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1、专题02平面向量基本定理与平面向量的坐标表示学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知向量力,若(+助)Ma+/?),则()A.4+4=lB.+=-C.=D.=-2 .在/8C中，点。在边AB上，BD=2DA.记CA=加C。=”，则CB=()A.3tn-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n3 .已知向量o=(3,4),b=(l,0),c=+仍，若Va,c=vb,c,则f=()A.-6B.-5C.5D.6二、填空题4 .已知向量a=(1,3),6=(3,4),(a-b)Lb,则2=.5 .已知向量=(3,l),b=(LO),c=+Ab.若a_Lc，则A=.三、单选题6 .如图，在平
2、行四边形ABCO中，AE=AD,BF=；BC,CE与DF交于点。.设AB=AD=B若=+则义+=（）7 .平行四边形ABCZ）中，AB=4,AD=2,ABAD=4无，点P在边CD上,则PA.尸8的取值范围是（）A.-1,8B.-l,4+2C.-2,4+4D.-2,08 .如图，在等腰A8C中，己知卜=W4=1,NA=120。,反尸分别是边AaAC的点,.AE=AB,AF=C,其中4e(O,l)且2+2=1,若线段ERBC的中点分别为9 .已知平面向量之工满足|小=2，了与的夹角为150%记m=S+(l)0(fR),则|7|的取值范围为()A.l3,+)B.2,+)C.l,+)D.p+)10.定
3、义空间两个向量的一种运算人=忖小卜也卜,力)，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A. (ab(abB. (ab)区c=a伍C)C. (+bgc=(c)+,C)11.D.若=(xpy),b=(x2ty2),则a8“禺WyIl四、多选题11.在边长为4的正方形ABC。中，尸在正方形(含边)内，满足AP=XA月+yA。，则下列结论正确的是()A.若点尸在8Q上时，则x+y=lB.x+y的取值范围为1,4C.若点。在8。上时，AP+AC=2xAB+2yDD.当尸在线段8。上时，的最小值为:3612.定义平面向量的一种运算“。”如下：对任意的两个向量;/=(对,)，b=(2,y2),令ab
4、=（x1y2-x2yi,xx2+7J2）下面说法一定正确的是（）A.对任意的2eR,有凶。为（M）B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a,都有力：=是）；=。成立C.若与b垂直，贝与黑（曝；）共线D.若与b共线，贝M往底与（）的模相等13.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外.经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜土人，其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞日：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花
5、傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形Co。，其中NCoQ二署,0C=3。4=3,动点P在CO上（含端点），连接OP交扇形O48的弧AB于点Q,且OQ=XoC+yOO,则下列说法正确的是（）O图1图22_A.若y=x,则x+y=5B,若y=2x,则OAP=0一11C.ABPQ-2D.PAPB-五、解答题uun1Ulr14.如图所示,在A80中，0C=IoA,。=508,A。与BC相交于点M,设OA=,OB=b.(1)试用向量力表示OM；(2)过点M作直线所分别交线段AC,8。于点E,mOE=OA,OF=NOB,求证:1 3不论点EF在线段AC,或上如何移动，彳
6、+一为定值.15.如图，在AABC中Ao=3AB，点E是Co的中点，AE与BC相交于R设AB=,AC=b.(1)用b表示AE,DE；(2)若在平面直角坐标系XOy中，己知点A(T,-2),8(3,-2),C(3,10),求卜耳.参考答案：1. D【分析】根据向量的坐标运算求出+%b,a+bt再根据向量垂直的坐标表示即可求出.【详解】因为=(l,l),b=(l,-1),所以+m=(1+412)，。+。=(1+,1一)，由(+4/?)_1(+/，)可得，(+4Z)(+4Z)=0,即(1+3(1+)+(IT)(/)=0,整理得:=-.故选：D.2. B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解
7、出.【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA,所以80=294,即CO-CB=2(CA-CD),所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.故选：B.3. C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解:c =(3+/,4), COSc)=cos (b, c),即9 + 3r + 165H3 + 1H，解得，=5,故选：C【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为动=(1,3)Y(3,4)=(134342),所以由(-4)J_可得，3(l-3)4(3-42)=0,解得/1=：.3故答案为：.【点睛】本题解题关键
8、是熟记平面向量数量积的坐标表示，设。=(%,凹)出=(%，)，aboab=OoXsX2+yy2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量e的坐标，利用向量的数量积为零求得Z的值【详解】=(3,1),力二(l,0),.c=+妨=(3+%,1),cUd,.c=3(3+Z)+lxl=0,解得2=-5，故答案为：-5.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量二(%，乂)，4二(七，%)垂直的充分必要条件是其数量积芯“2+)18=().6. B【分析】根据F和E,O,C三点共线，可得AO=XAo+)认尸和AO=7AE+/MC，利用
9、平面向量线性运算可用。力表示出40,由此可得方程组求得乂儿进而得到大十的值.【详解】连接瓶，AC,R。,尸三点共线，.可设Ao=XAO+yAD则大+尸1,.AO=XAz)+y(48+B/7)=XAo+)(AB+；4)=x+:)jz?+ya；.乙。,C三点共线，:.可设AO=?AE+AC，则m+=l,Ao=WAO+(AO+A8)=(g+“a；x+y,19m+n=X=皿但JI7s811.h.811191m,解得：Q=+BP+z=+=,x+-y=-+8171717171743y=-I17y=n故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据。为两线段交点,利用两次三点共线，
10、结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.7. C【分析】建立平面直角坐标系，设P(x,五),(0x4),把PA?6的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.【详解】作Qo_LA8,垂足为0,以点。为原点，08,。所在直线为4轴，V轴建立如下图的平面宜角坐标系.ABAD40&因为COSNBAO=同Wi=而而OVND兀,所以NBA。=，TC在直角AAQQ中，因为NBA。=1,4)=2,所以OO=OA=,OB=4-垃,则A(一也0),3(4-。),设Pa2),(0AP8取最小值-2,当x=4时，PAP8取最大值4+4，所以PAPB的取值范围是-2,4+4.故选：C【分析】根据几何图形
11、中线段对应向量的线性关系，可得4M=g(4AC+lA8),AN=-(A+AC),又MN=AN-AM且1)且九+2=1,可得MN?关于的函数式，由二次函数的性质即可求IMM的最小值.【详解】在等腰ABC中，卜q=卜4=1,/4=120。，则A84C=43ACcosA=-g,尸分别是边A8,AC的点，.AM=g(A+AE)=J(AC+lAB),AN=(A+AC),而MN=ANAM=；(1-)AB+(1-)AC,两边平方得：912.)1MN=-(1-)2AB+2(1-2)(1-)ABAC+(-)2AC-(l-)2-(-)(l-)+(1-f44JT一+1,而义+2=1,4-+I7(一|)2+5,又4.
12、0)，即尾)，一44Vj，当4=2时，M最小值为表，即IMM的最小值为答.故选：C【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得MN=AN-AM，结合己知条件转化为MN?关于的二次函数，求最值.9. C【分析】根据条件i=+(lT)拓WR)，f+(D=l,可知：若U工起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.【详解】如图，W=OB,a=OA,则b-h=AB,则/。酎=150,因为加=/+(-z)6(/R)，其中f+(I)=l,于是与；工共起点,且终点共线,即在直线AB上,于是Z,时(即决)IiI最小，最小值为1,无最大值.故选：C.10. D【分析】A.按义的正负分类讨论
13、可得，B.由新定义的意义判断，C.可举反例说明进行判断，D.与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值,代入计算可判断.【详解】A.GU)闻卜inva,8,OI,=fa)b=tzin=(ab),N=O时，+)=0,(闻区=0,成立，OR,=-,sin=sin(-)=sin(a)Z?=-psin=-(ab),综上，A不恒成立；B.“是一个实数，)C无意义，B不成立；C.若1=(0,1),6=(1,0),c=(l,l),则+b=(l,l),=0t(+Z?)齿c=+JHSinO=XO=0,=-,=-,44(a2)c)+(z?0C)=IX0xsin?+I0xsin?=2,
14、(a+)0CW(C)+(2)，则W=收+y；，W=J+，.XX2+XMcos=/2丁：，,+y；xj+，sin=1-cos2=/1-”+附=,品),vV“；+”)(考+员)Ja2+*(+)所以齿=MMSinVa出=归为-工2%|，成立.故选：D.【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解.解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin用cos,而余弦可由数量积进行计算.【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.【详解】如图建立平面直角坐标系,则40,0),5(4
15、,0),。(4,4),。(0,4),设(孙)(犯00,4),因为AP=XAB+yAO,n=4x所以(九)=x(4,0)+y(0,4),所以V,n=4y对于A,由题意可得线段8。的方程为V+V=4,Ve0,4,因为点尸在3。上，所以m+=4,m=4x一因为/,所以m+=4(x+y)=4,n=4)，所以x+y=l,所以A正确，m=4x对于B,因为4,所以帆+=4(x+y),n=4ycrl?+所以x+y=一,4因为科0,4,所以m+e0,8,所以x+y0,2,所以B错误，对于C因为AP=(m,),AJ=(4,4),所以AP+AC=(n+4,+4),n=4x因为2xA3+2pW=2x(4,0)+2y(
16、0,4)=(8x,8y),，一外，所以2xA8+IyAD=(2八2)，7+4=2mw=4AP+AC=2xB+IyAD,则(“。，得V1n+4=2n=4=4二不满足，/2=4所以AP+AC=2xA8+2y4O不成立，所以C错误，对于D1+ya+),一冲1-2D3331-2x(岁),当且仅当x=y=；时取等号，6所以当P在线段80上时手的最小值为5,所以D正确故选：AD12. AD【分析】由)力=(Ny2-七%，XlW+y%)表示出卜。)力和(d)，即可判断A；假设存在唯一确定的向量e=(,此)使得对于任意向量,都有L)=潟成立，即方程组%=*,对任意恒成立,解方程可判断B；若。与垂直,则百/+Y
17、No=Y中2+M=0，设C=UM，分别表示出()&与N)M)即可判断C;若与B共线，则工通一-”设C=KM,分别表示出(.)。；与演曲即可判断D.【详解】设向量4=(,y),分=(*2，2)，对于A,对任意的义R,有ab=(xryl)(x2,y2)=(xiy2-x2yxlx2+yiy2)=(x1y2-x2y1,x2+y1y2)=(o?),故A正确；对于B,假设存在唯一确定的向量e=(,%)使得对于任意向量。，都有温工为二工成立，即(a%-与加和)+y%)=(%乂一%x)=(玉，X)恒成立，即方程组1y0-y.=y1-A,v0=x1对任意Ay恒成立，而此方程组无解，故B不正确；对于C,若G与垂直
18、，则占占+2=0，设c=(,%),则(fl7)c=(x1y2-x2y1,0)(x3,y3)=(x1y2y3-x2y1y3,x1y2x3-x2y1x3),6()c)=(x1,y1)(x2y3-x3y2,x2x3+j2y3)=(2i+%为%-y9%+yWy一%电+ypj+%)二(%-阴2%，Fy2七十如洛片耳工跖%一5也%七一圮咨)，其中wR,故C不正确；对于D,若与共线，则X力-/凹二。，设c=(,%),(d“C=(O,12+Ky2)。(知%)=(2X3-y,y2r3,12y3+y,y2j3),6()c)=(X1X2X3+Xy2%-+%必与，XX2%-XM&+KZE+乂必必)=(l2i+y2vv
19、2y3yy2,3)所以作C与知阳C)的模相等，故D正确.故选：AD.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.13. ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设Q(CoSe,sin。),可得P(3cose,3sin6),由O。=XoC+)，0。，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C,D.【详解】如图，作。石_LOC,分别以OCoE为XJ轴建立平面直角坐标系，设。(COSe,sine),60,-,则P(3cos6,3sin6),由OQ=XOC+)。可得cosO=3
20、x-y,sin0=乎y,KxO,yO若V=%,则cos?。+sin2夕=(3x-1x)2+(手x)2=I,i2解得=y=3，(负值舍去)，故+y=A正确；3若y=2x,则COSO=O,OAOP=(l,0)(0,l)=0,故B正确；ABP=(-,y)(-2cos-2sin)=-3sin+3cos=-23Sin(G-y)由于60,g,故S-2-73sin(-y)3,故C错误；由于PA=(1-3cos，,一3sinPB=(-i-3cos9,-3sin),221 JTPAPB=(l-3cos,-3sin)(3cos/一3Sin0)2 2-3sin(e+/),而。+/日/,?,26666PAP=-3si
21、n(6+-)-3=-,故D正确，2622故选：ABD1314. (V)OM=-a+-b(2)证明见解析【分析】（1）根据。,例,A三点共线可得0M=Q拉+（1-时。4,同理由氏W,C三点共线可nM=nOB+（-n）OCf根据向量相等的条件可求出根，的值，即可求解;（2）设OM=XoE+y。产=xl04+y08,由OM?及EA后三点共线工+丁=1联立即可求解.【详解】（1）因为DM,A三点共线,所以存在实数m使得OM=nOD+(-m)0A=b+(-m)a,又因为3,M,C三点共线,所以存在实数使得OM=nOB+(-n)OC=nh+6 m = -73 n = -7m=n根据向量相等可得21，解得,
22、I-WI-W=4.13所以OM=Ia+声(2)设OM=XOE+y/=xlOA+)4O8,I3由可得4=,，yju=-t又EM,E三点共线，所以+y=l，I3I3由可得7=gly=-f代入式可得+-=7(+y)=7,即不论点反尸在线段AC,8。上如何移动，；+白为定值7.【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当。为直线叱外一点时，三点共线03/=1。七+)，“(尤川对/+=1的应用，属于基础知识的应用.131315. (l)AE=/?+a；DE=-ba2222(2)5【分析】(I)利用向量加法减法的几何意义即可用，6表示AE,DE；(2)利用向量共线充要条件求得A户的坐标，进而即可求得卜用的值.【详解】(1)在AABC中A0=3A6,点E是CO的中点，AE与BC相交于F,1 113AE=-(AC+AD)=-(AC+3AB)=-b+-a2 222DE=-DC=-(AC-AD)=-(C-3AB)=-b-a22222(2)在平面直角坐标系Xs，中，已知点A(T,-2),8(3,-2),C(3,10),则AB=(4,0),AC=(4,12),BC=(0,12)贝IJAE=L(AC+3A8)=(8,6)2设B户=ABC=(0,122),则AF=AB+BF(4,122)由A尸AE，可得8x124-6x4=0,解之得4=!4则”=(4,124)=(4,3),则IAF卜F?=5
