数二5=1,凡=一y22当y=L发散；当y=,收敛，故y的收敛区间为-U),相应的X的收敛区间为-1,0)。112.解：令g(x)=ln(l+x),g”)i=(-1)x,xh1+x1=o*I-Iyl积分得g(%)?匕xM13. 解：/(x) =1 x 3 - (x +1)(x + 3)(x + l) 2 (x + 3)(x + l)=(-1)b-白(1)，312)。n
15、=0 L 4 幺 8 471x n x Yn (14. (1)解：/(x) = -l + - = -1 + - = -l + -= - 0乂2)。Z-X I=0 Z n= Z2解:2/(x) = -l += -1 +v 72-x2I-U-D=1+y-12(-1, (-3； 2 p3; p2+82. Z 23w=03. A 4, B 5. C 6. C 7. A 8. B 9. B10.解:ZaLZ(TT 11 = 1Jn+4 2，故qj发散，即不绝对收敛。“为交错级数且一J=J产单调减少且趋于零，由莱伯尼兹法那么知，原级数条件收敛。7+l+H令2，=E=Iim=2rt+,(z7+l)=2,2J
16、nI)当y=2时,=i发散，所以原级数收敛区域为(-2,2)012.当0pl时,(T)npz当P=I时，上1_条件收敛n,对于X!r,Iim=lim7=-defineln(l-x)-ln(lx)=S1(-v)-52(x)s：(X)=-丁匚=(一1)”，$(力=丁L=f(l)x”，分别将S；(x),S；(x)在区lRH=O1XM=O8Yn+1co+l间(0,x)上积分得：ln(l7)=(-,ln(l+x)=(-l)z,-,1=01+=01+及所以In1-xT+x力*r-(*1)M=O 十 114.当OVaVl时，Iim=l0,发散；当a=l时，Iim=-0,发散;wao1+anncol+,2当白1时,3*(J而Z1l+a,收敛，所以一收敛。乙l+22232”“例6.5.判别级数1+,+-+的敛散性335357(211-1)2考虑极限Iim里=IimIT=IimeT=Ox+Vx+1-2x+o”-X44/=O,Z-ITT收敛,所以由比拟判别法知原级数收敛
