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1、专题Ol数与式.方程与不等式的性质及运算目录一、考情分析二、知识建构考点一数与式的相关运算题型01实数的混合运算题型02整式的混合运算及化简求值题型03因式分解的运算及应用题型04分式的混合运算及化简求值题型05科学记数法题型06二次根式的混合运算及应用题型07比较大小【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】考点二方程与不等式的相关运算【真题研析规律探寻】题型0】解一元一次方程题型02解二元一次方程组及其应用题型03解分式方程题型04根据分式方程解的情况求值题型05解一元一次不等式题型06解一元一次不等式组题型07解一元二次方程题型08根据判别式判断一元二次方程根 的情况题型09根据一元二次根
2、的情况求参数题型10 一元二次方程根与系数的关系【核心提炼查漏补缺】【好题必刷强化落实】000考点要求命题预测数与式的相关运算中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.方程与不等式的相关运
3、算.方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有：由实际问题抽象出一次方程（组）或分式方程，解方程（包含一次方程、二次方程、分式方程），一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式（组）及不等式（组）的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程（组）和不等式（组）的相关概念、性质、解法及应用.数轴相反数实数实数的相关概念绝对值倒数平方根、立方
4、根实数的非负性及性质实数的运算及运算顺序加减运算整式的运算乘除运算福的运算与式、方程与不等式的性质及运算数与式乘法公式因式分解方法分式的加减法运算分式的运算二次根式的运算方程与不等式分式的乘除法运算分式的乘方分式的混合运算乘法法则除法法则加减法法则分母有理化元一次方程步骤二元一次方程（组）分式方程步骤解法一元二次方程解法根的判别式根与系数的关系一元一次不等式（组）步骤题型01实数的混合运算题型02整式的混合运算及化简求值题型03因式分解的运算及应用题型04分式的混合运算及化简求值题型05科学记数法题型06二次根式的混合运算及应用题型07比较大小题型01解一元一次方程题型02解二元一次方程组及其
5、应用题型03解分式方程题型04根据分式方程解的情况求值题型05解一元一次不等式题型06解一元一次不等式组题型07解一元二次方程题型08根据判别式判断一元二次方程根的情况题型09根据一元二次根的情况求参数题型10一元二次方程根与系数的关系考点一数与式的相关运算真题研析规律探寻题型Ol实数的混合运算三w三1）常见实数的运算：运算法则特殊计算乘方(-a)n=ann为偶数(-a)n,arn为奇数(-1)n=ln为偶数(-1)n=-ln为奇数零次寻a0=l(a0)负整数的指数耗an=4(a0,n为正整数)na1=-(a0)a去括号-(a-b)=-a+b或b-a+(a-b)=a-b去绝对值符号|a-b|=
6、a-b,aba-b=O,a=b|a-b|=b-a,a1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3,其面积分别为Si,S2.图 1乙乙乙乙乙丙(1)请用含。的式子分别表示工石2；当Q=2时，求Si+S2的值;(2)比较Sl与S2的大小，并说明理由.题型03因式分解的运算及应用三三a三概念把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.基本方法提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法运用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).运用完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2进阶十字相乘法Oa+(p+q)a+pq=(a+p)(a
7、+q)【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.【特殊】因式分解：ax+bx+c若a+b+c=0,则必有因式x-l若a-b+c=0,则必有因式x+1方法分组分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)换元法如果多项式中某部分代数式，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.例：因式分解(2+5x+2)(2+5+3)T2,设2+5x+2=t则原式=t(t+l)T2=(t-3)(t+4)=(x+2)(x+3)(x2+5-l)一般步骤1)如果多项工2)如果各项名3)检查分解自以上步骤可以t各项有公因式，应先提取公因式；t有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑
8、平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.概括为.1 .因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;2 .因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.3 .因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.题型04分式的混合运算及化简求值三a三三分式运算说明分式的加减法D同分母：分母不变，分子相加减，即：-=.CCC2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即：W5=嗒5-bdb分式的乘除法D乘法：
9、用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：Wbdbd2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：=-=babebc分式的乘方把分子、分母分别乘方,即：（）二蚤分式的混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.1. （2022内蒙古中考真题）先化简，再求值：（W-X-I）+巴芹，其中=3.2. （2023江西统考中考真题）化简（A+W）弓下面是甲、乙两同学的部分运算过程:甲同学解.原式=XaT)+(+i).立1幽XAL(x+)(x-)(x+)(x-)JX解：原式=二+ar2ix+1Xx-1X乙同学（
10、1）甲同学解法的依据是,乙同学解法的依据是;（填序号）等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律.（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.3.（2023甘肃武威统考中考真题）化简:a+2ba-b.a2-b2a+ba-2ba2-4ab+4b24.（2023内蒙古通辽统考中考真题）以下是某同学化简分式一+（Q-若Q）的部分运算过程:解：原式=T+Q-T +%龙第一步-b 1 -b a a a 2ab-b1 2 3 4 *笫二步-b _ a-b a2 2ab-b2第三步（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误;（2）请你写出完整的解答过程.题型05科学记数法相关概念概念补充与拓展科学记
11、数法科学记数法的表示形式为aXlO的形式，其中IWaVlO,n为整数.用科学记数法表示数时，确定a,n的值是关键当原数绝对值大于10时，写成aX10”的形式，其中laV10,n等于原数的整数位数减1当原数绝对值小于1时，写成aXl（的形式，其中IWlalV10,n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.48小技巧：1万:Io，1亿=1万*1万=10题型06二次根式的混合运算及应用1 .在使用同=Sbe0,b0）时一定要注意Q0,b0的条件限制.2 .在使用率=E（a20,b0）时一定要注意a0,b0的条件限制.vbyjb3 .合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类
12、似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变.4 .二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并.5二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式.6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.1. （2023广东广州统考中考真题）已知关于X的方程%2-（2k-2）%+/-I=。有两个实数根，则（k-1）2-（FU）2的化简结果是（）A.-1B.1C.-l-2kD.2k-32. （2021广东统考中考真题）设6-I的整数部分为小小数部分为b,则（2+IU）b的值是（）
13、A.6B.210C.12D.9103. （2023内蒙古统考中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：（n-2）2=.1%,-I0I24. （2023四川统考中考真题）先化简，再求值：（警+$7）丁J，其中=百+1,y=3.-yyz-xzxzy-xyz题型07比较大小实数比较大小的6种基础方法：1）数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2）类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.3）作差比较法：若a,b是任意两个实数，则a-bO0ab;a-b=0Ua=b;a-b06ab对任意负实数a,b,若b
14、alb,ab0,则aa=b2)任意正实数a,b,OIUab,久iuabbb3)任意负实数a,b,laabDD1. （2023浙江台州统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（）.A.7B.22C.13D.172. （2022.山东临沂.统考中考真题）比较大小：（填“”，“,=,O4. （2023江苏盐城统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3ab0,M=EN=誓，试比较M与N的大小.bd+3小华：整式的大小比较可采用“作差法老师：比较/+1与2x-1的大小.小华：.（2+1）-（2-1）=X21-2%+1=（x-I）2+10,2+12x1.老师：分式的大小比较能用“作差法”吗
15、？请用“作差法”完成老师提出的问题.（2）比较大小：W崇（填或V）核心提炼查漏补缺一、实数1、实数的相关概念相关概念概念补充与拓展数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴上的点与实数具有一一对应的关系.将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.数轴.数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为X,y,若C是A、B两点的中点，C所表示的数为c,则有：2c=x+y.数轴两点距离二数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数（简称大数-小数）.相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数.若a、b互为相反数，则a+b=O（反之亦成立）
16、.互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0.（a+b）的相反数是-（a+b）,（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.绝对值在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值,记为|a|.两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.正数的绝对值是它本身；0绝对值是0;负数的绝对值是它的相反数若a=a（或a-a=0）,则a若0,若a=-a（或a+a=0）,则a0.若a=b或a=-b,则a=b（反之亦成立）.若a+b=O,则a=0且b
17、=0（a、b可以是多项式）.几何意义补充：Xl=x-0,数轴上表示X的点到原点的距离Ix-H,数轴上表示X的点与表示1的点之间的距离x+2,数轴上表示X的点与表示-2的点之间的距离倒数1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.0没有倒数.若a、b互为倒数，则ab=l互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.倒数是本身的只有1和T.乘方n个相同的因数a相乘记作a,其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幕.负数的奇次箱是负数，负数的偶次箱是正数正数的任何次哥都是正数.规定：a0=l（a0）相关概念概念补充与拓展算术平方根如果一个正数X的平方等于a,即2=a,那么这个正数X叫做a的算
18、术平方根.记为a,a叫做被开方数.正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0;负数没有算术平方根平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果2-a,那么X叫做a的平方根.正数有两个平方根，且它们互为相反数.0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.立方根如果一个数的立方等于a,即=a,那么X叫做a的立方根或三次方根正数只有一个正的立方根；0的立方根是0;负数只有一个负的立方根.互为相反数的两个数的立方根互为相反数2、实数的非负性及性质1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.2 .非负数有三种形式：任何一个实数a的绝对值是非负数，即a0;任何一个实数a的平方
19、是非负数，即。220；任何非负数的算术平方根是非负数，即而203 .非负数具有以下性质：非负数有最小值零；非负数之和仍是非负数；几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.二、整式的运算1.整式的加减运算整式的加减同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.添（去）括号法则括号外是“+”，添（去）括号不变号，括号外是“-，添（去）括号都变号.整式的加减法则几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.2.塞的运算暴的运算公式补充说明同底数累相乘m-nm+naaa（m,n都是整数）1 .逆用公式：am+n=aman2
20、 .【扩展】amanap=am+n+p（m,n,p都是正整数）嘉的乘方（ara）n=amn（m,n都是整数）1 .负号在括号内时,偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负.2 .逆用公式:aran=（am）n3 .【扩展】（an）。=屋巾（m,n,P都是正整数）积的乘方（ab）n=anbn（n为整数）L逆用公式:anb=（ab）n2.【扩展】（abc）=alVcn同底数塞相除a,l,an=amn（a0,m,n都为整数）1 .关键：看底数是否相同,指数相减是指被除式的指数减去除式的指数.2 .逆用公式：am=aman（a0,m、n都是正整数）.3.【扩展】ananap=aR（a0,11
21、bn,p都是正整数）.零指数幕：a0=l（a0）n1负整数指数嘉：an=-an（a0,n为正整数）3.整式的乘除运算整式的乘除运算步骤说明补充说明及注意事项单项式乘单项式将单项式系数相乘作为积的系数；相同字母的因式，利用同底数累的乘法，作为积的一个因式；单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.1）实质:乘法的交换律和同底数靠的乘法法则的综合应用.2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式.单项式乘多项式先用单项式和多项式的每一项分别相乘；再把所得的积相加.1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.多项式乘多项式先用一个多项
22、式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.运用法则时应注意以下两点：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，多项式的每项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.单项式除单项式将单项式系数相除作为商的系数；相同字母的因式，利用同底数累的除法，作为商的一个因式；只在被除式里含有的字母连同指数不变.多项式除单项式先把这个多项式的每一项除以这个单项式；再把所得的商相加整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有话号时先算括号里面的.4.乘法公式乘法公式基础变形平方差公式(ab)(ab)=a2-b21
23、.通过移项变形a2+b2=(a+b)2-2ab2ab=(a+b)(成+9)用法：已知a+b、ab、a?+b2中的两项求另一项的值(知二求一).2 .a+b与a-b的转化(a+b)2=(a-b)2+4ab(a-b)2=(a+b)2-4ab(a+b)2-(a-b)2=4ab(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值(知二求一).3 .特殊结构(x+2=x2+2+x2+=(xi)2-2(X-i)2=2-2+X2-=(x-i)2+2XXzXzX4 .扩展(ab)3=a33a3ab2b3(a+b+c)3=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc完全平方
24、公式(ab)2=a22abb2口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央.三、二次根式的运算乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：=Hb(a0,b0).除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：=(a0,b0).加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】D分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：%=备=叵a2)分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.an1_
25、+F_ayb-F(-VF)(+F)a-b，混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号).好题必刷强化落实一、单选题1. (2023广东肇庆统考一模)2021年2月中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见正式发布.意见确定的目标任务为，2021年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面积保持稳定、产量达到1300000000000斤以上，农民收入增长继续快于城镇居民，脱贫攻坚成果持续巩固.其中数据1300000000(XX)用科学记数法表示正确的是()A.13IO11B.13IO12C.1.3IO12D.0.13IO132. （2023河南周口
26、统考二模）碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一般为10500nm,长度分布在0.5100Um,具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一碳纳米纤维的直径约为15Onm（Imm=将15Onm用科学记数法表示为（）A.1.5107mB.15108mC.1.5109mD.0.15108m3. （2023浙江模拟预测）若X为实数，贝1|一划一工的值一定（）A.0B.7-4xt1. （2022北京统考中考真题）解不等式组：出Ix2（X-22x2. （2022江苏扬州统考中考真题）解不等式组K匕三，并求出它的所有整数解的和.3. （2021内蒙古呼和浩特统考中考真题）已
27、知关于X的不等式组-i匕3无实数解，则。的取值范围是（）A.-B.a2C.-D.a2224. （2022黑龙江绥化统考中考真题）不等式组产的解集为2,则加的取值范围为.题型07解一元二次方程(Mw)一元二次方程a2+bx+c=0(a0)的解法选择：1)当a=l,b为偶数，c0时，首选配方法；2)当b:0时，首选直接开平方法；3)当C=O时，可选因式分解法或配方法；4)当a=l,b0,c#0时，可选配方法或因式分解法；5)当al,b0,cz0时，可选公式法或因式分解法.1. (2022黑龙江齐齐哈尔统考中考真题)解方程：(2x+3)2=(3x+2)22. (2021浙江嘉兴统考中考真题)小敏与小霞两位同学解方程3(%-3)=(工-3)2的过程如下框:小霞：小敏：移项，得3(x-3)-a3)2=0,两边同除以a3),得提取公因式，得(一3)(3-3)=0.3=X-3则义一3=0或3-义-3=0,则K=6.解得Kl=3,X2=0.你认为他们的解法是否正确？若正
