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1、思维导图第27讲解三角形应用举例(讲)解三角形应用举例g考向1：测量距离问题题型1：解三角形的实际应用ef考向2：测量高度问题I考向3:测量角度问题题型2:正、余弦定理在平面几何中的应用题型3:解三角形与三角函数的综合问题常见误区搞错仰角、俯角的概念致误搞错方位角的概念致误知识梳理I.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).3 .方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东,即由指北方向顺时针旋转，到达目标方向(如图).(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目
2、标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.4 .坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角。为坡角).(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).坡度又称为坡比.题型归纳题型I解三角形的实际应用【例1-1（2020春鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=80,ZAQB
3、=I35。，NBDC=NDcA=I5。,NAC8=120。，则A,B两点的距离为（）A.803B.80C.160D.8O5【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出切的值，A8中利用等角对等边求出AD的值,再在ABD中由余弦定理求出AB的值.【解答】解：如图所示:DMCr)LII,8=80,NBDC=I5，ZecD=ZACB+NDCA=1200+15。=135。，/.ZCBD=30,由正弦定理，得BD解得BD=80,sin135osin30oACD中，8=80,ZDCA=15,ZADC=ZADB+ZBZX?=135o+15=150,AZCAD=15o,.AD=)=80,ABD,由余弦定理，A
4、B2=AD2+BD2-2AD.BDcosZADB=802+(802)2-280802cos135o=8025,.AB=8O5,即A，6两点间的距离为80百，故选：D.【例1-2（2020春威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据8C=12m,B处的仰角60。，C处的仰角45。，cosZBAC=,N8OC=30o中选8取合适的，计算出旗杆的高度为（）A.103B.12mC.122nD.123n【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出。和OC的长，进一步利用余弦定理的应用求出。4的长【解答】解：选如图所示：则NABO=60。，NACO=45。，设a=x,则
5、以=OC=X,OB=.3在ABOC中，利用余弦定理：BC2=122=x2+-2xJ=亚,32整理得：X = I2/，即OA = I23故选：D.【例1-3（2019秋黄山期末）新安江某段南北两岸平行，艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为片=8妨力，水流的速度的大小为匕=4如2/力，设匕和匕的夹角为，（0。6=（）A+BG22cd4【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得O=丝，从而可得答案.3【解答】解：依题意，作图如下，设由A到B航行的时间为，则IACI=4/,IAZ)I=I8C=8f,Af1在直角三角形ABC中，SinZABC=-=-,8/2所以
6、NABC=X,6所以6=匹+C=生，263所以COSe=-L2【跟踪训练1-1X2020春湖北期末)为了测量河对岸两地A、8之间的距离,先在河这岸选择一条基线8,测得Cf=米，再测得NAa)=90o,ZBCD=30。，NAZ)C=45。，NQM=IO5。，据此计算A、8两地之间的距离是()A.-JuB.aC.(3+)aD.3a2【分析】先在直角三角Aa)中，求出4),然后在三角形BeD中，利用正弦定理求出5D,最后利用三角形AB短中，利用余弦定理求出/W的值.【解答】解：由已知，在三角形AC。中，CD=a米,ZACD=90o,ZADC=45o,:.AD=-Jia.又在三角形58中，CD=米，N
7、Ba)二30。，NCDB=Io5。，/.ZB=45o,r1-114-tirHi4HCDBD0aBDJ由正弦定理得=,即=,ABD=-a.sinSinZBCDsin45osin30o2所以在AD8中，ZADB=105-45=60.AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos6O0=2a2+-a2-242a-a-a2,2222.AB=a.2故选：B.【跟踪训练1-2】（2020春德州期末）如图所示,为了测量山高MN,选择A和另座山的山顶C作为测量基点，从4点测得Af点的仰角N4N=60o,C点的仰角NeAB=45。，ZMAC=75,从C点测得NMCA=60。.已知山高3C=500m,则山高MN（单位
8、：m）为（）A.750B.7503C.850D.85O3【分析】利用直角三角形求出AC,由正弦定理求出A再利用直角三角形求出MN的值.【解答】解：在RtABC中，NCAB=45。，8C=5006，所以Ae=500万；在AC中，ZMAC=75。，ZC4=60o,从而ZAMC=45。,由正弦定理得，sin45osin60o因此4M=5002X壬=500鬲；2V在RtMNA中，AM=5OO3,NMAN=60。，.MN.由=Sin60,AMJTMN=5003=750/?/.2【跟踪训练1-3】（2020春萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患,民不聊生.迷信使然，建塔以
9、辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶8的仰角为60。，在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高CD为36米,A.(36近一36)米B.(36有一36)米C.(36*-36)米D.(72J-36)米【分析】根据题意结合图形，利用：角形的边角关系，即可求出塔高BC的值.A【解答】解:在RtACD中，NCAo=45。，CD=36,所以AD=36;在RlABD中，ZBAD=60o.所以3=ADtanNBAO=36J,所以8C=8O-CD=36J-36,
10、即塔高BC为(36J-36)米.故选：B.【跟踪训练1-4】(2020全国11卷模拟)公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45。，行走80米到点B处，测得仰角为30。，再行走80米到点C处，测得仰角为6.则tan6=.【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用cosNE48=AE?+BE?=AE?+一氏?.EC,2AE.AB2AEC即可求出结论.【解答】解：如图：OE_L面ACE,ZEAD=45。，ZfBD=30o;由题可得：AE=Z)E=60：AB=BC=SO;EB =DEtan 30= 603 ：cosZE4B =A 炉
11、 + 6 -2AE.AB2AE.AC6()2 + 8()2-(60后2 60 80堂黑尹2折Iane =377 77故答案为：也【名师指导】L测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2 .高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3 .测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在
12、弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.题型2正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1(2020春垫江县校级期末)如图,在平面四边形ABc力中，A8的面积为J,AB=2,BC=3-1,ZABC=I20。，ZBCD=135o,ZACD=，AD=【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果.【解答】解：连接AC,如图所示:在A8C中，由于AB=2,BC=67,NABC=I20。,利用余弦定理：AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cosZABC，解得AC=y6,所以 Co
13、SNBCA =AC2+BC2-AB22.AC.BC所以NeCA=45。.由于NBS=135。，所以NACD=90.已知A8的面积为LJJrtt-AC.CD=3,解得CZ）=.2进一步利用勾股定理的应用：D2=AC2+CD2,解得AO=2故答案为：90o.22【例22】（2020春天河区期末）如图，在四边形ABa）中，ZD=2，且4）=2,8=6,COSB=3.3（1）求ACf）的面积；（2）若8C=6,求A8的长.AD【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求A8的面积;（2）利用余弦定理求出AC,通过Be的值利用余弦定理求解AB的长.【解答】解：（1）, cos B =，0 B
14、J23【跟踪训练2-1】（2019秋珠海期末）如图，在ABC中，ZB=45o,AC=8,。是BC边上一点，DC=5,C. 8D. 46【分析】先根据余弦定理求出NC度数，最后根据正弦【解答】解：在ADC中，4)=7,AC=8,Z)C=5,由余弦定理得cos C =AC2+ DC2 -AD22 AC. DC82 +52 -72 1285 2 因为是三角形内角,.NC=60,在AC中，AC=8,ZB=45,ZC=60o,.7+mACABzAaSinC,/-由止弦定理=得：AB=46.sinBsinCsinB故选：D.【跟踪训练22】（2020漳州模拟）如图，在ABC中，。是边AC上的点，且A=4）
15、,2AB=bBD,BC=IBD则SinC的值为（）BA.在B.更C.是D.包3636【分析】设即=,则由题意可得：BC=2a,AB=AD=a.利用余弦定理表示出COSA,把：边长代2入求出COSA的值，进而确定出SinA的值，由AB,BC,以及SinA的值，利用正弦定理求出SinC的值即可.【解答】解：设3）=。，则由题意可得：BC=2aAB=AD=a,2,2-a2在ABD中，由余弦定理得：COSA=处-=占=7，2ABtAD2Waq3.sinA=l-COS1A=3Ba在ABC中，山正弦定理得，,即仁二二sinCsinAsinC22丁解得：SinC=6故选：D.【跟踪训练2-3】(2020春泰
16、州期末)如图，在AABC中，角C的平分线交AB于。，且8=AD.若AC=3,8C=2,则AB=.【分析】不妨令ZA=,易知ZACD=BCD=a,NB=万-%,然后在ABC中，利用正弦定理，求出Sin,COSa的值，最后在A8C中，利用正弦定理，可求出AB的值.【解答】解：在ABC中，角C的平分线交AB于。，且CD=Ar).设NA=,则NAa)=8CE=,NB=4一,ACBC111132/.=,即=,sinZ.BsinZAsin(-30)Sina整理得2sin32sin(x+-).4(I)由函数/(x+J)是偶函数，得/(-x+6)=(x+6),即2sin(+-x)=2sin(+-x)44A6+
17、-x=6+-+2-.keZ(舍)44.+-x+-+x=+2kZZ恒成立.44即+2乃(kZ),4-.%,；44(II)由/(乙+4)=,W,sin(-+)=cos-=?42242422HrlA+即cos=，220A.0-,得A=乙，即A=C.22263由余弦定理可得：a2=4=b2+c2-2bcos-=b2+c2-be,3:.4=b2+c2-bc.2bc-bcbc(当且仅当b=c时取等号),即占G4.MBC的面积S=-Z?c.sin-3.23即ABC的面积的最大值为3.【跟踪训练3.1】(2020遂宁模拟)已知向量=(sins,JJ+Jsinx),向量。=(2cos0x,&sins,-1),O
18、,sin8=2sinA,锐角C满足y+C)=,4求的值.【分析】(1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合函数的对称性周期性，求解函数的解析式.利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可.(2)利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可.【解答】解：(I)f(x)=ab=sin2x-j3cos2x=2sin(2x-.直线X=葛是函数/)图象的条对称轴，.2期。-2=乃+，ZZ,3ZI1.t=-+,keZ,(0,1),.k=0i=522/(x)=2sin(x-y).由2乃一石殁Ik一工2k+得2%T乙领k2k+%Z23266.单调递增区间为U-X,2M+2,keZ.66(2)由/(+C)=,2sin(C-y)=2,即Sin(C-念=乎，因为。为锐角，所以一3C-C11Pa2+h2-ab=3.3由解得从一/=3.【名师指导】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤转化正确分析题意,提标相美等太,ffl角关系合理地将问题转化为三角曲数的问题0用定理、公式、性质利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角关系的互化0得结论利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论、三角函数的基木性质等
