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1、(2018顺义一模)27.如图，在正方形ABCo中，E是BC边上一点,连接AE,延长CB至点F,使BF=BE,过点F作FHYAE于点H,射线FH分别交AB.CD于点M、M交对角线AC于点P,连接A尸.(1)依题意补全图形；(2)求证：ZMC=ZAPF;(3)判断线段/M与PN的数量关系，并加以证明.4分5分(2018顺义一模)27. (1)补全图如图所示.I分(2)证明正方形A8CQ,.NBAC=N8C4=45,ZAfiC=90o，Z7=45o-ZBAE.：FHLAE.ZAPF=450+ZBAE.*：BF=BE,：.AF=AE,NBAF=NBAE.ZMC=450+NBAF.：.ZFAC=ZAP
2、f.判断：FM=PN.证明：过8作出2MN交Co于点Q,ZMN=BQ,BQLAE.正方形A8C。，：AB=BC,NABC=NBCo=90.；NBAe=NCBQ.Aabewabcq.；,AE=BQ.IAE=MN.9：ZFAC=ZAPFf：.AF=FP.,:AF=AE,：.AE=FP.工FP=MN.：.FM=PN.（2018年中考真题）27.（7.00分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH_LDE交DG的延长线于点H,连接BH.（1）求证：GF=GC;（2）用等式表示线段BH
3、与AE的数量关系，并证明.（2018年中考真题）【分析】（1）如图1,连接DF,根据对称得：ADEFDE,再由HL证明RlDFGRtDCG,可得结论;（2）证法一：如图2,作辅助线，构建AM=AE,先证明NEDG=45。，得DE=EH,证明aDME4EBH,则EM=BH,根据等腰直角aAEM得：EM=2AE,得结论；证法二：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明aDAE名ZENH,得AE=HN,AD=EN,再说明aBNH是等腰直角三角形，可得结论.【解答】证明：(1)如图1,连接DF, 四边形ABCD是正方形，DA=DC,ZA=ZC=90o, 点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,ADA
4、=DF=DC,ZDFE=ZA=90o, ZDFG=90o,在RtDFG和RtDCG中，v(DF=DCj*IDG=DG,RtDFGRtDCG(HL),GF=GC;(2) BH=2AE,理由是：证法一：如图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE,VAD=AB,DM=BE,由(1)知：Z1=Z2,Z3=Z4, ZADC=90o,Zl+Z2+Z3+Z4=90o,2Z2+2Z3=90o,Z2Z3=45o,即NEDG=45。，VEHDE,ZDEH=90o,4DEH是等腰直角三角形，ZAED+ZBEH=ZAED+Zl=90o,DE=EH,AZl=ZBEH,在aDME和aEBH中，DM=BEVZl=ZBEH,
5、DE=EHDMEEBH,EM=BH,RtZXAEM中，ZA=90o,AM=AE,/.EM=V2AE,BH=2AE;证法二：如图3,过点H作HN_LAB于N, ZENH=90o,由方法一可知：DE=EH,Zl=ZNEH,在aDAE和aENH中,rZA=ZENHVZl=ZNEH,DE=EHDAEENH,AE=HN,AD=EN,VAD=AB, AB=EN=AE+BE=BE+BN,AAE=BN=HN,BNH是等腰直角三角形，BH=2HN=2AE.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角
6、，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键.过点Q作QH_LBD于H,连接AH,PH.（I）若点P在线段CD上，如图L依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且NAHQ=I52。,请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果），口DPCr1C图1备用图正方形ABCD的边长为1,（2015年中考真题）28.（7分）（2015北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP,平移aADP,使点D移动到点C,得到aBCQ,【分析】（I）根据题意画出图形即可；连接CH,先根据正方形的性质得出aDHQ是等
7、腰直角三角形，再由SAS定理得出aHDP会4HQC,故PH=CH,ZHPC=ZHCP,由正方形的性质即可得出结论；（2）根据四边形ABCD是正方形，QH_LBD可知aDHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ.作HR_LPC于点R,由NAHQ=I52,可得出NAHB及NDAH的度数，设DP=X,则DR=HR=RQ,由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解：（1）如图1;解法一：如图1,连接CH,丁四边形ABCD是正方形，QHBD,ZHDQ=45o,ADHQ是等腰直角三角形.D P CO图1VDP=CQ,在aHDP与4HQC中.DH二QH丁Nhdp=Nhqc,DP=QCHDPHQC
8、(SAS),PH=CH,ZHPC=ZHCp.VBD是正方形ABCD的对称轴，AH=CH,ZDAH=ZHCp,/.ZAHP=180o-ZADP=90o,AH=PH,AHlPH.解法二：如图1,连接CH,VQHBD,ZQHB=ZBCQ=90o,B、H、C、Q四点共圆，.NDHc=NBQC,由正方形的性质可知NDHC=NAHD,由平移性质可知NBQC=NAPD,.ZAHd=ZAPD,A、H、P、D四点共圆，ZPAH=ZPDH=45o, NAHP=NADP=90, HAP是等腰直角三角形， AH=PH, AHPH.(2)解法一：如图2,丁四边形ABCD是正方形，QHBD,ZHDQ=45o,ADHQ是等
9、腰直角三角形.VBCQ由aADP平移而成，/. PD=CQ.作HR_LPC于点R,丁 NAHQ=I52,/. ZAHB=62o, ZDAH=17o.设 DP=X,贝IDR=HR=RQ=1. 2I-XVtanl7o=i-,即 tan 170=* CRl+2解法二：由(1)可知NAHP=90,图2IranI 7 -l+tanl7ZAHP=ZADP=90o,A、H、D、P四点共圆,又NAHQ=I52,ZBHQ=90o,ZAHB=152o-90o=62o,由圆的性质可知NAPD=NAHB=62,在RtaAPD中，ZPAD=90o-62o=28o,/.PD=ADtan28o=tan28o.【点评】本题考
10、查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中.28.（7分）（2017北京）在等腰直角aABC中，ZACB=90o,P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH_LAP于点H,交AB于点M（1）若NPAC=OI,求NAMQ的大小（用含的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明./. PQ=2MB.28.（7分）（2017北京）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出NBAC=NB=45。，ZPAB=45o-,由
11、直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ,作ME_LQB,由AAS证明aAPCgQME,得出PC=ME,MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论.【解答】解：（1）ZAMQ=45+a;理由如下：TNPAC=Ct,ZiACB是等腰直角三角形，ZBAC=ZB=45o,NPAB=45-a,VQHAP,ZAHM=90o,/.NAMQ=I80-ZAHM-NPAB=45+ct;(2)PQ=2MB;理由如下：连接AQ,作ME_LQB,如图所示：VACQP,CQ=CP,Nqac=Npac=CG/.ZQAM=45o+a=ZAMQ,AAP=AQ=QM,在aAPC和aQME中，rZMQE=ZP
12、ACZacp=Zqem，AP=QMAPCQME(AAS),PC=ME,MEB是等腰直角三角形，.LPQ=返MB,22方法二：也可以延长AC到D,使得CD=CQ.则易证ADP丝AQBM.BM=PD=D=C=券PQ,即PQ=2MB.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键.（2019年中考真题）27.（7分）已知NAo8=30,”为射线OA上一定点，OH=M+3P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM,满足NoMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150,得到线段PM连接ON
13、.（1）依题意补全图1；（2）求证：ZOMP=ZOPN;（3）点M关于点的对称点为。连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总、有ON=QP,并证明.【分析】（1）根据题意画出图形.（2）由旋转可得NMPN=I50,故NoPN=I50-ZOPM；由NAoB=30和三角形内角和180可得NoMP=I80-30-NoPM=I50-ZOPM,得证.（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推O尸的长度.由（2）的结论NoMP=NoPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PM已具备一边一角相等，过点N作NCIoB于点C,过点P作PDLOA于点D,即可构造出妾ZNCP,进而得PD=NC,DM
14、=CP.此时加上ON=QP,则易证得aCNgXQQP,所以OC=利用NAo8=30,设PD=NC=a,则0P=2,OD=yJy.再设OM=CP=X,所以Qo=OC=OP+PC=2a+fMQ=DM+QD=2a+2x.由于点M、Q关于点对称，即点H为MQ中点,故MQ=+x,DH=MH-DM=a,所以OH=OD+DH=a+a=M+L求得=l,故0P=2.证明过程则把推理过程反过来，以OP=2为条件，利用构造全等证得ON=QP.【解答】解：（1）如图1所示为所求.(2)设NoPM=,线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNJNMPN=150,PM=PN.*.ZOPN=ZMPN-ZOPM=150o-a
15、,.NAoB=30ZOMP=180o-ZAOB-ZOPA/=180-30-=150o-a.OMP=NOPN(3)OP=2时，总有ON=QP,证明如下:过点N作NCLLOB于点C,过点尸作PzlLOA于点。，如图2/.ZNCP=ZPDM=NPDQ=90VZAOB=30o,OP=2：.PD=OP=2=0P2-PD2=3V0=3ZDH=OH-OD=I：/OMP=NOPN180o-ZOMP=180o-ZOPN即NPMD=NNPC在APDM与二NCP中NPDM二NNCP Zpmd=ZnpcPM=NP：APDMmANCP(AAS)：PD=NC,DM=CP设OM=CP=X,WJOC=OP+PC=2+x,MH
16、=MD+DH=x+点M关于点H的对称点为QHQ=MH=x+/.DQ=DH+HQ=+x+=2+x：.OC=DQ在aOCN与AQOP中OC=QD.2：.DE=2DF=36(2)当“点在射线。4上且满足OM=26时，也的值不变，始终为1.理由如下:ME,4分当点尸与点M不重合时，延长EP到K使得PK=PD.Ii DPA=NOPE,NOPE=NKPA,：.ZKPA=ZDPA. AKPM=ADPm.PK=PD,PM是公共边，AKPM经ADPM.：.MK=MD.5分作ML_LO右于LMN_LEK于N.VW=23,ZOL=60,.*.ML=MO-sin60=3.6分 ：PEVBO,MLOE、MNEK, 四边形MZVEL为矩形. EN=ML=3. EK=PE+PK=PE+PD=6,：.EN=NK. ：MNlEK,IMK=ME. ME=,即型=LME当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.
