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1、专题2.8元一次不等式与一元一次不等式组章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】1【题型2不等式组的有解或无解问题】3【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】6【题型4根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】8【题型5利用不等式求最值】10【题型6不等式中的新定义问题】13【题型7解绝对值不等式】18【题型8方程与不等式（组）的实际应用】24【题型1根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】【例1】（2023上浙江金华八年级校考期中）已知不等式2x+0的负整数解恰好是-3,-2,-1,那么Q满足条件（）A.68B.6C.68D.a6【答案】C【
2、分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于Q的不等式组，从而求出。的取值范围.【详解】解：2k+q0,：.2%,X-P不等式2%+QO的负整数解恰好是-3,-2,-1,*一4X3,.-4-3,.68.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定-：的取值范围.【变式1-1（2023下湖北武汉八年级期末）关于的不等式组Mr3的最小整数解为L则m的取值范围是（）A.3m1B.0mIC.3m4D.0mV：或3Vm4【答案】B【分析】分两种情况讨论：当2mm-3;当2m2m,不等式组的最小整数解为1，02m1,1.,.0m-当2mVm-3,即mV3时
3、，此时，不等式组的解集为m-3,不等式组的最小整数解为1，0.3m4（不符合题意，舍去），综上可知，m的取值范围是0mV故选：B.【点睛】本题考查了不等式组的整数解，解一元一次不等式，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.【变式1-2（2023下江苏南通八年级统考期末）若X=3是关于X的不等式3%-m2x+3的一个整数解,而汽=2不是其整数解，则相的取值范围为（）A.IVmVOB.-lm0C.-1mOD.-1n-1,然后根据=3是关于X的不等式3%-m2%+3的一个整数解，可得m0,即可解答.【详解】解：3xn2x+3,.xm+3.”=2不是不等式的整数解，.*.m32解得m-1.Vx=3是关
4、于X的不等式3刀-m2x+3的一个整数解，.3x3-n2x3+3,*.m0,-1m4（x+m）,【变式13】（2023下安徽亳州八年级校考期中）若关于的不等式组*4的所有整数解的和为7,则整数m的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【分析】解不等式组用含Tn的式子表示不等式组的解题，根据所有整数解的和为7,写出所有的整数解题即可.【详解】由5%+24（%+m）,得4m2；由14gx,得XV5.因为不等式组的所有整数解的和为7,所以不等式组的整数解为4,3或4,3,2,1,0,-1,-2,所以24m2V3或一34m-2-2.解得1m三或一2n3aB.X3bC.3x4进一步得出3-V
5、3f,即可求出不等式组；的解集.【详解】解：V不等式组；无解，：ab,-aV-b,.3-4V3也不等式组“1；心的解集是3-ax3-b.b,进而得出3-V3-b.（4x+a2x【变式21】（2023下,四川成都八年级校考期中）己知不等式组3丫/5丫工2有解，则a的取值范围IX-X+DI44为.【答案】QV3【分析】解两个不等式求得X的范围，由不等式组有解可得关于的不等式，解之可得答案.【详解】解：解不等式4x+QV2%，得：x442则不等式组的解集为：WVXV-泉不等式组有解,4x+a2x35cX-X+344解得：Q3,故答案为：QV3.【点睛】本题考查的是解一元次不等式组，正确求出每个不等式
6、解集是基础，熟知“同大取大；同小取小：大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.【变式22】（2023下辽宁葫芦岛八年级统考期末）对于不等式组：,以下结论中：若=2,则不等式组的解集为IVx2；若Q=-I,则不等式组无解；若不等式组无解，则vl;若不等式组只有一个整数解，则1q0【答案】12【分析】先运用一元二次方程根的判别式和不等式组的解得情况确定的取值范围，从而得到整数。的取值，最后求所有满足条件的整数的值之和即可.【详解】解：Y关于X的一元二次方程（-2）+2x-3=0有解，=22-4(-3)(-2)0,q-20解得：Q9且Q2,将不等式组一等-(y-) O整理得:y5y
7、0.*.5,。的取值范围为：g5且Q2,，满足条件的整数Q的值为：5,4,3所有满足条件的整数Q的值之和是12.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、含参数一元一次不等式组的解等知识点，掌握运用元二次方程根的判别式判定根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键.【题型3根据不等式的整数解个数求参数取值范围】【例3】（2023下甘肃酒泉八年级统考期末）关于%的不等式3Vm的解集中只有三个正整数，则m的取值范围是.【答案】OVnl【分析】根据不等式只有三个正整数解列出关于m的不等式求解即可；【详解】解不等式x-3Vm得XVm+3,只有三个正整数，3n34,0m1.故答案是
8、：0m1.【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式的整数解求参数，准确计算是解题的关键.【变式3-1（2023下广西贺州八年级统考期末）若关于”的不等式3x-Q2只有2个正整数解，则。的取值范围为（）A.-7-4B.-7-4C.47D.4a7【答案】D【分析】先求出元一次不等式的解集为等，再根据不等式只有两个正整数解得到2等V3,据此求解即可.【详解】解：3x-2,3x+2,x等，V关于X的不等式3%-2只有2个正整数解，.2等3,629,4-3-m,由于只有5个负整数解，故可判断一3-m的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围.【详解】解：去括号，得：2x-m3x+3t移项，得：2x-3x3
9、+mf合并同类项，得：-x得：X311iY不等式的负整数解只有5个，6-3m解得：2Vm3,故答案为：2-2029-2-Q6,根据该不等式的负整数解有且只有四个，得出一5-6V4,求解即可.【详解】解：(1)当=2023时，5x-20236(xl),去括号，得54一20236X+6,移项、合并同类项，得一%V2029,系数化为1,得%-2029.(2)由不等式5%a6.Y该不等式的负整数解有且只有四个，这四个负整数解为一4,一3,-2,-1,.*.5-a64,“3厂4,3,3A.-a-B.-a-C.-a-D.-a0（2）解不等式得,解不等式得x-g,由于不等式组有解，则-募VX拳必定有整数解0
10、,号-g,三个整数解不可能是-2,-1,0.若三个整数解为-1,0,1,则不等式组无解；2三a3若三个整数解为0,1,2,则22;-1-a0、3解得gaM故选：B【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定.难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0,再分类讨论是解题关键.【变式4-1（2023下上海虹口八年级校考期中）已知关于X的不等式组修二乙的整数解共有5个，且关于y的不等式ay-1y的解集为y白，则a的值为.【答案】一3Vq-2【分析】先求于无的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于y的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可.【详解】解二产喝，解不等式得，xl
11、+a,解不等式得，X4, 不等式组有5个整数解，*-2V1+1,解得，3VQ2,Qy-1-y,移项合并得，（+l）y1,关于y的不等式y-1-y的解集为ySP+10,/CLV19综上，一3Vq-2, Q的值为-3Vq-2;故答案为：-3a2.【点睛】木题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.【变式4-2（2023下辽宁大连八年级统考期末）已知关于无的不等式组的整数解共有3个，则Q的取值范围是（）A.01B.0q1C.01D.01【答案】A【分析】不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可.【详解】解：不等式组整理得
12、：x9,Ix-2.-2xa, 不等式组的整数解共有3个, 整数解为-2,-1,0,则的取值范围是OVL故选：A.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.【变式4-3(2023浙江模拟预测)已知关于的不等式组:二乙*3恰好有四个整数解，则实数Q的取值范围是.【答案】78【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含。的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围.【详解】解：解不等式组打I?；得：1305,则35V%,该不等式组的解集恰好有四个整数解，四个整数解为4、5、6、7,：.
13、7QV8,故答案为：78.【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定。的范围是解决本题的关键.【题型5利用不等式求最值】例5(2023下河南许昌八年级统考期末)已知非负实数a,b,C满足F=一=,设S=a+2匕+3c,234S的最大值为?，最小值为，则巴的值为.m【答案】【分析】设学=等=?=%则a=2k+l,b=3k+2,c=5-4k；利用a,b,C为非负实数可得女的取值范围，从而求得用，的值，结论可求.【详解】解：设=等=?=则a=2+1,b=3Zc+2,c=5-4k,：.S=a+2b+3c=2fc+1+2(3fc+2)+3(5-4fc)=-4k+2
14、0.,：a,b,C为非负实数，2/c+1O工3k+2O,54kO解得：-1k0,2-3r0,解得t一打野,-t?Vw=3x+4y9把X=2/+1,y=2-3t,代入得：W=6+11,1/Il-W/2SS263解得，7w14,w的最大值是14,最小值是7,.*.m+=14+7=21.故选：D.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键.【变式5-2（2023下福建泉州八年级统考期末）已知实数Q,b,c,+b=2,c-a=l.若-3b,则Q+b+C的最大值为.【答案】6【分析】由cQ=!_得C=Q+1,与+b=2相加得+b+c=Q+3,由+b=2及Q
15、3b,可得的最大值为3,从而得出+b+c的最大值.【详解】解：由C-Q=I得C=Q+1,由Q+b=2得Q+b+c=+3,a+b=2及3b,.,a-3(2-)解得：3,二Q的最大值为3,b+C的最大值=3+3=6.故答案为：6.【点睛】本题考查了不等式的性质运用.关键是由已知等式得出+b+c的表达式，再求最大值.【变式5-31(2023下福建泉州八年级泉州七中校考期中)己知X,y,z为3个非负数,且满足3%+2y+z=5,X+y-z=2,若S=2%+y-Z,则S的最小值为,最大值为.【答案】23【分析】先解三元一次方程组得到y=手，Z=?,根据彳、KZ是三个非负实数，得到0xWl,再求出S=x+
16、2,进而得到2S3,由此即可得到答案.【详解】解：+Ix+y-z=2(2)+得：4x+3y=7,解得y=空，-X2得：x+3z=l,解得Z=?,、y、Z是三个非负数，：,X0,y0,z0,0号%00X1,.Cn.7-4XI-X.r.S=2xH-=X+233:.2S3,S的最小值为2,最大值为3,故答案为：2,3；【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确求出Oxl,S=x+2是解题的关健.【题型6不等式中的新定义问题】【例6】(2023下江苏淮安八年级统考期末)定义一种新运算当b时，*b=+3b;当QVb时，a*b=a-3b.例如：3*(-4)=3+(-12)=-
17、9,(-2)*5=-2-15=-17.填空：4*(-3)=,(-4)*3=；(2)若(3%-4)*(x+6)=(3x-4)-3(x+6),则X的取值范围为；(3)已知(3x-7)*4-6,求X的取值范围.【答案】-5,-13(2)x5(3)x【分析】(1)根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可；(2)根据题意可得3x-4Vx+6,求解即可；(3)分为两种情况，当3-74,即x费时；当3%-7V4,即x蓝时；然后再按照定义的运算分别进行计算，即可求解.【详解】(1)解：4-34*(-3)=4+3(-3)=-5,V-43(-4)*3=-4-33=-13.故答案为：-5,13解：V(3x-4)(x
18、+6)=(3x-4)-3(x+6):3x4V%+6解得：x5故答案为：x5.(3)解：分两种情况，当3%-74,即力苦时，由(3x-7)4一6可得：3x-7+3x4V-6解得3(舍去);当3%74,即XV昔时，由(3%7)*4D)min(-3,-3)=3.(l)min(-3,-6)=：解不等式组.(吧；”)Vq；(mn(-2x1,3%-9)=3%-9(3)若关于X的不等式组产M6+2)=-2x+2恰好有三个整数解，则。的取值范围为.(mn(2x+3,+2)=+2【答案】(1)-6(2)-4x2(3)-1-6、以及min的定义即可得；(2)根据min的定义可得一个关于工的一元一次不等式组，解不等
19、式组即可得；(3)先根据min的定义可得一个关于工的一元一次不等式组，解不等式组可得等X2,再根据不等式组恰好有三个整数解可得-1V？0,由此即可得.【详解】(1)解：因为一3-6,所以min(-3,-6)=-6,故答案为：-6.解:v(.=q(.mn(-2x+l,3x-9)=3x-9(4一%-2x+13x-9*解不等式得：x-4,解不等式得：x2,则不等式组的解集为一4x2.(T)解.(min(6-4xt-Zx+2)=-2x+2(min(2x+3,+2)=+216-4%-2x+2,(2x+3a+2(2)解不等式得：x2,解不等式得：1,这个不等式组有解，二这个不等式组的解集为等x2,又关于的
20、不等式组miM6K义：R=一3+2恰好有三个整数解,(mm(2x+3,+2)=+2-10,2解得-IVq1,所以的取值范围为一1Q1.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解min的定义，正确得出不等式组是解题关键.【变式6-2(2023下江苏泰州八年级统考期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”.例如：方程-1=2的解为X=3,而不等式组：的解集为1V%V4,可以发现=3在1xAl22+l的“相伴方程”，求女的取值范围；-1若方程勿+4=。，等=T都是关于，的不等式组；祗=3的“相伴方程”,试求”的取值范围.【答案】(2
21、)-9k-3(3)-2xX-I2x+l1,得-1-1解得9k3.（3）解：解关于X的方程2%+4=0,得=-2.解关于%的方程等=-1,得=-1.（X+5m（T）（Xm2m3解不等式，得黑m-5.解不等式，得XVm-3.根据“相伴方程的定义，得:二1二:解得一2Vm3.【点睛】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键.【变式6-3(2023下湖北武汉八年级统考期末)定义运算：f(x,y)=ax+by,已知f(2,3)=7,f(3,4)=10.(1)直接写出：a=,b=；(2)若关于X的不等式组/弃1,2无解，求册取值范围；(
22、f2x,x-t)0(3)若f(mx+3n,2n-nx)3m+4九的解集为求不等式f(m%-m,3n-nx)m+n的解集.【答案】(1)2；1(2)t-20(3)y【分析】(I)根据定义的新运算人列出二元一次方程组，解方程组可求出Q,b的值；(2)根据(1)求出的,b的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出t的取值范围;(3)根据(1)求出的,b的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为(可得出m与九的数量关系;再根据,b的值和新运算列出一元一次不等式求解即可.【详解】(1)解：由题意得：(2a+3b=7l3+4b=10解得:信，故答案为：2；1；(2)把Q=2
23、,6=1代入f(x,y)=Q%+by得/(x,y)=2x+y,不等式组f(x+l,2-x)0可转价2(x+1)+2x0.f(2x,X-t)0t22x+x-t0解得:% -4 .x关于X的不等式组/(x+l,2-x)0-r.f(2xfx-t)0九解-4,解得：t20,t的取值范围是t-20;3)不等式/(mx+3nt2m-nx)3m+4n转化为2(mx+3n)+2m-nx3n4n,整理，得：(2m-h)xm-2n,f(mx+3n,2m-nx)3m+4r的解集为52nn0,解得：xm2nf2m-n.m-2n1=一,2m-n3.m=5n,，2X5n-n0,解得：n0,不等式f(m%-m,3n-nx)
24、n+n转化为2(mx-m)+3n-nxm+n,整理，得：(2m-n)x3n-2n,(2X5nn)x35n2n,9nx13n,“13-不等式f(mx-m,3n-nx)m+n的解集为X【点睛】木题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法.掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键.【题型7解绝对值不等式】【例7】(2023下河南鹤壁八年级统考期中)先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题.例：解绝对值方程：3H=1.解：分情况讨论：当x0时，原方程可化为3x=1,解得X=/当无4的解集为.【答案】（1）%=1;%=1或%=-2（2）x5或X4时，当1
25、一4时，分情况求出即可.【详解】（1）解：分情况讨论：当2x+10时，原方程可化为2%+1=3,解得=1；当2x+14时，解得：X5；当1一4时，解得：x5或3的解集的过程.对于绝对值不等式IHV3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3,所以IHV3的解集为-3VX-5-4T-2I012345图I对于绝对值不等式IH3,从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3,所以IH3的解集为X3.x3-1_*_A_*_i_i_6_*_1-54-3-2-1012345图2(1)绝对值不等式优I2的解集为.(2)求绝对值不等式以-3|2的解集.(3)已知绝对值不等式2x-1|。的解
26、集为bx2或V-2(2XC5或%1(3)9【分析】(I)根据题干提供的信息，结合绝对值的意义进行解答即可；(2)由绝对值的几何意义即可得出答案：(3)由2%-IlVQ知-aV2%-IV,据此得出芋2,x2或2或XV-2.2或-3一2,解得：X5或义1；(3)解：2X1,2x-1a解得当VXV等，解集为bx2,在数轴上找出以-1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为一1或3,所以方程优一1|=2的解为工=-1或%=3,因此不等式以一1|2的解集为X3.一心干-4-3-2-101234参考阅读材料，解答下列问题：（l）x-3=2的解为；（2）找出所有符合条件的整数”
27、,使得忧+3|+忱-2|=5,这样的整数是（3）不等式IX3x-27的解集为.【答案】（DX=5或=1（2）-3,-2,-1,0,L2（3）x3【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为X表示的数，从而求解：（2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到-3的距离之和为5点即为X表示的数，由此结合数轴求解即可；（3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到-3的距离之和大于7的的范围即可.【详解】解：优-3|=2,X3=2或%3=-2,x=5或X=1故答案为：X-5或X=1；（2）解：要使得优+3+x-2|=5,即：数轴上到2的距离与到-3的距离之和为5,数轴上一3和2之
28、间的距离恰好为5,-3x2,W为整数，x=-3,21,01,2,故答案为：-3,2,-1,01,2；（3）解：要使得x+3+忱-2|7,即：数轴上X到2的距离与到-3的距离之和大于7,首先在数轴上找出优+3+优一2|=7的解（如图），由（2）可知数轴上-3和2之间的距离恰好为5,要使得到2的距离与到-3的距离之和等于7,则=-4或%=3,x+3+x-2|7的解集为：x3,故答案为：3.【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键.【变式7-3（2023下重庆八年级期末）阅读下面材料：材料一：数轴上表示数的点与原点的距离叫
29、做数的绝对值，记作,数轴上表示数的点与表示数。的点的距离记作Ia-b,如氏+2表示数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离.材料二：绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等式田2的解集.小华同学的思路如下：根据绝对值的定义，当阳=2时，X=2,把-2和2在数轴上分别表示为点4B,如图所示，观察数轴发现，以点A,B为分界点把数轴分为三部分：ABJ11i1414111-5-4-3-2-1012345点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A,B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2因此，小华得出结论，绝对值不等式田2的解集为：2.参照小华的思路，解决下列
30、问题：（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.x1的解集是；KlV2的解集是；求绝对值不等式3优-l+410的整数解；(3)直接写出绝对值不等式x+2+x-35的解集是.【答案】(IKDx1；一2x2(2)整数解为X=-L0,1,2,3(3)x3【分析】(I)利用绝对值的意义解答即可得到答案；利用绝对值的意义解答即可得到答案；(2)根据不等式的性质化简得到%-12,由此得到-2x-l2,求出解集即可得到整数解;3时，分别解不等式即可.(0解：根据阅读材料可知：1的解集是X1；僮IV2的解集是一2V%V2.故答案为：XV-I或1；-2x2.(2)解：3x-l+410,3x-l6,-l2,-2X
31、-12,.,.-1X3,二整数解为=-1,0,1,2,3；(3)解：当为5移项、合并得-2%4,系数化为L5移项、合并得55,不成立；当文3时，不等式为X+2+x-35,移项、合并得2x6,系数化为1,得之3.故不等式的解集是33,故答案为V-2或%3.【点睛】此题考查了解绝对值不等式，理解绝对值的意义，正确解一元一次不等式，解题的关键是理解阅读材料掌握解题的思路及方法.【题型8方程与不等式（组）的实际应用】【例8】（2023下福建厦门八年级统考期末）根据国家医保局数据显示，近5年来医保药品目录累计新增了618种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品.某药企在2021年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为275元/盒，售价是其成本的6倍.2022年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的
