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1、其次章函数与导数第12课时导数在探讨函数中的应用（对应学生用书（文）、（理）3032页）X,课前亨咫引领八2;考情分析考点新知导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.以导数为探讨函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数探讨函数的单调性.驾驭利用导数求函数极值与最值的方法.会利用导数解决某些实际问题.季回归教材,IR1GVIJIA(KI1.(选修22P28例1改编)函数f(x)=3-152-33x+6的单调减区间为.答案：(-1,11)解析：
2、f(x)=3x2-30-33=3(x-ll)(x+1),由(xll)(x+l)v,得单调减区间为（一1,11）.亦可填写闭区间或半开半闭区间.2.(选修22P34习题3改编)若函数f(x)=ex-ax在x=1处取到极值，则a=.答案：e解析：由题意，f,(1)=0,因为F(X)=ea,所以a=e.3.(选修22P34习题8)函数y=x+sinx,x0,2兀的值域为答案：0,2解析：由y=1+cosx20,所以函数y=x+sinx在0,2n上是单调增函数，所以值域为0,2.4 .(原创)已知函数f(x)=-x2+blnx在区间NL+8)上是减函数，则b的取值范围是.答案：(一8,4J解析：f(x
3、)=x+-0在2,+8)上恒成立，即bWx?在2,X+8)上恒成立.5 .(选修22P35例1改编)用长为90cm、宽为48Cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为Cm时，容器的容积最大.答案：10解析：设容器的高为XCm,即小正方形的边长为XCm,该容器的容积为V,则V=(90-2x)(482x)x=4(3-692+1080x),0x0;当10vl2时，V,O,那么函数y=f(x)为该区间上的增函数；假如f(x)v,那么函数y=f(x)为该区间上的减函数.2 .函数的极值与导数(1)函数极值的定义若函数f(x)在点x=a
4、处的函数值f(a)比它在点x=a旁边其他点的函数值都要小，f(a)叫函数的微小值.若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b旁边其他点的函数值都要大，f(b)叫函数的极大值，微小值和极大值统称为极值.(2)求函数极值的方法解方程fr(x)=O,当f(xo)=O时， 假如在XO旁边左侧单调递增,右侧单调递减,那么f(xo)是极大值. 假如在XO旁边左侧单调递减,右侧单调递增,那么f(xo)是微小值.3 .函数的最值(1)最大值与最小值的概念假如在函数定义域I内存在XO,使得对随意的xI,总有f(x)f(xo),则称f(xo)为函数f(x)在定义域上的最大值.假如在函数定义域I内存在
5、Xo,使得对随意的XEL总有f(x)2f(xo),则称f(xo)为函数f(x)在定义域上的最小值.(2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 将函数y=函X)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中值最大的一个是最大值，值最小的一个是最小值.4 .生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：优化问题I立数学模型I用导数解决数学问题II优化问题答墓Vx、课中技巧点拨驳型1导鼎S色鼎的单碉嘏例1已知函数f(x)=3-a-l.(1)若a=3时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a,使f
6、(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解：(1)当a=3时,f(x)=x3-3-l,.f,(x)=3x2-3,令f(x)0即3x2-30,解得xl或x-1,：f(x)的单调增区间为(一8,1)U(1,+o0),同理可求f(x)的单调减区间为(一1,1).(2) f(x)=3x2-a. f(x)在实数集R上单调递增， f,(x)20恒成立,即32-a2O恒成立,a(3x2)mi11.32的最小值为0,a0.(3)假设存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减， f,(X)Wo在(-1,1)上恒成立，即a232.又320,3),Ja3.，存在实数a使f(x
7、)在(一1,1)上单调递减，且a23.备送交K(茏韩专事)(1)已知函数f(x)=x2-mlnx+(m-l)x,当m0时，试探讨函数f(x)的单调性；1 2(2)若函数f(x)=(x-2)+blnx在(1,+8)上是减函数，求实数b的取值范围.解：(1)函数的定义域为(0,+o0),f,(X)=X-+(m1)=.X2+(m-1)xm(x1)(x+m)x-x,当一lO,得0xl,令F(X)VO,得一mvl,函数f(x)的单调递增区间是(0,一m)和(1,+8),单调递减区间是（一m,1）；当mW1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(m,+o),单调递减区间是(1,m).12b
8、(2)由f(x)=-2)+blnx,得f(x)=-(-2)+一,ZX由题意，知f(x)0即一(x2)+0,函数g(x)=+14)ex+4.若h20,4,使得川g(*0时，f(x)在区间(0,1)上的单调递减，在区间(1,4)上单调递增，函数f(x)在区间0,4上的最小值为f(l)=-(a+2)e./f(0)=b=-3-2a0,函数f(x)在区间0,4上的值域是f(l),f(4),即-(a+2)e,(2a+13)e4.又g(x)=(a2+14)ex+4在区间0,4上是增函数,且它在区间0,4上的值域是3+14对，(a2+14)e8,(a2+14)e4-(2a+13)e4=(a2-2a+l)e4=
9、(a-l)2e40,1 -2a20,4使得f()g(2)Vl成立只须但+14把4(2a13)e41P(al)2e41P(a1)2bR)在点x=-l处取得极大值为2.(1)求函数f(x)的解析式;若对于区间2,2上随意两个自变量的值X1、X2,都有If(XD-f(x2)c,求实数C的最小值.角生(1)f(x)=3ax2+2b-3.由题意，得f (-1) =2,f, (-1) =0,a+b+3=2,即,3a-2b3=0,解得a=l,b=0,所以f(x)=x3-3x.(2)令F(X)=0,即32-3=0,得x=l.X-2(一2,1)-1(-b1)1(1，2)2P(X)+f(x)-2增极大值减微小值增
10、2因为f(1)=2,f(l)=-2,所以当x-2,2时，f(x)ma=2,f(x)min=-2.则对于区间-2,2上随意两个自变量的值xi、X2,都有f(x)一f(X2)f(x)max-f(x)min=4,所以C24.所以C的最小值为4,改型3导熬忘实秣问敢中的应用例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60Cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形态的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=XCm.(1)某广告商要求包装盒侧面积S(Cm2)最大，试
11、问X应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(Cm3)最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.角星：(1)S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2(0x30),所以X=15cm时侧面积最大.(2)V=(2x)60-2x)=22x2(30-x)(0x30),所以V=6x(20x),令S=O,得x=20,当0x20时，V递增；当20x0,N(2)当m=l280时，y=l280。+等)+1536,(1256),y,=128()!令y=0,得X=64,当0v64时，y,64时，y,0.所以当x=64时，y有最小值16896,此时要建21个桥墩.答：须要建21个桥墩才能使
12、y最小.答题模板【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)=Inx-ax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.审题引导：知函数解析式求单调区间，实质是求F(X)0,f,(x)O).(1分)/ 当aWO时，F(X)=a20,即函数f(x)的单调增区间是(0,+8)(3分) 当a0时，令f(x)=1-a=0,得x=L，当OVXVl时，f,()Xa=L詈0,当x；时，f(X)=上詈0,所以函数f(x)的单调增区间XdA(111、是0,二，单调减区间是三，+8.(6分)dLa7(2)当:W1,即a21时，函数f(x)在区间1,2上
13、是减函数，a所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.(8分)当拉2,即0aW；时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(l)=-a.(10分)当12,即宗avl时，函数f(x)在区间1,上是增函数，dzLd_在区间：，2上是减函数，又f(2)f(l)=ln2a,所以当gvaln2时，最小值是f(l)=-a；当ln2avl时,最小值是f(2)=ln22a.(12分)综上可知，当0aln2时，最小值是一a；当a2h)2时,最小值是In22a.(14分)新题推荐w-jr1. (2024新课标11)若存在正数X使2x(-a)x玄，令f(x)=x一步所以P(X)=l+2-x
14、ln20,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，所以f()f(O)=O-I=-I,所以a的取值范围是(-1,+8).2. (2024大纲)若函数f(x)=2+ax+;在4+q上是增函数，则a的取值范围是.答案：a31(1解析：f(x)=2x+a-在5,+o0上恒成立，即a2-2xXX在g+8)上恒成立.令g(x)=-2x,求导可得g(x)在g+8)上的最大值为3,所以a23.3. (2024.扬州期末)已知函数f(x)=lnx一mR)在区间1,eX取得最小值4,则m=.答案：-3e解析：fr(x)=;+=x匕令P(X)=0,则X=m,且当X一XXXm时，f,(x)-m时，f,(x)0,f(x)
15、单调递增.若一mWl,即m21时，f(x)min=f(l)=-ml,不行能等于4;若1-me,即一eme,即mX2，求证:fxiX2)Ka2x2-(a-2)-a(1)斛：F(X)=2x-(a-2)-=AA(2xa)x(x+l)(x0).当aWO时，f,(x)0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增,所以函数f(x)的单调增区间为(0,+).当a0时，由f(x)O,得x;由f(x)O,得0x0,且f(x)的最小值,即一a?+4a4alnO,所以a41n-40.令h(a)=a+4尾一4,明显h(a)在(0,+8)上为增函数，且h(2)381=-20,所以存在ao(2,3),h(ao)=O.当aa(
16、)时，h(a)O;当Oaao时，h(a)0,f(l)=0,所以a=3时，f(x)有两个零点.综上所述，满意条件的最小正整数a的值为3.(3)证明：因为xi、X2是方程f(x)=c的两个不等实根，由(1)知a0.不妨设Ox1x2,则X?(a-2)x-alnx=c,x(a2)x2-alnx2=c.两式相减得X?(a2)xj-alnxjx5+(a-2)X2alnx2=0,即x?+2xi-x-2x2=axalnxj-ax2-alnx2=a(xlnx-X2-lnx2).“，x?+2xiX-2X2所以a=+lnx-X2lnx2因为27=0,当xe10,2时，f(x)O,故只要证XqX2S即可，Gn1X?+
17、2X|X?2X2即证明X1+X2-Tj；，xi+lnxi-X2-,lnx2即证明X?x3+(x+x2)(lnx1lnx2)x?+2x1一遥一2x2,CCXl2x2x2即证明In-.X2X1+X2Yiiit=-(Otl).人2l214(t1)2令g(t)=lnLE,则g(t)=17ITT11=t(t+1)2因为30,所以g(t)20,当且仅当t=l时，g,(t)=0,所以g(t)在(0,+8)上是增函数.又g(l)=0,所以当t(0,1),g(t)0),L1 2a2-l由 l=2a一丁2(a+啜a挈,+上单调递增;令 10,得 l=a2Ina令 0,得 l=a2-Ina 在 0,当上单调递减，所
18、以当a线段MN的长取得微小值，也是最小值.4 .已知函数f(x)=(a2+x)ex,其中e是自然数的底数，aR.(1)当aO;(2)若f(x)在-1,1上是单调函数，求a的取值范围；(3)当a=0时，求整数k的全部值，使方程f(x)=x+2在k,k+1上有解.解：(1)因为eXO,所以不等式f(x)O即为a2+x0.又aO,所以不等式可化为xx+lO的解ka，集为(0,用(2)f(x)=(2ax+l)ex+(ax2+x)ex=ax2+(2a+l)x+lex,当a=0时，f,(x)=(x+l)ex,f,(x)20在-1,1上恒成立,当且仅当x=-l时取等号，故a=0符合要求；当a0时，令g(x)
19、=a2+(2a+l)x+l,因为4=(2a+l)2-4a=4a2+l0,所以g(x)=O有两个不相等的实数根xi、x2,不妨设xX2,因此f(x)有极大值又有微小值.若a0,因为g(l)g(0)=-a0,所以f(x)在(一1,1)内有极值点，故f(x)在-1,1上不单调.若aOx2,因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1,1g(1)0,3a+20,上单调，因为g(0)=l0,必需满意,-八即八所以g(1)0.-aN022-Qa0,所以x=0不2是方程的解，所以原方程等价于e-=o.X以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间1,2和-3,-2上，所以整数k的全部值为-3,1.&I疑雎指津/1 .在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令F(X)20(或F(X)O对于X为(-8,0)U(0,XX+8)恒成立，所以h(x)在(一8,0)和(0,+8)内是单调增函数，又h(l)=e-30,h(-3)=e3-0,所
