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1、双勾函数与飘带函数专题讲座(下2)一、单选题(本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.已知g(x)为偶函数，九(均为奇函数，且满足g(%)-九(%)=2三若存在-l,l,使得不等式mg(x)+h(x)0有解，则实数m的最大值为()A.-1B.C.1D.-【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性，考查了分析推理能力先由已知推出g(x)+(x)=2-，联立,得g(x),h(x),再根据Tng(%)+h(x)0,得到Zn标浮=W=I-岛，再由y=l-岛为增函数，所以当w-l,l时，即可得出实数m的最大值.【解答】解：因为g(x)-(x)=Zx，
2、所以g(-x)-(-x)=2x,又9(%)为偶函数，九(%)为奇函数，所以g(x)+/Ia)=2-x，联立并求解，得g(%)=-，(x)=22由mg(x)+h(x)。得m；攵十；T=I-因为y=1一岛在区间_U上为增函数，所以在区间-1,1上，(1-)max=故选B.2.已知函数f(x)=lg(4x-je-n),若对任意的久1,1使得f(x)1成立，则实数m的取值范围为()A.-y,+)B.(-,-iA)C.-y,-y11-y)【答案】D【解析】【分析】O1 171? - - X X 4 4 - mm利用对数的不等式的解法将不等式转化为OV4*-域-n10,然后利用参变量分离转化为研究函数y=
3、4-/在上的单调性，求出函数的最值，即可得到m的取值范闺.本题考查了不等式恒成立问题，涉及了对数不等式的解法、函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的常规解法：参变量分离法、数形结合法、最值法，属于较难题.【解答】解：对任意的K一1,1使得/0)1成立，即lg(4一好一m)l,可得0V4一营一m10,O1 I-3x1f - - X X 4 4 - mm z(lv 有因为y=4在-1,1上为增函数，函数y=/在上为减函数，所以函数y=4一班在上为增函数，故Znin=:3=一学，,111%以=4-？=7，所以*一10m+)B.原+8)C,+)D,g,+)【答案】A【解析】【分析】本题考查了
4、函数奇偶性的应用以及不等式恒成立的问题，属于拔高题.由函数/(乃=2+。2一/6/?)的图像关于、轴对称，可得函数为偶函数，从而解得Q=L对任意的XR,使得f(幻+1kf(2%)+2恒成立，分离参数可得超k,利用换元法和二次函数的性质，可得k的取值范围.【解答】解：函数/(%)=2*+Q2-x(xR)的图像关于y轴对称，所以函数为偶函数，=(-x),即2+2r=2-x+q2H解得Q=1,所以/0)=2+2-x；对任意的R,使得/+1fc(2x)+2恒成立,则2*+2-x+1k(22x+2-2x+2),令2*+2=t,(t2)t2=22x+2-2x+2,则仁詈T+RG+,函数y=6+，一Q2)的
5、最大值是年，所以k：,故选4.二、填空题(本大题共3小题，共15.0分)4 .已知函数f(x)=IOX-IOr+1,若f(2%-1)+/(%-3)2,则实数力的取值范围为.【答案】(+8)【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性与单调性求解不等式，属于中档题.解题关键在于构造仪幻=10-10-0可得g(%)的奇偶性，结合g(x)的单调性，代入已知不等式，即可求解.【解答】解：令g(%)=10-IOr,所以f(%)=g(%)+1,因为g(r)=-g(%),所以g()为奇函数，由f(2%-l)+f(%-3)2,得g(2%-l)+g(%-3)+22,利用g(x)为奇函数得到g(2x-1)g(3-%)
6、,又g(x)在K上为增函数，W2x-13-x,解得C,+8),即实数X的取值范围是,+8).故答案为,+8).5 .已知函数/(%)=a，-*(0V0V1),若对任意R,不等式f(m2)+/Q-DO恒成立，则实数Zn的取值范围.【答案】(一8,-【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及不等式的恒成立问题.由F(工)=ax-判断函数的奇偶性和单调性，从而将f(m2)+f(-1)。进行转化为TnX20,得f(n%2)-f(x1),因为函数y=/(%)是奇函数，故f(m2)f(i-),又函数y=/(%)在(-8,+8)上单调递减，故m/1一在R上恒成立，即m/+%-1O在R上恒成立，
7、所以只可能HlVICk4小解得：m并称其为双曲余弦函数.若cos(siz6+cosy)cosh(m-S加29)对VeU0,刍恒成立，则实数Tn的取值范围为【答案】1-7,1【解析】解：cos(-%)=幺T=cos(x),故CoSh(X)为偶函数，令与外0，则cos(%)-cosh(x2)=e1+e-Ile?-e2=(e-e2)(l-忌药)，又靖1一靖20,1-ex；.,故COSh(XI)CoSh(X2)，.cos(%)在(0,+8)上递增，故在(一8,0)上递减，.cosh(sin+cosy)cosh(jn-sic2J)在Ve0,夕恒成立，则IS出。+cos8=3sin(8+.)|Im-Sin
8、2。|且6+)色争,故si26-3sin(0+msin2+2sin(分在80,夕上恒成立，令C=sin(6+9苧,1,而-s配28=COS(26+)=1-2sin2(+1),.y=sin2VTSin(O+今)=2t22t-1=2(t)2故=1时nx=一心，y-sin2+3sin(0+$=2t2y2t-1=2(t+)2故t=苧时%11加=1，n的取值范围为1-,l.故答案为：口一7,i.首先利用奇偶性、单调性定义可得cos(x)为偶函数、在(0,+8)上递增，(-8,0)上递减，可将题设不等关系化为SE2。-2sin(0+msin2+2sin(0+在J0,刍上恒成立，即可求参数范围.本题属于新概
9、念题，考查了函数的奇偶性和单调性，再利用cos(x)的奇偶性、单调性将问题转化为sin2-2sin(6+)msin2+Isin(0+在。0,夕上恒成立求范围.属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)7 .(本小题12分)已知函数/(x)=%+6-x+3函数g(%)=,7f”(%)恒成立?若存在,求出实数Zn的取值范围;若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由于g(x)为奇函数，QVO,所以g(x)定义域为R,因此g(o)=。，则=-1;经检验g(%)是奇函数，故Q=-L(2)由于/(%)=x+6-x+1=则f(%)在-1,+8)上单调递减
10、；g(x)=悬=1一/，则g(%)在R上单调递增令S=3(%),则MS)=9g(s)-7(s),其在-1,+8)上单调递增，(3)=9g(3)7/(3)=9三y-7(9-4)=0,由于9g(o(x)7(x)恒成立，因此3(乃=-x+-m3恒成立，令1-X=t,tE-3,-1fx2+3x_(l-t)2+3(l-t)_zr,4_mV(_%Jmin一(fJmin-(+”min根据对勾函数的性质可得y=t+t-3,-2上单调递增，在-2,-1上单调递减，当t=-3时，y=t+g=一争当=-1时，y=t+g=-5,所以(+-5)min=-10因此m3恒成立，参变分离即可求出m的范围.8 .(本小题12分
11、)已知定义在R上的函数fW=段!是奇函数.(1)求实数0的值；(2)解方程“X)=-射(3)若对任意的xR,不等式/(4*一2*+1+3)+/(221-忆2*)0恒成立，求实数k的取值范围.【答案】解：(1)/(0)=O=Q=I,经检验Q=I时，对任意xR,都有/(-%)=-(%),故Q=L(2)由/O)二一,得熹；=一卷令2。t(0,+8)得，=,t=8,2x=8f.=3.mf(-2x1-1-2-12-(2-l),l2(3)/(X)-2(2x+1)22x+l因为y=2%+l单调递增，所以y=/一1单调递减，即/(乃单调递减./(4x-2x+1+3)+/(22x+1-k2x)0得f(4-2x+
12、1+3)-/(22x+1-k2x).因为/(%)是奇函数，所以f(4*-2x+1+3)c2x-22ai在R上恒成立.令=2HtW(O,+8)得，尸一2亡+3虹一2尸，.k2,九)在(0,1单调递减，在1,+8)单调递增.所以九(t)min=h(1)=4AV4.【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略.属于中等题.(1)利用奇函数定义，在f(-x)=-f(X)中的运用特殊值求的值；(2)换元法令t=2得，普=一,t=8：.2x=8X=3即可解方程，十/Io(3)首先确定函数f(%)的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为4丫-2x+1+3k
13、2x-22/1在R上恒成立.利用换元法得到关于的函数，最后由函数单调行求出的取值范围.9.(本小题12分)已知函数/(x)=Iog2(2-q)2*+1-X,函数g(%)=2x一2”.(1)若g()是偶函数，求实数亡的值，并用单调性的定义判断g(%)在0,+8)上的单调性；(2)在(1)的条件下，若对于VXl0,+8),2/?,都有fa)+2g(：2)+l。g2(20)成立，求实数的取值范围.【答案】解：(1),g(x)为偶函数，g(x)=g(r)恒成立,.2x-t2-x=2-x-t24恒成立，即(1+)(2X-2-x)=O,.t=-1,.,.g(x)=2x+2x.设M,X20,+)Jx1X2,
14、则gQJ-g(w)=(2-+2)-(2-必+2必)=2一右一2一物+2M-2*211=声-天+2必-2小2x2_2=-TL+2-2必2x2x21=(2-2)(1-pr-).因为0%*2,所以12Xi2*2,022i1,所以2必一2必0,(2-2)(1-p)即。(1)-9(不)0，所以g()在0,+8)上是单调增函数.(2)由(1)可知：g(x)+Iog2(2)=2x+2x+Iog2(2)2J2xp+Iog2(2)=2+Iog2(2a)，当且仅当2=去，即=O时等号成立，(g(x)+Iog2(2a)min=2+Iog2(2),由题意可得：Vx0+),f(*)+22+log2(2)恒成立，即x0,
15、+),Iog2(2d)2x+1Xlog2(2)恒成立,由log2(20)有意义，得0,由log2(2-d)2x+1有意义，得(2-a)2x+1O在0,+8)恒成立,即Qhlog4(2+1)对任意%1恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：(1)由于g(x)为奇函数，且定义域为R,，g()=，即=0，几=L当n=1时，g(x)=-=2x-2-fg(-x)=2一“-2x=-g(%),n=1时g(x)为奇函数./(x)=Iog4(4x+1)+mx,/(-x)=Iog4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)(n+l)x,.(%)是偶函数，/(-x)=f(x)9m=m1,得到m=由此可得：m十几的值为
16、(x)=/(x)+x=log4(4x+1),hlog4(2a+1)=log4(2a+2),又g(x)=2x-2一”在区间口,+8)上是增函数，:当X1时，9Wmin=。(1)=由题意得2a +3-24 0-0综上，Q的取值范围0-2VQV3.【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题、利用对数函数的单调性解不等式等知识点，属于中档题.(1)由g(x)为定义在R上的奇函数，得g(0)=0,解得n=l；再根据偶函数满足/(-幻=f(%),比较系数可得m,由此即可得到m+几的值.(2)由(1)得帖:)=log4(4x+1),易得Mk)g4(2+1)1=log4(2+2).而定义在R上的增函数g(x
17、)在X1时的最小值为g=看从而得不等式组11.(本小题12分)2a + 23-24 02 2 0,不难解出实数Q的取值范围.已知函数f(x)=Iog2(冷+)为奇函数，(I)求实数Q的值；(2)若关于X的不等式(2*)+32jf-b0恒成立，求实数b的取值范围；【答案】解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(%)+f(-X)=0,所以Iog2(等+Q)+Iog2(z+)=0在定义域内恒成立，即(告+)(T+)=1在定义域内恒成立，整理，得(2-q)2-。2/=1一炉在定义域内恒成立，所以(2；q)2=1,解得Q=i.因为Q=I时，/(%)=，0外当的定义域(-8,-I)U(I,+8)关于原点对
18、称满足题意，且为奇函数,所以=1.(2)因为/(%)=1。言的定义域(一8,-1)U(l,+),所以21或2V-I,解得x0,因为2八2专+32x-0恒成立，所以bi+32x(x0)，所以b3(2*-1)2-1+4(”),因为，当xO时，2-l0,所以根据基本不等式的性质得3(2-1)+/2腌，当且仅当3(2-l)=ii,即=Iog2+1)时等号成立，所以3(2-1)+岛+42+4,所以b(-8,2，+4.【解析】本题考查利用对数函数的图象与性质求参，复合型指数函数，属于较难题.(1)根据题意，由函数奇偶性的定义可得幻+/(-X)=O,然后代入计算即可得到结果；(2)根据题意，将原式变形可得b*+32%0),然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
