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1、专题04立体几何一、单选题1 .【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥P-ABC中，/%，平面A8C,AC=y,AP=3,4=23,Q是边AC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥Q-A8C的外接球的表面积为（）A.50乃B.55C.57D.108%2 .【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中用E与直线/垂直的向量称为直线/的法向量.设e=（A,0是直线/的一个方向向量，那么=（-氏A）就是直线/的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线/外一点，是直线/的一个法向量，在直线/上任取一点Q,那
2、么PQ在法向量上的投影向量为他叫5。岬传为向量与PQ的夹角），其模就是点，到直线/的距离，即=号工据此，请解决下面的问题：已知点A（-4,0）,8（2,-1）,C（-l,3）,则点4到直线BC的距离是（）2127A.B.7C.D.83.1 江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为I的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是A.毡B.避D.B434124.1 江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥A-BCO中，ZABC=NCBD=ZDBA=60。,BC
3、=BD=2,ZXACD的面积为11,则此三棱锥外接球的体积为（）“1632A.16B.4%C.一D.一335.1江苏省南通市海安市实验中学20202021学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体ABC。-AqGA中，E9F分别是A纬BG的中点，则异面直线。与G。所成的角为（）BA. 30B. 45C. 60D. 906.【江苏省南通市如睾市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质调研於三棱锥ABC中，PAL面ABC,ABC是边长为2的正三角形，fiPA=3,则二面角尸-BC-A的大小为（）A.30oB.45oC.60oD.无法确定7.【江苏省南通市如睾市2020-2021学年
4、高三上学期教学质调研（三）】直三棱柱ABC-ABG中，侧棱BA=4,AB=29AC=BC=3,则点C到平面ABG的距离为（）A.22B.-22C.9夜D.22111111118.【江苏省南通市如聚市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥S-ABC中，SA=2,AB=22,则该棱锥外接球的表面积为（）A.4y3rB.4乃C.12乃D.6兀9 .【江苏省南通市如聚市2021届高三下学期4月第二次适应性考试珈图,在边长为2的正方形ABCD中,点M、N分别是边8、BC的中点,将ADM沿AM翻折到PAM,在ADM翻折到ZJXM的过程中,AYB竽C.f10 .【江苏省南通市通州区、启东市2020-
5、2021学年高三上学期期末】报尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2。，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）3sin3cos2sin62cosC11.【江苏省镇江市、南通市如睾2020-2021学年高三上学期教学质调研（二）】正三棱锥S-ABC中，5A=2,A8=2,则该棱锥外接球的表面积为（）A.4小兀B.4;TC.12,D.6兀12.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如聚中学20202021学年高三上学期12月三校联考
6、】棱长为6的正四面体/WCO与正三棱锥BCQ的底面重合，若由它们构成的多面体ABa上的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E-BCD的体积为（）A.9夜B.24人C.362D,720二、多选题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m,，是两条不重合的直线，,尸是两个不重合的平面，则（）A.若加,nlla,则?/B.若加,tn,则aJL?C.若尸，tnlafnl,f则加/D.若mHa9尸，贝及2.1江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边ABC9点。、E分别An是边AC、AA上的点，满足DE/BC且I
7、=入（2（0,l）,将,4）沿直线/）E折到A7%的位置，在AC翻折过程中，下列结论成立的是（）A.在边NE上存在点尸，使得在翻折过程中，满足8F/平面Aa）B.存在e（*,使得在翻折过程中的某个位置，满足平面48C，平面BCQEC.若2=；,当二面角/V-OE-B等于60。时，AfB=D.在翻折过程中，四棱锥4-ASE体积的最大值记为/（Q,/（彳）的最大值为不3.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P-ABC。中，平面E4_L底面ABCO,P4。是等边三角形，底面ABC。是菱形，且的D=60o,M为棱的中点，N为菱形ABCQ的中心,下列结论正确的有（）A.直线8
8、与平面4MC平行B.直线与直线A。垂直C.线段AM与线段CM长度相等D.P5与AM所成角的余弦值为立44.1 江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形A8CD中，ZBAD=6QofAC与8。相交于点O.将AA8D沿BD折起，使顶点A至点M,在折起的过程中，下列结论正确的是（）A.BD.LCMB.存在一个位置，使ACDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为605.【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质检测（一）】如图所示，在长方体ABCD-AiBlCiDit若AB=BC,七、厂分别是A4、的中点，则下列结论中成立的是（）C.
9、EF与CQ所成的角为45。D.EF平面ABIaA6.【江苏省南通市海安市20202021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体ABCQ中，点E,F9G分别为棱BC,CD9DA的中点，则（）A.4C7/平面EFGB.过点,F9G的截面的面积为:C. AO与BC的公垂线段的长为及D. CD与平面G8C所成角的大小小于二面角G-BC-。的大小7.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体ABCD-AiBlCiDi的棱长为4,点M,N分别是棱AA,C。的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若PM=2小,JM（）A.点尸的轨迹的长度为2%B.线段的轨迹与平面AZ）
10、CM的交线为圆弧C.PQ长度的最小值为吗坨D.PQ长度的最大值为24+28.【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图,在棱长为1的正方体A88-4,8中,P为线段AQ上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）ABA.三棱锥P-A8。的体积为定值;B.过点P平行于平面A8。的平面被正方体A8CO-A4GA截得的多边形的面积为立2C.直线N与平面M。所成角的正弦值的范围为亭等D.当点P与用重合时，三棱锥P-ABO的外接球的体积为在江29.1江苏省南通市如率市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质调研】设。，是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A.若直线?_La
11、,则在平面夕内一定存在无数条直线与直线m垂直B.若直线2_La,则在平面月内一定不存在与直线m平行的直线C.若直线/U。，则在平面夕内一定存在与直线m垂直的直线D.若直线，”ua,则在平面夕内一定不存在与直线m平行的直线10.【江苏省南通市如睾市2020.2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形A8CD中，点M是边C。的中点，将ZW）沿AM翻折到叫”,连结PB,PG在ZWW翻折到加”的过程中，下列说法正确的是（）A.四棱锥尸-ABCM的体积的最大值为手B.当面L平面ABcM时，二面角P-AB-C的正切值为亚4C.存在某一翻折位置，使得AMLMD.棱PB的中点为N,则C的长为定值11
12、 .【江苏省南通市如睾市20202021学年高三上学期期中】在正方体ABCO-ABGB中，若尸分别为BB,qG的中点，则（）A.直线AE/平面ACAB.直线旦O_L平面AeAC.平面AE/平面ACAD.平面A4CO_L平面ACA12 .【江苏省南通市如睾市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体/WCO中，ABC是边长为2的正三角形.ZADB=60,二面角。-A8-C的大小为60。，则下列说法正确的是（）A.ABLCDB.四面体A8C。的体积V的最大值为立2C.棱6的长的最小值为6D.四面体A8CQ的体积最大时，四面体ABC。的外接球的表面积为三不13.【江苏省镇江市、南通市如睾20
13、20-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体ABe。-ABeR中，若E,尸分别为4B,BG的中点，则（）A.直线AE/平面ACAB.直线BQ，平面ACAC.平面AEF平面4CAD.平面4蜴CZ）I平面ACQ14.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如睾中学20202021学年高三上学期12月三校联考】如图,正方体A8CD-AUGR的棱长为1,E为BA的中点（）A.直线EG与直线AQ是异面直线B.在直线AG上存在点F,使_平面ACDC.直线BA与平面ACQ所成角是?D.点B到平面ACO的距离是也215.1江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中
14、，A8为上底面直径，DC为下底面直径，ADt8C为母线，AB=AD=It点F在尺B上，点G在De上，BF=DG=I9P为DC的中点.则()A.8FIIPGB.异面直线AF与CG所成角为60C.三棱锥P-ACG的体积为更2D.直线AP与平面ADG所成角的正弦值为巫1016.【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是()A.4B.M,N是空间中的四点，若助V不能构成空间基底，则AB,M,N共面B.已知卜7,乩。为空间的一个基底，若m=a+cf则，力,可也是空间的基底2C.若直线/的方向向量为，=(1。3),平面口的法向量为=(-2,0,),则直线“aD.
15、若直线/的方向向量为=(L0,3),平面a的法向量为=(-2,0,2),则直线/与平面所成角的正弦值为更5三、填空题1.1江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱4Q内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形ABCQ,其面积为8.若P为圆柱底面圆弧C。的中点，则平面，与球O的交线长为.2.【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示,在边长为2的菱形ABCO中，N88=60o,现将AABO沿对角线。折起，得到三棱锥P-BC7).则当二面角0-夜)-C的大小为暂时，三棱锥P-BCD的外
16、接球的表面积为.3 .【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研胜三棱锥P-ABC中，AbC与PBC均为边长为1的等边三角形，RA,B,C,四点在球。的球面上，当三棱锥P-ABC的体积最大时，则球。的表面积为.4 .【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，四面体P-ABC为鳖膈,PAJ_平面A8C,ABlBC,且=AB=LBC=则二面角A-PC-B的正弦值为5 .【江苏省南通市海安高级中学20202021学年高三上学期期中】已知
17、三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直,且以=P8=PC=1,以为球心，立为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为.26 .【江苏省南通市海安市20202021学年高三上学期阶段质检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为.7 .【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为5cm,高为4cm,记该圆锥内半径最大的球为球。，则球。与圆锥侧面的交线的长为cm.8.1江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情
18、检测】某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）.该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一个截面圆的周长为6乃,则该球的半径为现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.如果球面的半径是R,球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是S=.由此可知，该实心工艺品的表面积是一9.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵，已知三棱柱ABC-ABG是一个“量堵，其中AB
19、=8g=2,BC=I,AC=S则这个“堑堵”的外接球的表面积为.10.1江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质调研推梯形ABC。中，ADHBCtABBC,AD=2AB=2BC=2t将一ABC沿对角线AC翻折到AMCt连结MD.当三棱锥M-ACD的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为.11.【江苏省南通市如阜市20202021学年高三上学期教学质调研（三）】如图，在四棱锥尸-ABa）中,底面A5CZ）是边长为2的正方形，三角形小。为正三角形，且平面小。平面A8C。，则四棱锥尸-ABCO外接球的表面积为.12.1江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学
20、期第五次阶段性测试】我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童钻8-瓦G”有外接球，且B=26,AD=2近,EH=岳,EF=B平面EFGH与平面ABCD的距离为1则，该刍童外接球的体积13.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图,三棱锥。一ABC中，BC=9AC=2,PC=3,PA=AB,PALAC9PB工Be点Q在梭PB上且BQ=I,则直线CQ与平面ABC所成的角是.14.【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球工艺品如图所示,底座是用一边长为2m
21、的正方形钢板,按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(及+Dm,则水晶球的表面积为15.【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体A8CO-A与GA的棱长为1，E9分别为8C,CC的中点.则平面AQ截正方体所得的截面面积为;以点E为球心，以迎4为半径的球面与对角面ACGA的交线长为.四、解答题1.【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形ABC。Eb中，将二AB/沿直线翻折至3L使得平面AA尸_1_平面Ba)E尸，O9H分别为笈尸和AC
22、的中点.A,(1)证明：0平面AEF;(2)求平面3C与平面A力石所成锐二面角的余弦值.2.1江苏省南通市20202021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥产-ABeQ中，H)I底面ABCD,ADIIBC9ZABC=90。,48=45。,BC=2AD.(1)求证：BDlPCi(2)若PC=BC,求平面EAO和平面PBC所成的角(锐角)的余弦值.3.1江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=23,AB=3,2AP=n,AD/BCtAD_L平面PAB,ZAPB=96,点E满足PE=gPA+mPB.(1)证明：PElDCi(2)求二面角A-
23、PD-E的余弦值.4 .【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PD=PBfH为PC上的点，过AH的平面分别交P8,PD于点M,N,且8DH平面AVWN(2)当，为PC的中点，PA=PC=陋AB,M与平面A8C。所成的角为60。，求A。与平面AMHN所成角的正弦值.5 .【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】如图，平面ABCQ，平面OBMVf,且菱形ABCQ与菱形03MW全等，且ZMM=G为MC中点.(1)求证：平面GBD/平面AMN.(2)求直线八。与平面AMN的所成角的正弦值.6 .【江苏省南通市海安高级
24、中学20202021学年高三上学期12月测试】如图，在三棱锥尸-ABC中,AB=BC=J1PA=PB=PC=AC=2(1)证明：平面PACJ_平面A8C；(2)点/W在棱8C上，且PC与平面PAM所成角的正弦值为在，求8帆47 .【江苏雀南通市海安高级中学20202021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/CDtADLCD9AB=AD=,CD=2,PD3F三ABCD.(1)求证：BC，平面尸质)；(2)已知)=2,点/,为棱相的中点，求直线AE与平面OCE所成角的正弦值.8 .【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质检测(一)】如图，四边形AB
25、CD与BDEF均为菱形，FA=FCt5.ZDAB=ZDBF=600.(1)求证：AC上平面BDg(2)求直线八Z)与平面A仪所成角的正弦值.9 .【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥A-BCDE中，BCHDEtBC=IDE=I9BClCD,尸为AB的中点，BCVEF.(1)求证：ACLBCi若W=CQ,AC=2,求直线AE与平面BDE所成角的正弦值的最大值.10 .【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形A8C。与BDEF均为菱形,FA=FC9AB=2,RZDAB=ZDBF=60.(1)求证：ACIBF；(2)
26、求二面角E-A产的余弦值.】【江苏省南通市启东市如2。-2。21学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱ABJABG中，加竽,AA=2,D9E9尸分别为线段AC,A4,GB的中点.(D证明：EF平面ABa(2)求直线C/与平面Br出所成角的正弦值.12.【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为8rdn,它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为2m,圆柱的高为/?dm.已知顶部半球面的造价为加元d11圆柱的侧面造价为。元dn,圆柱底面的造价为年元加.(1)将圆柱的高/，表示为底面半径，的函数，并求出定义域；(2)当容器造价最低时，圆柱
27、的底面半径，为多少？13.【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱C的一半，四边形ABCQ为圆柱。的轴截面，点E为圆弧A8上异于A,8的点，点厂为线段石。上的动点.(2)若AB=2,40=1,ZABE=30。，且直线GA与平面A3尸所成角的正弦值为巫，求缥的值10ED14.【江苏省南通市如阜市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质调研】如图，在六面体ABCO-A4GA中，AA,CCi,底面A8CO是菱形，且平面AAC.(1)求证：平面A8。，平面/。3；(2)求证：BBi/DDi.15.【江苏省南通市如睾市2020-2021学年高三上学期教学质调
28、研(三)】如图，已知五面体ABCDM中,CDEF为正方形，且平面CDEF平面ABCD，ZADC=ZBCD=120.(2)若AD=DE,求二面角尸一C的余弦值.16.【江苏省南通市如睾市2020-2021学年高三上学期期末】如图,在四棱锥P-A8C。中，EA_L平面A8CO,AC,8。相交于点N,DN=INB9已知24=AC=AD=3,BD=3小,NAr8=30.(1)求证：4。_1平面小)；(2)设棱的中点为M,求平面B与平面MAc所成二面角的正弦值.17.【江苏省南通市如睾市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在三棱柱ABC-A笈G中，底面,ABC是边长为2正三角形，侧面ACGA是菱
29、形，且平面ACCM工平面ABC,E9尸分别是棱AG,BC的中点，CxG=IGC.(1)证明:M平面AB4A；(2)若三棱锥C；-ABC的体积为I；C。与底面所成的角为60。；异面直线BB,与AE所成的角为评.请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A所成的二面角(锐角)的余弦值.18.【江苏省南通市如辜市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在多面体ABa)Q中，底面ABCQ是边长为2的的菱形，ZBAD=60，四边形BDEr是矩形，平面或石V1.平面ABCQ,BF=3,G和分别是CE和CF的中点.(I)求证：平面8DG/平面A;(11)求二面角”一8。一C的大小.19.【江苏省南通市
30、通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱AC)E-和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，ADLAF9AE=AD=2.(I)证明：平面出。J_平面AB比；(11)求正四棱锥P-A88的高/，使得二面角C-A尸-P的余弦值是逆.320.【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P-/WCQ中，底面48CO为菱形，PAl3FffiACD,E是PD上的点.(1)当E是/)的中点时，求证：平面AWC；(2)设=A4=LPC=B若直线PC与平面诋所成角的正弦值为：，求PE的长.21.1江苏省南通市通州区2020-2
31、021学年高三上学期第三次调研考试】如图，在四棱锥Q-ABS中，四边形ABCQ是等腰梯形，ABllDC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是A8,A。的中点，RPDlNC9平面R4O_L平面ABCD.(1)证明：PO平面ABCfh2(2)已知三棱锥。-QAB的体积为；，求二面角C-PN-M的大小.22.【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考师图，已知多面体A8CDEF的底面ABCD是边长为2的正方体，EAJ_底面A8CD,AF=2,且Z)E=ZlAf(0V4VI).；一/A_f.I/(1)求证：CEII平面48F；(2)若二面角B-CF-E的大小为当，求4的值.O2
32、3.【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如率中学20202021学年高三上学期12月三校联考】如图，在四棱锥尸-ABC。中，PA1YABCDf四边形ABa)为梯形，BC/ADfABADtA为侧棱照上一点，5,AE=2PE94P=3,AB=BC=2,AD=4.(1)证明：PC平面8E.(2)求平面PCo与平面比陀所成锐二面角的余弦值.24.1江苏省镇江市、南通市如睾20202021学年高三上学期教学质调研(二)敢11图,在三棱柱48。-A心G中,底面一ABC是边长为2正三角形,侧面ACGA是菱形,且平面ACGA1Y三BC,E,F分别是梭AC,BC的中点，C,G=2GC.(1)证明：M平面A叫A；(2)若三棱锥G-ABC的体积为1；CC与底面所成的角为60。.异面直线B片与AE所成的角为期.请选择一个条件求平面EPG与平面ACeA所成的二面角（锐角）的余弦值.
