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1、第41讲直线,平面垂直的判定与性质(讲)思维导图考向1：证明线面垂直题型1:线面垂直的判定与性质/-(考向2:证明线线垂直直线、平面垂直的判定与性质题型2:面面垂直的判定与性质题型3:垂直关系中的探索性问题忽略线面垂直的条件致误常见误区/忽视平面到空间的变化致误知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线/与平面内的任意一条宜线都垂直，就说直线/与平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直z三I三7a,bua、ab=O?=/_Lalalb,性质定理垂直于同一个平面的两条直线
2、平行匚-7a_La|=abb.La2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直nb性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直ba邛、IUpaC=aIVaJ题型归纳题型1线面垂直的判定与性质【例1-1(2019秋合肥期末)如图，正方体A3CD-A4GA中,(1)求证：ACj_力用；(2)求证：Oq_L平面ACA.（分析】（1）连结8。、用A,推导出OAJ_AC,AC_L8。，从而ACL平面DBBlDl,由此能证明AC1DB1.（2）由ACJ.用，得Oq_LAC,同理可得。与J.AR,由此有证明DBl_L
3、平面AeR.【解答】证明：（1）连结BQ、BR,DDi1平面ABCD,4Cu平面ABCD,.DDiAC,又ACJ_80,BDDD1=D,BD、u平面O58Q,.ACJ平面OABQ,又。片U平面OBBa,.ACDBT.（2）由AC_Lq,即LAC,同理可得_LA,又AAAC=A,AD1,ACU平面ACA,.DB!平面ACD1.【例1-2】(2020新课标In)如图，在长方体ABa)-A缺GA中，点E,产分别在棱。仅，BBl上,且2DE=EQ,BF=2FB.证明：(1)当Ae=BC时，EFlAC;(2)点G在平面AE厂内.【分析】(1)因为ABC。-A4GA是长方体,且AB=BC,可得ACJ平面B
4、BRD,因为EFU平面BBnD,所以F_LAC.(2)取例上靠近A的三等分点M,连接DM，C1F,MF.根据一知条件可得四边形AEnM为平行四边形，得RM/AE,再推得四边形GRM尸为平行四边形，所以AMG产，根据直线平行的性质可得AEHCxF,所以A,E,F,C四点共面，即点G在平面97内.【解答】解：(1)因为ABC。一A4GA是长方体，所以BBJ平面ABeD,而ACU平面A88,所以因为ABCD-AtBe自是长方体,且AB=BC，所以ABa)是正方形，所以ACd.80,又BDQBBLB.所以4C_L平面BqAr,又因为点E,尸分别在楂。A,BBl上,所以比u平面BBQQ,所以E尸_LAC
5、.(2)取AAI上靠近AI的三等分点M,连接AV,CiF,MF.因为点E在DDl,旦2。石=7%所以EDA,RED=AM,所以四边形AEAM为平行四边形，所以RM/AE,且AM=A石，又因为尸在上，且3=2Fg,所以A/五4，且AM=五4，所以ASLM为平行四边形，所以FM=AiBl,即尸M/CQ,FM=C1D1,所以GAM产为平行四边形，所以/C/,所以AEC尸，所以A,E,F,C四点共面.所以点G在平面AEF内.【跟踪训练1-1】（2019梅州二模）如图，正方形Aece）所在平面与三角形C。石所在平面相交于CD,AEl平面CDE.（1）求证：平面ADE（2）当A=ED,且该多面体的体积为述
6、时，求该多面体的表面积.3【分析】（1）由已知利用线面垂直的性质可知AE_LCO,由46/CO,可求A8_LA,利用线面垂直的判断定理可证ABl.平面ADE.（2）在AED中，经E点作EFj_A。交AD于点/，设E4=EZ=x,则AB=Jr,EF=-x,由多面2体的体积可求X的值，进而可求AE=ED=2,AB=22,EF=曰由CDJ_ED,利用勾股定理可求DE=26,由AEJ利用勾股定理可求BE的值，根据三角形的面积公式，正方形的面积公式即可计算得解该多面体的表面积的值.【解答】解：（1）证明：，.AE_L平面CD七，COu平面CD石，:.AE.LCD.正方形ABcD中，AB/CD,.ABAE
7、,又一正方形A88中，ABLAD,AE(AD=A,.ABJ,平面DE.(2)在AED中，经E点作EFJ_AD交AD亍点F,.由(1)可知ABJ_平面ADE,EFU平面ADE，.ABEF,ABAD=A,.所平面438,设EA=EO=X,则A8=r,EF=-x,2,多面体的体积为=；XS正方形AM。XE尸=g(%)2x,解得：X=2,.AE=ED=2,AIi=242,EF=-Jl,CDVAD.CDA.AEAonA=A,可得：Cf)J_平面皿,又aU平面AD,可得CD工ED,.可得：DE=JcD2+ED2=2j3,又AEJ.A8,可得：E=yAB2+AE2=2y3:.S诋E=*CJce2-WBC)2
8、=；X2应X12-2=25,.该多面体的表面积S=SABCE+S正方JKAeCO+Sacm+SMH)+SAAEB=2y+S+-2yj22+-22+-2y22=10+4y2+2y【跟踪训练1-2（2019秋新余期末）如图四棱锥P-A8CD,尸。_L平面AB8,四边形ABco是矩形,点F为侧棱总的中点，过。、D、尸三点的平面交侧棱QA于点E.(1)求证：点E为侧棱E的中点；(2)若PD=AD,求证：PAA.CF.【分析】(1)推导出ACD.AB平面。)户.从而AB/EF.由此能证明点E为侧棱RA的中点.(2)推导出DE1.PA.PD_L8,且,从而C。_1_平面皿,进而CDI.EA.从而平面CoE
9、F，由此能证明RI_Le尸.【解答】证明：(1)四边形ABCD是矩形，.ABCD且8U平面8七户，平面.AB/CDEF.又ABu平面FAB,平面8C平面CDfF=E产，.ABEF.而点尸为侧棱尸8的中点，.点E为侧棱BA的中点.(2)PD=AD,且点E为侧棱PA的中点，.DELPA.又Poj_平面ABa),.PD工CD,且Ao_LCZ),故C)_L平面AW,.CDPA.J平面8EF,.PALCF.【名师指导】证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为:题型2面面垂直的判定与性质【例2-1】（2020新课标I）如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底
10、面的圆心，ABC是底面的内接正三角形,P为OO上一点，NAPC=90.（1）证明：平面小B_L平面C;（2）设Do=圆锥的侧面积为技，求三棱锥尸-AAC的体积.D【分析】（1）首先利用三角形的全等的应用求出AP_L3P,CP工BP,进一步求出二面角的平面角为直角,进步求出结论.（2）利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果.【解答】解：（1）连接04,OB,OC,ABC是底面的内接正三角形，所以AB=BC=ACO是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC,所以AP=BP=CP=Q42+O尸=9+。尸=OC2+OP2,所以AA尸8二BPC二APC,由于NAPC=90。，所
11、以NAPB=NRPC=90。,所以APj_8尸，CP工BP，由于APCP=P,所以BP，平面APC,由于BPU平面BAB,所以：平面EAB_L平面RAC.(2)设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为/,所以=2+/.由于圆锥的侧面积为、&,所以；r.2+/=&,整理得(/+3)(/-1)=0,解得r=l.所以AB=1+1-211(-)=3.由于AP2+Bp2=A2,解得AP=F【例22】(2020江苏)在三棱柱ABC-AKG中，BACf4。_1_平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证：所/平面AB；(2)求证：平面AqC_L平面45片.B【分析】(1)证明EFA号，然后利用直线与平
12、面平行的判断定理证明EF7/平面ABC；(2)证明gC_LA6,结合ABJ.AC,证明ABj_平面A3C，然后证明平面AgC_L平面48片.【解答】证明：(1)E,F分别是AC,耳。的中点.所以EF/AB,因为砂C平面A&G，ABlU平面A8C,所以EF7/平面AB；(2)因为qC_L平面ABC,ABU平面ABg,所以与C_LA8,又因为AB_LAC,AC,C=C,ACU平面ABC,BCU平面A40,所以AB_L平面ABC,因为ABU平面AAq,所以平面4gC_L平面.【跟踪训练2-1】(2019新课标In)图1是由矩形ADE8,RtABC和菱形GC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF
13、=2,NFBC=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACG。的面积.【分析】(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理,即可得证；(2)连接BG，AG，由线面垂立的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值.【解答】解：(1)证明：由己知可得AD8E,CGBE,即有AO/CG,则AOCG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面；由四边形ABED为矩形，可得ASI.BE,由ABC为直角三角形，可得A
14、Bj_BC,又BCBE=B,可得ABj_平面5CGE,ABU平面ABC,可得平面ABC_L平面BCGE:(2)连接BGAG,由ABj平面BCGE,可得AB_L5G，在BCG中，BC=CG=2,NBCG=I20。,可得BG=28Csin60。=25,可得AG=4B2BG2=B,在ACG中，C=5,CG=2,G=13.4+5-1312可得CoSZACG=二二一右，即有SinZACG=吃，22555【跟踪训练2-2】(2020春木溪县期末)在矩形ABa)中，AB=2AD=,E是AB的中点，沿。石将ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCOE.(1)若平面PZ)Ej.平面Ba陀，求四棱锥尸-Ba陀的体
15、积;(2)若PB=PC,求证：平面P/)E_L平面8C7E.【分析】(1)取OE的中点M,连接QM,易知RW_LD,由面面垂直的性质可得?M_L平面BCOE，即PAf为四棱锥尸-BeM:的岛，求得PM的长和梯形BCDE的面积后，再根据棱锥的体积公式即可得解.(2)取4C的中点N,连接/W、MN,则BCd.MN,BCA-PN,由线面垂百的判定定理可推出ACJ_平面RVW,从而得8C_LRW,由(1)知，JPM_LOE,再结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证.【解答】解：(1)如图所示，取DE的中点M,连接PM,由题意知，PD=PE,:.PM工DE,又平面尸。EJ_平面5CfE平面P
16、DEC平面BCDE=DE,PMu平面PDE,.RW_1_平面BC0E，即尸M为四棱锥P-BCD七的高.在等腰RtPDE中，PE=PD=AD=2,1.PM=；DE=母,而梯形BCr)E的面积S=L(8E+CO)8C=!x(2+4)x2=6,22.四棱锥尸一Ba)石的体积V=LpMS=xJx6=20.33(2)取BC的中点N,连接/W、MN,则BCJ_MN,PB=PC，.BCA-PN,MNPPN=N,MN、PNU平面PMN,8C_L平面PMV,PMU平面PMN,.BCLPM,由(1)知，PMIDE,又BC、DEU平面BcD上，且8C与DE是相交的，.PM,平面Bcc七,PMU平面PDE,.平面PD
17、El.平面BCDE.【名师指导】1 .面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理（a_LQ,aa）.（2）1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2 .面面垂直性质的应用（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.题型3垂直关系中的探索性问题【例3-1】（2020红河州二模）在四棱锥P-AeCf）中，侧面E4D是等边三角形，且平面平面ABCD,AD=2AB=2
18、BC,ZfiAD=ZABC=90o.（1）4）上是否存在一点M,使得平面PCNJ_平面ABCO;若存在，请证明，若不存在，请说明理由；（2）若P8的面积为87,求四棱锥P-ABC。的体积.【分析】（1）当M为4）的中点时，使得平面PCM_L平面AHCO.运用面面垂直的性质定理和判定定理,即可得证；（2）设AB=,运用三角形的勾股定理和线面垂直的性质，可得=4,求得AW和四边形ABa）的面积，由棱锥的体积公式可得所求.【解答】解：（1）当例为4）的中点时，使得平面PCM_L平面A48证明：由Z）是等边三角形，可得用0_LA。，而平面B4O_L平面AeCZ），A为平面小。和平面ABC。的交线，可得
19、HWJ_平面ABCO，又RWU平面/WC，可得平面PCMJ_平面AeC：（2）设AB=a,可得BC=i,AD=2a,连接MC,可得MC=AB=ME=,则CD=,PD=Ia,由PM_LMC,可得尸C=+MC2=J3+/=2,而PC。的面积为；显出一;=争2=8,可得=4,四棱锥PABS的体积为V=gs四边的PM=gg(4+8)44/=32.【例32】(2019秋新余期末)如图，AC是半圆。的直径，AC=K),B为圆周上一点，BE_L平面AfiC,BC/DE,BE=3BC,DE=2BC,CD=10.(1)求证：平面AEBJ_平面曲)；(2)在线段AD上是否存在点M,且使得CM_L平面A0?若存在，
20、求出点M的位置；若不存在，请说明理由.【分析】(1)推导出3E_L8C,ABA.BC,从而BCJ_平面其所，进而OE，平面AEB,由此能证明平面AEB_L平面AED(2)设BC=X,则BE=3x,DE=2x,CD=ix.由Co=加，得到K=1.AB=2AC2-BC2=3=BE.他中点N,连接BN、MN、BM、CM.BNIAE.从而平面AESj_平面AED,凯工平面AEC.四边形BCMV为平行四边形，由此能证明CMl,平面AEZ).【解答】解：(I)证明：应:L平面ABC，.8ELBC.又5为圆周上一点，且AC是半圆。的H泳，.ABJ8C.BC，平面AEB.又BCllDE,.OE,平面AB,且。
21、石U平面AD,.平面AEB-L平面AED.(2)解：点M为线段AD中点，证明如下：设BC=%,则8E=3x,DE=Ix,:.CD=y(DE-BC)2+BE2=K)x.又CD=回,=l.AB=2AC2-BC2=3=BE.取AE中点N,连接8N、MN、BM、CM.BN上AE.又由(I)可知平面AEeJ_平面A0,故BNJ平面AEc.又MNWLDE,BCULDE,WMNIIBC,=2=2即四边形BewV为平行四边形，:.BN/CM,.CM_L平面AD.【跟踪训练3-1】(2020春东城区期末)在正方体AHCD-A4GA中，E,尸分别为AB和。R的中点.(I)求证：EF/平面BCn；（三）在棱GD上是
22、否存在一点M,使得平面_L平面8CR?若存在，求出瑞的值；若不存在,请说明理由.【分析】(I)取RC的中点G,连接户G,GB,运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；(11)在棱GA上假设存在一点M,使得平面MMJ_平面BeA,取M为CQl的中点，连接DG,FM,EM,由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.【解答】解：(I)取。C的中点G,连接尸G,GB,因为产为OR的中点，所以尸G/0G,且FG=JOC,2在正方体A38-A4CA中，因为E为AB的中点，所以E3Z)C,且E8=a8=!OC,所以尸Gf,FG=EB,22可得四边形E8G
23、/为平行四边形，所以EF/GB,又因为E尸平面BCA,GBU平面BCR,则石尸平面BeR；(II)在棱GA上假设存在一点M,使得平面，平面BCDi,取M为CQl的中点，连接。G，FM,EM,因为产为OA的中点，所以FM/Dg,因为DGl.C,可得fMJ,DC,因为BCJ平面AoCG,RWU平面AOCG,所以BC_LfM,因为BCU平面BCR,ACU平面BC，BCD1C=C,所以EW_L平面BCA,因为BVfU平面所以平面MMj_平面BCQ,【跟踪训I练3-2】（2020黄山二模）如图，在四棱锥尸一ABc中，P4_L平面ABC。，PA=AB=BC=退,AD=CD=tNADC=I20,点M是AC与
24、皮）的交点，点N在线段尸8上，且PN=LP8.4（1）证明：MN/平面PDC；（2）在线段BC上是否存在一点Q,使得平面MAQJ_平面。4。，若存在，求出点。的位置；若不存在,说明理由.【分析】（1）首先推得ACJ_8。，且M为AC的中点，分别求得BM,DM,再由平行线分线段成比例的逆定理可得的V/PO,再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）过M作MEJ垂足为E,延长EM交BC于Q,连接NQ,NE,结合线面垂直的判定和性质可得EQ_L平面。，EQu5TOfMNQ,可得平面WNQL平面皿），再由正弦定理计算可得仅2,即可判定存在性.【解答】解：（1）证明：在四边形ABCf）中，由48=8C=5
25、,AD=CD=I,可得ABf）二2C8Z）,可得AC_L8。，且M为AC的中点,由AD=CD=1,ZADC=I20,可得DM=Cz)COS60。=l，AC=2CDsin60o=3,2则BM=Xy/3=,22.DMPN1-rz,r,Ih=-可得MN/PD,BMBN3而MNU平面尸CQ,PZ）U平面Pa）,可得MV/平面尸DC；(2)过“作ME_L4),垂足为E,延长EM交BC连接NQ,NE,由出上平面ABa),ETffiABCD,可得EAJ_EQ,又EQJ_AO,可得EQJ_平面PAD,EQU平面MNQ,可得平面MNQ_L平面RlD,故存在这样的点Q.在直角DME中，ZfiWD=90o-60o=
26、30o.可得在BQM中，NQBM=NBMQ=300,NBQM=I20。,BQBMsm30osinl20o可得BQ =墨=当即。为BC的中点,则。为BC的中点时，平面MNQ，平面。4.【跟踪训练3-3】(2019秋西湖区校级期末)如图所示，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABa)是小W=60。且边长为。的菱形，侧面小。为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCO,若G为AD的中点，石为BC的中点.(1)求证：BG/平面PDE；(2)求证：AD工PB；(3)在棱尸。上是否存在一点F,使平面。所_L平面ABa),若存在，确定点尸的位置；若不存在，说明理由.【分析】(I)连接。E、PE,证明四边形BEOG是平
27、行四边形，得出8G/。，即可证明BG/平面?。七:(2)连接PG,证明PGj_AD,再证BGLAD,得出ADJ平面PG8,即可证明ADl.PB：(3)/为PC边的中点时，平面Z)E尸J平面A3CD,再证明即可.【解答】(1)证明：连接。石、PE,则Z)G8七，且DG=BE,所以四边形BfDG是平行四边形，所以5G/ED,又3GC平面PDE,U平面PoE,所以8G/平面PD；(2)证明：连接PG,因为MD为正三角形，G为AD边的中点，所以PG_LAO；又AG=JAB,ZBAD=o,所以BG=3AB,22所以NfiG4=90。，即3G_LAD；又PGU平面PG8,BGu平面尸GB,PGBG=G,所
28、以AD_L平面PGB,又PBU平面PGB,所以ADJ_P8：(3)解：当尸为PC边的中点时，满足平面DErJ_平面Aga),证明如下：取PC的中点尸，连接。、EF、DF,在)8C中，FEHPB.在菱形ABCz)中，EFRDE=E,所以平面OE产平面PGB，因为8G_L平面A4。，所以BG上PG，又因为PGLAD,ADG=G,所以尸GJ平面ABcD,而尸GU平面PG8，所以平面PGAJ平面ABCD,所以平面DEF_L平面ABa).【名师指导】(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
