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1、第25讲简单的三角恒等变换思维导图题型1:三角函数式的化简考向1：给角求值简单的三角恒等变换题型2：三角函数式的求值Q考向2:给值求值考向3:给值求角题型3:三角恒等变换与三角困数的综合应用知识梳理题型归纳题型1三角函数式的化简CtCt【例11】(2020春临渭区期末)已知(0,),化简:(1+sina+cosa)(cos-sin-)2+2cosor【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果.,1xza.a.a。21。、(1+sncosa(cossin)(1+2sn-cos+2cosl)(cossin)【解答】解：(0,-),.22_=222222+
2、2cosL,八J2+2(2cosy-l)Ca.aa、a.ax_a2cos(sin+cos)(cossin)2coscosa_22222_2_coa2cos-12cos-22故答案为：cosa.【跟踪训练1-1】(2019秋淮安期末)设工效於则1+Sin2x+1-Sin2x=()42A.2sinXB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx【分析】由Jl+Sin2x+71-sin2x=J(SinX+8SX)?+/(sinx-cosx)2,然后结合己知角的范围进行化简即可.【解答】解：J42则l+sin2xJI-Sin2x=J(Sinx+cosx)2+J(Sinx-cosx)2，=sinx+co
3、sx+sinx-cosx=2sinx.故选：A.【跟踪训练12】(2019秋徐州期末)若。为第四象限角，则JE逅-JE国可以化简为()V1+sinaVl-Sina222A.B.C.D.2tanaSinaCoSaIana【分析】由a为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解.【解答】解：。为第四象限角，Il -sina Jl + sina _ I(I-Sina)2(1 + sina)2 _ 1 - sinaVI + sin a YI-Sina y I - sin2 aV 1 - sin2 acos a故选：O【名师指导】I + sin a _ _2sin asin 21 - cos
4、 a故答案为：-2.【例2-3】（2020春天心区校级月考）若为锐角，且（4cos50。-tan40。）tana = 1,则a =（）A. 60oB. 50oC. 40oD. 30o【分析】先利用三角函数公式化简4cos50。1皿40。=如，则tana =正，从而求II； Q的值. 3【解答】解：4cos500-tan400 =4sin40o-tan40o4sin40cos400-sin400 2sin80 sin(300 + 10。) 2 cos 10。一;COSlo。一争n 10。cos 40ocos 40ocos 403/32csl0-sinl0 zcos(3010) R=3= 3 ，c
5、os40ocos40o13. tan a =-= 33又为锐角,. = 30,故选：D.CCql 00【跟踪训练2-1】(2020春雨花区校级月考)-4sl0o = ()sin 10A. 1B. 2C. 3D. 2【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值.【解答】解：原式=cosl00-2sin200SinlOocos 100 - 2sin(30o-10)SinlOoGsin 10。；6SinlOo故选：C.【跟踪训练2-2】（2020春开江县校级月考）化简：CS25。-S加25。的结果为sin40osin50【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解.斛答解.csl5
6、一s?5_CoS10_CoSl0。_sin80sin4Osin50-Sin40c。S40。-Lin80。-Lin80。22故答案为：2.【跟踪训练2-3】（2020春驻马店期末）化简求值:/I、sin70+sin80cosl50（1）；cos70-sin80sinl50(II)4cos700tan200.【分析】(I)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解;(Il)利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解.【解答】解：(I)3sin70+sin8ocos15sin(150-80)+sin80cos!50sin150cos80.tan45o-tan30o3c/T=tan(45-30)=i-三=2-
7、3cos70-sin80sinl50cos(i5o-8o)-sin8osin15ocos150cos8o1+tan45otan30oJJI+-l-33_o3(I)4cos700cos200+sin2002sin40o+sin20o2cos500+sin(500-300)亏sm50+cos50sin(50o+60o)v11,4cos70o+tan200=-a . a cos+ sin 22 二a . a cossin 22cos20ocos20ocos20ocos20ocos20【跟踪训练24】(2020金凤区校级模拟)若sin(4+a)=,是第三象限角，则a.aadcos+sin-.【分析】根
8、据题意可得Sina=-士，cosa=-,再化简一Z1二上里4,代值计算即可.55。cosaa.a/.a.cos+sin(cos+sin).【解答】解:22=22J+sns-sin(cos-sin)(cossin)cosa2222223,.sin(乃+cr)=-sin=-,3.Slna=一一5.为第三象限角，4 l+sina1.,.cosa=，/.=5 cosa2故答案为：2【跟踪训练2-5】(2019秋辽源期末)已知Sina是方程5-7x-6=0的根，则sin(-)sin(-cr)tan2(2-d)22=cos(-)cos(y+)cos(-a)【分析】解一元二次方程求得Sina的值，在老鹰利用
9、诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的一角函数式，可得结果.【解答】解：,sincr是方程5x2-7x-6=0的根，.sinQ=-不,33sin(-)sin(-)tan2(2-a),2.22cosa(-cosa)tana11=1=-一=-cos(-)cos(a)cosg-)sin(sin荻。)CoSal-sin2a故答案为：士*.4【跟踪训I练2-6】（2020春辽宁期中）已知一工vxv,sinx+cosx=-.25（1）求SinX-8sx的值；（2）求地型且2的值.1-tanX【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得SinX-CoSX=-J（SinX-CoS魂的值.（2）由
10、题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果.【解答】解：（1） ,己知一工xsinx,2SinX+cosx =一，平方可得 1 + 2SinCOSX=一，-居二.2sincos%=-25sinX-cosX=-J(SinX-CoSX)2=-71-2sinxcosx=_24Isin2x+2sin2x_2sinxcosx+2sin2x_2sinxcosx(cosx+sinx)_255_241-tanx1-tanxcosx-sinxL1755【跟踪训练2-7】（2020石家庄模拟）若CoSa（I+6IanI0。）=1,则的一个可能值为（）A.70oB.50oC.40oD.1
11、0【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简LI知等式可得COSa=8s40o,比较各个选项即可得解.【解答】解：,.cos(l+73tanI0o)=1,.cosa =l + 3tanl()COSI0。cosl0o+3sinl()cosl0o2sin40osin80。2sin40o=s40o，的个可能值为40.故选：C.【跟踪训练2-8(2020春浦东新区校级期中)已知角,夕W(OW)，3sin/=sin(2+0,4tan=I-tan2,则+/?=.【分析】从4ta吟=l-tan费.中解出tana,利用配角法化简3sin=sin(2a+/),即将其中的2a+用(a+p)+a,万用(a+夕)-a代换
12、，从而求出tan(a+Q),利用三角函数值求解得+夕的值.【解答】解：,4tan0=l-ta112区,22.2tana=ltan=.2,3sin=sin(2a+),.3sin=sin(+)s+cos(+)sina.3sin(+p)cos-3cos(+)sina=sin(6z+)cosa+cos(+)sina./.sin(+)cosa=2cos(+)sina./.tan(+0=2tan=1.又2(0,为，4C.e.iz+y?=故答案为：-.4【跟踪训练2-9】(2020春利通区校级期末)已知sin(%-)=三生巨,cos(-/?)=,0a-.7142(1)求sin(+马的值；3(2)求角夕的大小
13、.【分析】(D直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果.(2)利用三角函数的角的变换的应用求出结果.【解答】解：(1)已知sin(万一0)=sin=生巨，7由于0口3故sn(+)=SInacos+cosasin=-+-=.333727214(2)Qa/所以0-夕,13由于cos(a-/?)=,所以sin(-)=也，14I34/33/3I故：cos=cos-(-)=scos(0一/)+sinsin(-9)=y-+-X.由于所以=5.【名师指导】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正、余弦函数值，则选正弦
14、或余弦函数，若角的范围是(0,3，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0,),则选余弦较好：若角的范围为(一去。则选正弦较好.题型3三角恒等变换与三角函数的综合应用【例3-1】(2020春田家庵区校级期末)已知A3C中，sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.无法确定【分析】利用和角与差角的三角函数公式化简，进而分类讨论即可判断AAC的形状.【解答】解:因为Sin(B+A)+sin(8-A)=sin2A,.sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cossinA=2sinAcosA，可得：SinB
15、CoSA=SinACoSA，当8SA=O时，A=-,ABC为直角三角形，2当8sA0时，得sin8=sinA,由正弦定理得=b,所以ABC是等腰或直角三角形.故选：C【例3-2】(2020春常熟市期中)已知函数r)=Sin(2x-0)+cos(2x-令+2cos2-l.(1)求函数/(x)的最小正周期；(2)若且=，求cos20,那么ABC的形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【分析】结合A+B+C=万和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为一2cos8cosA0,即COSBCOSAV0,又A,B(0,),所以8sB与COSA一正一负，故而得解.【解答】解：,AB
16、+C=,/.cos(2B+C)+cosC=cosB+(乃一A)+cos-(B+A)=-cos(B-A)-COS(B+A)=coscosAsinsinA-cosBcosA+sinBsinA=-2cosBcosA0.cosBcosA2.1=sm(2x)+242,f(x)=sin(2x-？+gxo,g,3兀2x，J，444当2、-生=-工，即X=O时，/(x)有最小值0.当21-巳=工时，/(x)有最大值与44422/(x)值域：0,与1L(2)f(a)=y-sin(2)+=|得sin(2-)=,43e0,.32a-7el7,Tb又OVSin(2。一代)=也也,432得cos(2-为=4/.sinIa=sin(2-+-)44=-sin(2-)+cos(2-?)2+14一6.,.sin2的值2+6【名师指导】解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤第一步：将Ax)化为asinx+bcosx的形式；第二步：构造TW=必方(5sinx+6%cos);第三步：和角公式逆用，得凡。=，PSin(X+p)(其中3为辅助角);第四步：利用f(x)=?TPSina+伊)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
