四边形综合练习-一模二模-练习-答案.docx

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1、四边形综合练习一、解答题1.如图，在ABC。中，AE平分N8A2交BC于点E,斯平分ZABC,交AD于点、尸、AE与BF交于点、P,连接EF,PD.By求证：四边形AB是菱形；（2）若A8=6,AD=9,ZABC=60。，求NDCP的度数及tanCDP的值.【答案】（1）见解析；（2）90,在2【解析】【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得B=破，AB=AF,AF=BE,从而证明四边形ABEF是菱形；（2）过尸作P”_LA。于，交BC于G,由含30角的直角三角形的性质得AP=-AB=3fFP=BP=30AH=P=,PH=LPF=亚，贝J22222DH=AD-AH=*再由勾股定理求出P

2、。、PC的长，证出APCO是直角三角形，NDCP=90。,即可解决问题.【详解】解：（1）证明：四边形ABC。是平行四边形，.AD/BC.zdae=zaeb.AE平分NEAD,.ZDAE=NBAE.NBAE=ZAEb.AB=BE.同理：AB=AF.-.AF=BE.四边形AB即是平行四边形.AB=BE,，四边形AB即是菱形:(2)解：过尸作。于，交BC于G,如图所示:则G_LBC,四边形ABM是菱形，NABC=60。，AB=6,.AB=AF=6fAEtBF，BP=FP,ZAB产=ZAFe=30,.AP=AB=3,FP=BP=用AP=36,=1aP=2,PH=LPF=空,2222315.-.DH=

3、AD-AH=9=22:.PD=-Jph1+DH2=J(竽)2+(y)2=37，同理：PG=PH=当,BG=3PG=,四边形ABC。是平行四边形,.CD=AB=6,BC=AD=9t9.CG=BC-BG=-t2PC=PG2+CG2=净+g)2=33PC2+CIf=PD2,.PCZ)是直角三角形，NPCP=90,-PC363.,.tanZCDP=.CD62本题考查了菱形的判定与性颁、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、含好角的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.2.如图，四边形ABCQ是矩形，点E是边BC上一点，AE工ED.D（1）求证：

4、AABEsECD;（2）尸为AE延长线上一点，满足比=EA,连接。尸交BC于点G.若AB=2,BE=f求GC的长.3【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质和垂宜的定义，得至J=NC=9（r,5E=NCED,即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出EC=4,BC=5,再证明,AFMEFG,再利用相似三角形的性质，即可求出GC的长.【详解】（1）证明：V四边形ABQ）是矩形，/.Zfi=ZC=90o.：NBAE+ZAEB=900.：AE工ED,ZAED=90o.：.ZAEB+NCED=W.：.ZBAE=乙CED.ABESGECD.B(2)解：由(1)

5、ABEECD,.ABECBECD 矩形ABC。中，CD=AB=2,BE=T,EC=4. BC=BE+EC=5.：ADBCt 二AFDLEFG.ADAFEGEF：AE=EF, AF=2EF. =2,EG=-AD=-SC=-.EG2223CG=EC-EG=.2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题.3.在平行四边形A8C。中，过点。作DLA8于点E,点尸在边C。上，DF=BE,连接AEBF.（1）求证：四边形8。E是矩形;求证：A尸平分ND48.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【

6、分析】(1)先求出四边形BH)E是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；4(2)由三角函数定义求出B/C尸=8,由勾股定理得出BC=I0,由平行四边形的性质得出A3C。，AD=BC=IOf则NBA=NO,证AO=OR则NDA产=ZDM,得出NBAF=NQA尸即可.【详解】解：(1)证明：Y四边形ABCQ是平行四边形，ABDC, ：DF=BE, 四边形BFDE是平行四边形， ：DELAB,：.NDEB=90。,，四边形BFDE是矩形；(2)证明：Y四边形BFQE是矩形，：,NBFC=NBFD=90。,CF6,tanC-，3CFY四边形ABC。是平行四边形,J.ABCD,AD=BC=IOf：.ZB

7、AF=ZDFAtVDC=16,：.DF=DC-CF=16-6=10,：.AD=DFt：ZDAF=ZDFa,/.ZRAF=ZDAFt【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键.4.如图，在；ABC中，CD平分NACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于点E,F,G,连接DE,DG.(1)求证：四边形DGCE是菱形；(2)若NACB=30。，ZB=45o,ED=2,求BG的长.【答案】(1)见解析；(2)13【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证NEDC=N

8、DCG=NACD=NGDC,可得CEDG,DE/7GC,由菱形的判定可证结论：(2)过点D作DHJ_BC,由菱形的性质可得DE=DG=2,DGEC,由直角三角形的性质可得BH=DH=1,HG=3DH=3,即可求BG的长.【详解】解：(1)YCD平分NACB,ZACD=ZDCG,TEG垂直平分CD,DG=CG,DE=EC,ZDCG=ZGDC,ZaCD=ZEDC,：ZEDC=ZDCG=ZACD=ZGDC,CE/7DG,DE/7GC,四边形DECG是平行四边形，且DE=EC,，四边形DGCE是菱形；(2)如图，过点D作DH_LBC,V四边形DGCE是菱形，DE=DG=2,DG/7EC,/.NACB=

9、NDGB=30。，且DHBC,DH=1,HG=3DH=3,VZB=45o,DHBC,ZB=ZBDH=450,.*.BH=DH=I,BG=BH+HG=l+3.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键.5.如图，四边形ABeO为矩形，点E为边AB上一点，连接。E并延长，交C8的延长线于点P,连接以，ZDPA=2ZDPC.求证：DE=2M.【答案】见解析.【解析】【分析】如图，取DE的中点F,连接AF,根据矩形的性质得到ADBC,求得ZDPc=ZADP,根据直角三角形的性质得到AF=DF=DE,求得NADP=ND

10、AF,等量代换得到结论.【详解】证明：如图，取QE的中点凡连接4凡V四边形A8C。为矩形,J.AD/BC,工NDPC=NADP,VZBD=90o,：AF=DF=；DE,工ZADP=ZDAFf.*.ZAFP=2ZADP=2ZDPC,；ND%=2NDPC,：.ADPA=AAFPi/.AP=AF=DE,C.DE=2P.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.6.如图，ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF,ZAEC=90o.（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB=4,ZABC=60o,BF平分NABC,求AD的长

11、.【答案】（1）见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到BC=AZ8CAO,再根据线段的和差可得求得EC=AF,然后根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，最后根据矩形的判定定理即可得证；（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出8E=2,AE=2#,再根据矩形的性质得到FCBC,FC=AE=2下,然后根据角平分线的定义得到ZFBC=ZABC=30,最后根据直角三角形的性质、平行四边形的性质即可得.【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，BC=D,BCAD又.BE=DF：BC-BE=AD-DF,即EC=AF，四边形AECF为平行四边形又.ZAfC=90

12、0四边形AECF是矩形：(2)在油ZXABE中，AEB=90o,ZLABE=60o,AB=4.,.E=-AB=ZAE=JaB2-BE2=232V四边形AECF是矩形FCBGFC=AE=23YBF平分ZABC.*.NFBC=-ZABC=302在Rf.BCF中，NFCB=900,AFBC=30o,FC=23BF=2FC=4y3.BC=yBF2-FC2=6AD=BC=6.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.7.如图，在RtZXABC中，ZC=90o.求作：线段8,使得点O在线段AB上，且CO=作法：分别以点A,8为

13、圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M,N两点；做直线MN,交AB于点、D；连接C。.所以线段C。即为所求的线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：VAf=W,AN=BN,MN是48的垂直平分线.（）（填推理的依据）点。是A8的中点.VZC=90,CD=B.（）（填推理的依据）【答案】（1）作图见解析；（2）线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质证明即可.【详解】解：（1）补全图形如下图所示；（2）证明：t:AM=BM,A

14、N=BN,JMN是48的垂直平分线.J线段的垂直平分线的性质L），点。是A5的中点.VZC=90,/.CD=-AB.（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）2故答案是：线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.8.如图，在，ABC中，AB=ACtADBC,垂足为。，过点A作A七BC,且AE=BD,连接BE,交AD于点F,连接CE.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)若CE=4,求AF的长.【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】(1)先证明四边形AOCE是

15、平行四边形，由AD_L3C得到乙4。=90。，实现解题目标；(2)由四边形4。CE是矩形，得至JAD=CE=4,根据AEBC,得到NEAF=NB。凡/AEF=NDBF,RAE=BD,得到AAEFgaDB尸，得到A尸=O尸=3AQ=2.【详解】(1) VAB=AC,AD上BC,：BD=DC,NAOC=90,/AEHBC,且A=9，：.AEHDCAE=DC,四边形AQeE是平行四边形，,.NAoC=90。，四边形A。CE是矩形；(2)由(1)知四边形4。CE是矩形,：.AD=CE=4,NEAF=NBDF=90,VAE/BC,：,/AEF=NDBF,VAE=BD,EFDfiF,：.AF=DF=-AD

16、=2.2【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形的全等，熟练掌握矩形判定和性质，根据平行线性质灵活证明三角形的全等是解题的关键.9.如图，在AHBC中，D是AB边上任意一点,E是BC边中点，过点。作AB的平行线，交OE的延长线于点R连接BF,CD.(1)求证：四边形CQ8尸是平行四边形；(2)若NFO8=30,NABC=45。,BC=42求。尸的长.【解析】【分析】(1)欲证明四边形CDB户是平行四边形只要证明C尸。尸=。8即可;(2)如图，作EM_LQ8于点M,解直角三角形即可；【详解】(1)证明：7CFB,NECF=NEBD.E是BC中点,：CE=BE.：ACEF=ZBED

17、,：ACEF坦ABED.：,CF=BD.四边形CQBF是平行四边形.(2)解：如图，作EM_LO8于点M,：,BE=LBC=20,DF=2DE.2在RlEMB中，EM=BEsinZABC=2,在RmEMD中，VNEQM=30,1DE=2EM=4,DF=2DE=8.【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.10.如图，在矩形43。中，对角线AC8。相交于点O,过点C作CE/B。，交A。的延长线于点E(1)求证：ZACD=ECD;(2)连接OE,若AB=2,心NACD=

18、2,求OE的长.【答案】(1)见解析；(2)37【解析】【分析】(1)先证明四边形BCEQ是平行四边形，得到80=CE=AC再利用等腰三角形的性质即可证明；(2)解：过点。作OF_LAD于点F,求得AB=C=2,AD=BC=DE=4,再求得。尸=1,EF=6,利用勾股定理即可求解.【详解】(1)证明：Y四边形43。是矩形，：.AC=BD,N4OC=90,BCHDE,*：CEHBDi四边形BCED是平行四边形，：.BD=CE,：AC=CE,.ZACD=ECD;(2)解：过点。作OF_LAD于点凡则户为A。的中点.丁四边形ABa)是矩形，对角线AC8相交于点0,且AB=2,f4NACD=2,:AB

19、=CD=2,AD=BCftanZACD=-=2,OB=OD,CDD=4,由(1)知四边形BCE。是平行四边形，IAD=BC=DE=%*：0B=0D,OFLADf0F=-AB=yEF=DE+-AD=6f22OE=JF2+EF2=37.【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性质并求出四边形BCEQ是平行四边形是解题的关键.11.已知：如图，在菱形ABC。中，BE于点E,延长AO至尸，使DF=A,连接CE(1)求证：四边形砧C尸是矩形；3(2)若SinNA=CF=3,求4产的长.【答案】(1)证明见解析；(2)AF=9.【解析】【分析】(1)先证明四边形EB

20、C尸是平行四边形，再由破_4力可得四边形EBC厂是矩形;3(2)由SinN4=j及CF=3可得AB的值，由勾股定理可得AE及。尸的值，再由菱形性质得到AQ=A8=5,即可得到A户的值.【详解】解：(1)证明：Y菱形A5CO,：.BC/AD,BC=ADt：DF=AE,：.DF+ED=AE+ED,BPEF=AD,.BCEFiJBC=EFf，四边形EBC户是平行四边形，又BEA.AD,：NBEF=90。,四边形EBCr是矩形；3(2).RTA8AE中，SinNA=M,.BE3=,AB5又BE=CF=3f=5,:E=yAB2-BE2=4，AE=DF=4,Y四边形ABCO是菱形，.AD=A=5,AF=D

21、+DF=5+4=9.【点晴】本题考查菱形与矩形的综合应用，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理的应用是解题关键.12.已知：ABC,CO平分ZA05.求作：菱形。尸CE使点尸在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程.作法：分别以C、。为圆心，大于TCo为半径作弧，两弧分别交于点M、Ni作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；连接。DF,QC与Er的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形.（O利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：DE=EC,DF=FC,.M为OC的垂直平分线.DE=EC,.ZEDC=ZECD.CD平分ZAC8,.ZECD=

22、ZDCB.-.ZEDC=ZDCb, /（）（填推理依据）同理可证所/CE, 四边形OFCE为平行四边形.又;， 四边形及FCE为菱形.【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC：内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）.【解析】【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；（2）由题意可以推得四边形QFCE为平行四边形，再由。E=EC可以得到四边形DFeE为菱形.【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形：其中四边形QFCE为所求作的菱形；（2）证明：DE=EC,DF=FC,E/为OC的垂直平分线.,DE=EC,.ZEDC=ZECD.CD平分ZSAG5,.ECD=ADCB.-.ZEDC

23、=ZDCb, .DE/FC（内错角相等，两直线平行）（填推理依据）同理可证加V/CE, 四边形及FCE为平行四边形.又DE=EC, 四边形OFCE为菱形.故答案为。E；FC；内错角相等，两直线平行；QE=EC（或QP=尸C）.【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键.13.如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE_LB。交CB的延长线于点E,点产在BC上，JCF=BE,连接。(1)求证：四边形4E/7)是矩形；(2)连接B。，若NABO=90。,A=4,CF=2,求5。的长.【答案】(1)见详解；(2)=45【解析】【分析】(1)由题意易得AB=Z)C

24、A80C,AD8C,NA=90。，则有NABE=NOC/，NEW=NAEB=90。，进而可证ABEgZDCT,则有NDFC=ZAEB=90。，然后问题可求证；(2)由(1)可得AD=所，由勾股定理可得AE=24，设BF=X,则AD=EF=2+t进而可得AE=DF=4,最后根据勾股定理可求解.【详解】解：(1)Y四边形ABCQ是平行四边形，AB=DC,ABHDC,ADHBC,工ZABE=/DCF,NE40+NAEB=I80。，VAELBCt：.NA=90,：.AEAD=ZAEB=90f ：CF=BE,：.ABEDCF(SAS),：ADFC=ZAEB=90,：/EAD=ZAEB=/DFE=舒,，四

25、边形AEPZ)是矩形：(2)由(1)可得：四边形AEFo是矩形，VZABD=90o,AE=4,CF=2, ,.AD=EF=4,CF=BE=2, 在RQAE8中，AB=IAE2+BE?=2非，设BF=X,则AD=所=2+x,，在RQA3。中，由勾股定理可得BO?=Af)2-A82,在MAQFB中，由勾股定理可得Be2=8尸2+。尸2,:AD2-AB2=BF2+DF2，BP(2+x)2-20=x2+16,解得：x=8,BZ）=45.【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理是解题的关键.14.如图，

26、在四边形ABCo中，ABHCD,AB=AD,AC平分（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABa）的边长为13,对角线AC=24,点E、尸分别是边8、BC的中点，连接叱并延长，与A5的延长线相交于点G,求石G的长.【答案】见解析；（2）10【解析】【分析】（1）根据题意可得NDAC=NDG4,再根据等角对等边得出A。=OC,然后根据一组对边平行且相等可证明四边形ABC。是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可得证；（2）连接4。，交AC于点0,根据题意得出8=13,AO=CO=12,再根据中位线的判定及菱形的性质即可证明四边形BDEG是平行四边形，最后根据平行四边形的性质及勾股定理即可

27、得出答案.【详解】解：（1）证明：AC平分NfiAD,ABHCD,NnAC=ZSAC,ZDCA=ZBAC,：.ZDAC=ZDCa1：AD=DC,又VABHCD,AB=ADfABHCD,.四边形ABC。是平行四边形，VAB=AD, 四边形ABCD是菱形.(2)连接4。，交AC于点0,如图,CD=13,AO=CO=2t ；点E、尸分别是边8、BC的中点，EFHBD(中位线)， AC.8。是菱形的对角线，ACLBDfOB=OD,又,：ABHCD,EFHBD,：.DE/BG,BDHEG 四边形BDEG是平行四边形，：BD=EG,在ACOD中，*：OCLOD,CD=I3,CO=12,；OB=OD=41-

28、122=5,：EG=SD=IO.【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、三角形的中位线的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.15.如图，在平行四边形ABCO中，过点。作DEJ_AC于点EOE的延长线交AB于点产，过点B作BGDF交DC于点G,交AC于点M.过点G作GN_LO尸于点M/NX/fE(1)求证：四边形NEMG为矩形；(2)若45=26,GN=8,SinNCAB=K,求线段AC的长.【答案】(1)证明见解析；(2)AC=40.【解析】【分析】(1)根据垂直的定义可得NGNE=NME290。，根据平行线的性质可得NMGN=90。，即可证明四边形NEM

29、G是矩形；(2)根据SinNeAB=K可求出得长，利用勾股定理可求出AM的长，根据平行四边形的性质可得NCAB=NAa,利用AAS可证明/WM注(?可得CE=AM,根据矩形的性质可得ME=NG,根据线段的和差关系即可得答案.【详解】(1) VDElAC,GNLDF,：.NGNE=NMEN=90。,VBGIiDF,/.ZMGN+ZGNE=S0f：.NMGN=90,四边形NKMG是矩形.(2) 四边形NEMG是矩形，GN=S,.NAMB=NAMG=90,ME=GN=8,VsinZCAB=-,AB=26,13AiWB=ABsinZCAB=IO,工AM=4AB2-MB2=24,V四边形A8CO是平行四

30、边形，ABCD,AB=CD,：.NCAB=/ACD,NBMA=ZDEC在4ABM和CDE中，NCAB=ZACD,AB=CD：AABM名ACDE,CE=24,Z.AC=7+CE-E=24+24-8=40.【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.16.如图，RZABC中，NABC=90。，D是AC的中点，连接8D,过点。作CEHBD,过点8作BK/AC两直线相交于点E.(1)求证：四边形OBEC是菱形；(2)若NA=3()o,8C=2,求四边形DBEC的面积.【答案】(1)见解析；(2)23.【解析】【分析】(

31、1)根据两组对边平行和直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证出(2)连接。七交BC于凡先根据宜角三角形性质和菱形性质先求出NCDF,根据已知边长，求出。E，CFt进而求出四边形03EC面积.【详解】(1)证明：过点C作CEBD,过点8作BE7/AC四边形BECD是平行四边形在RtABC中，VZABC=90o,D是AC中点ABD=DC四边形是菱形；(2)连接DE交BC于F,四边形3E8是菱形；NDFC=90。,CF=BF.DFHABZA=30,BC=2.ZCDF=30o,CF=I.DC=2,DF=w:.DE=2【点睛】本题考察了直角三角相关性质和菱形判定和性质等知识点，准确记住相关的判定和性质是解

32、题关键.17.如图，矩形ABCQ中，对角线Ae与BD相交于点。OE/AC交5C的延长线于点E.（1）求证：ZADB=ZE:4（2）若AO=4,cosZADB=-f求Ao的长.【答案】（1）见解析；（2）AO=.【解析】【分析】（1）由矩形的性质和平行四边形的判定定理推知四边形ACEQ是平行四边形，则由该平行四边形的性质证得BQ=O从而证得结论；（2）由三角函数的定义求得AC=8。=5,再由矩形的性质进行解答即可.【详解】解：（1）如图，在矩形A5CO中，AC=BD,ADBC,JlAD=BC.：ADBC,：./ADB=NDBE,AD/CE.*：DE/AC,：.四边形ACED是平行四边形,：.DE

33、=AC.：.BD=DE,；./DBE=/E,：.NADB=NE;4(2)VAD=4,CoSNADB=m,.AD4=，BD5工BD=5,由矩形的性质知，AC=BD=5,AO=CO=ACt.A0=-.2【点睛】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，解题时，充分利用了矩形的对角线相等、矩形的对边平行且相等的性质.18.如图，在，ABCD中，AC,BD交于点、O,且AO=80.(1)求证：四边形ABCO是矩形；3(2)NBDC的平分线。M交5C于点M,当A=3,tanD8C=一时，求CM的4长.【解析】【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC=Bz),即可得出结论；(2)过点M作MGJ_8。于点

34、G,由角平分线的性质得出MG=MC.由三角函数定义得出BC=4,SinZACB=SinZDBC.,设CM=MG=x,则8M=4-x,在RfaBMG中,由三角函数定义即可得出答案.【详解】证明：(1)四边形ABCQ是平行四边形，AC=2AO.BD=2BO.AO=BO,AC=BD.tAB8为矩形.(2)过点M作MGJ于点G,如图所示：四边形ABe。是矩形，.-.ZDCB=90,.CMLCD,.力M为NBDC的角平分线，:.MG=CM.OB=OC,:.ZACB=DBC.3AB=3,tanNDBC=,43 ABtanZ.ACB=tanNDBC=.4 BC:.BC=4.3.AC=BD=4BC2+CD2=

35、32+42=5，SinZACB=sinNDBC=V设CN=MG=x,则BM=4-x,在Z8MG中，NBGM=90。，3AsinZDBC=.4-x53解得：x=3.C=-2【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识：熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.19.如图，在四边形ABCO中，/88=90。，对角线Ae8。相交于点N,点M是对角线BO中点，连接A,CM.如果AM=DCAB_LAC,且AB=AC.-=C(1)求证：四边形AMCD是平行四边形.(2)求IanNDBC的值.【答案】(1)见解析；(2)I【解析】【分析】(1)根据AM=OC证明

36、AM/)C即可：(2)根据等腰直角三角形特点，延长AM构造中位线即可解题.【详解】(1)证明：YNoC3=90。在RIADCB中，点M为DB中点、：,MC=-BD=BM2V 在tiABC中，AB=AC：.ABMACM：ZBAM=ZCAM/.AMBCV NQCB=90。：.AM/DCfV ：AM=DC.四边形4WCQ是平行四边形(2)延长4M,交BC于点Q,：AMBC：AMHDCOM是3。中点,JMQ=3DC又AAl=OCMQ=3AM丁R%4CB中，AB=AC,AMIBC：.AQ=BQ【点睛】本题考查直角三角形斜边中线及中位线，解题的关键是熟记平行四边形判定定理及三角函数解题策略.20.如图，在

37、.ABC中，AC=BC,8为.ABC的角平分线，AEDC,AE=DC，连接CE.(1)求证：四边形ADCE为矩形：(2)连接。E,若AB=IO,CD=12,求OE的长.【答案】(1)见解析；(2)13【解析】【分析】(I)利用一组对边平行且相等的判定方法先判定其为平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形判定即可；(2)根据(1)中证明出的四边形ADCE为矩形，利用勾股定理求出AC的长度,进而利用矩形对角线相等的性质，可以得出OE=AC=13.【详解】(1)证明：如图.：AEllDCAE=DC,四边形ADCE为平行四边形.Y在&ABC中，AC=BC,8为aABC的角平分线，：.CD1A

38、B,：ZAr)C=90.四边形CE为矩形.(2)解：VAC=BC,8为ABC的角平分线，AB=IO,/.AD=-A=5.2在RfAACQ中，ZADC=90o,AD=5,8=12,AC=yjAD2+CD2=52+122=13-Y四边形ADCE为矩形，,OE=AC=13.【点睛】此题考查了平行四边形、矩形的判定以及直角三角形的性质、勾股定理等内容，关键是对这些判定以及性质的运用.21.如图，在中，ZBC=90o,AO是BC边上的中线，AE/BC,CE/AD.(1)求证：四边形AoCE是菱形；(2)连接BE若NA8C=30。，AC=2,求BE的长.【答案】(1)见解析；(2)27【解析】【分析】(1

39、)先利用两组对边分别平行AE8C,CEAO,证四边形AQCE是平行四边形.利用直角三角形斜边中线性质AQ=8/ACn可证四边形A。CE是菱形.(2)过点E作交BA的延长线于点H.在MaABC中，由30。直角三角形性质可求BC=2AC=4t利用勾股定理可求AB=二=25进而可求A。，由四边形AQCE是菱形与AE/8C,可求E4=NABC=30。.在即AAE中，由三角函数EH=I,AH=BHB=33在MABEH中,BE=12+(33)2=27【详解】(1)证明：YAEBC,CEADf，四边形A。CE是平行四边形.V ZBC=90o,A。是BC边上的中线，IAD=BD=CD.，四边形AQCE是菱形.

40、(2)解：过点E作交84的延长线于点在心ABC中，NABC=30,AC=2,BC=2AC=4,AB=42-22=23-V AD=；8C=2,V 四边形A。CE是菱形，AE=AD=2t：AEHBC,：.ZEAH=ZABC=3O0.在RfZkAEH中，EH=AEsin30o=2-=l,2AH=AEcos30o=2=3.2：HB=AH+AB=在RIbBEH中，BE=正+(3B2=2币.【点睛】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，30。角直角三角形性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，通过引辅助线构造直角三角形，用勾股定理解决问题是关键.22.已如，如图，在AABC中，AB=AC,4。是B

41、C边的中线，过点A作5C的平行线，过点8作AO的平行线，两线交于点E连接。七交AB于点0.(1)求证：四边形AOBE是矩形；(2)若8C=8,AO=,求四边形AEBC的面积.【答案】见解析；(2)18【解析】【分析】(1)只要证明四边形AQ8E是平行四边形，且/408=90。即可;(2)求出AB、ADt利用梯形的面积公式解答即可.【详解】(1) 9AEBCtBE/AD,四边形AQBE是平行四边形.：AB=AC,A。是BC边的中线,：.ADLBC.即NAoB=90。.四边形AQBE为矩形.(2) V在矩形ADBE中，AO=-i2：.DE=AB=5.V。是BC的中点，E=D=4,根据勾股定理Az)

42、=-Jab2-DB-=3，*S网边彩AEeC=(8+4)3=18.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型.23.如图，已知ZkACB中，NAC8=90。，E是4?的中点，连接CE,分别过点A,C作CE和48的平行线相交于点D.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AB=4,ZDAE=60,求ZkACB的面积.【答案】(1)见解析；(2)2抠【解析】【分析】(1)求证CE=A,根据平行四边形和菱形的判定证明即可;(2)根据菱形的性质和直角三角形的性质解答【详解】(1)证明：VAD/CE,CD/AE,，四边形ADeE是平行四边形.VZACB=90o,E是43的中点，：CE=AE.四边形ADCE是菱形.(2)解：VAB=4,AE=CE=EB,：CE=AE=2.四边形ADa是菱形，Nz)AE=60。，,NCAE=30。.Y在用AABC中，NAC8=90。，NCAE=30。，AB=A,CB=-A=2fJAC=NAB2-BC?=23Sv”/=aC8C=2L【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，要