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1、专题跟踪检测（九）空间点、线、面的位置关系一、题点考法全面练1.（2023盐城模拟）如图，在四棱锥尸一ABCO中，M, N分别为AC,PC上的点，且MN平面外。，则（）A. MN/PDB. MN/PAC. MNADD.以上均有可能解析：选BTMN平面用。，MNU平面C,平面必Z）平面C=4,：.MN/PA.故选B.2.（2023泰安一模）已知利，是两条不重合的直线，。是一个平面，Ua,则是“m3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A由线面垂直的性质知，若z_La,Ua,则阳_L成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，必须垂直平面a内的两条相交直
2、线，才有加_La,即必要性不成立.故选A.3.设。，是两个不同的平面，则”a内有无数条直线与平行”是“a夕的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要锥A-8CO中，A8与Co所成的角为（B.3条件Bl解析：选B如图，长方体ABCo-AIBlGOI中，4协平面ABCD.在平面ABBlAl内，除直线AB外，其他所有与4所平行的直线，都与平面ABeO平行，但是平面ABBMi与平面ABCo不平行；S根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面少平行.所以“a内有无数条直线与夕平行”是“a/T的必要不充分条件.故选B.4 .已知三棱锥A-BCD的侧面展开图放在正方形网格中
3、的位置如图所示，那么在三棱A工A6D.解析：选D由题图可知，在三棱锥A-BCo中，AB=BC=BD=小,AC=AD=取,CD=2,取8的中点E,连接AE,BE,如图所示.因为BC=BD=BAC=AD=y2f所以AE_LC。，BE-LCD.因为AEBE=E,AEtBEU平面ABE,所以Coj平面ABE.因为ABU平面A8E,所以CoJ_AB,即AB与C。所成的角为故选D.5 .如图，在正方体ABC。-A中，直线8。与平面ABCz）所成角的正切值为（）A.1B.哮解析:选C如图所示，连接80,因为。QJ平面A88,所以NZ）BQ就是直线BQl与平面ABC。所成的角.设正方体棱长为1,则OD=1,D
4、B=小,所以tan/08。I=需=型故选CYUDL6.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC4囱G展开，得到的平面图如图所示.其中A8=4,AC=3,BC=AAi=5,M是8囱上的点，则在直三棱柱ABC-ABG中，下列结论错误的是（）A. AM与AlG是异面直线B. ACAiMC.平面ASC将三棱柱截成一个五面体和一个四面体D.4M+MC的最小值是24解析：选D由题设，可得直三棱柱，如图.由直三棱柱的结构特征知，AC/AC1又AC,AM是相交直线，所以AM与AIG是异面直线，A正确：因为AB=4,AC=3,BC=5,AB2+AC2=BC2t所以A8_LAC.又AA_LAC,且AAlGAB=
5、A,AAitABU平面448出，所以ACJ平面AABB.又AlMU平面AAlS3,故ACjAM,B正确；由图知，平面A8C将三棱柱截成四棱锥81ACGAl和三棱镇31A8C,即一个五面体和一个四面体，C正确；将平面A488和平面CGBIB展开为一个平面，如图，当4,M,C共线时，AlM+MC的最小值为砺，D错误.7.（2023昆明模拟）如图，己知ABC-AiBiC1是侧棱长和底面边长均等 于a的直三棱柱,D是侧棱CG的中点.则点C到平面ABQ的距离为（）a 2R 区A 4。B 8。r型C. 4 D.解析：选A 取48的中点O,连接Co.因为AABC为等边三角形，0 为AB的中点，所以COiA8
6、.以点O为坐标原点，0B , OC f 函的方 向分别为X, yf z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 40,当, 0）,0, 0）,0,，H0,坐,。设平面 ABlo的法向量为 n = （% , y , z） , AB = （0 , a） , AD =修nA8 =OH-z=0,ci . *3 I ci n AD = 2 2*2z=取 X=1,可得 n=（L0, -1）.又上=弓,当4, 0）,所以点C到平面ABD的距离d=I ACf n 2 2n 24-A.故选A.8 .如图，在正方体ABCD-ABiCD中，点M,N分别是棱DD和P,c,线段BG上的动点，则满足与On垂直的直线MM
7、）A,1-lA.有且仅有1条B.有且仅有2条Wc.有且仅有3条d.有无数条y%解析：选D过点、N作NELBC,垂足为反连接。石（图略），当M,N高度一样，即MQ=NE时，一定有QDJMM理由如下：在正方体ABCD-A山IC中，NECCMD,所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN。日因为OQi_L平面ABCD,且OEU平面ABCD,所以QDJOE,即。DJMN.所以当M,N高度一样,即Mo=NE时，一定有OQJMM此时满足条件的直线MN有无数条.故选D.9 .（2023衡水模拟）（多选）如图，已知圆锥的顶点为S,底面ACBO的两条对角线恰好为圆O的两条直径，E,尸分别为SA,SC的中点，且SA
8、=AC=AD,则下列说法正确的有（）A.SZ）平面OE尸B.平面OEr平面SBOC.OElSAD.直线所与SO所成的角为45。解析:选ABC由已知可得四边形ACB。为正方形，且四棱锥S-AeB。各棱长均相等.由O1尸分别为CO,SC的中点，可得0FSD.又U平面OEESOe平面。石匕所以SD平面OEF,故A正确；因为O,E分别为A8,SA的中点，所以0ESB.又OEU平面OEF1SBB平面OEF,故S3平面OEE而SOS8=S,且SBU平面SB。，SDU平面SBD,所以平面OEF平面SBO,故B正确；设SA=1,则SB=Ao=BQ=I,AB=2D=2,所以SA2+SB2=A82,SASBf由B
9、选项可知OESB,所以OELSA,故C正确：EF/AC/BD,故NSO8（或其补角）即为异面直线EF与So所成的角，而NSOB=60。，故D错误.10 .（2023泉州模拟）己知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为S,体积为匕则当。取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（）A.乎BY解析：选A 设圆锥底面半径为心高为儿母线长为/,则/=2, =2-2=4-,V117+431,S=r=2r,于是S=而=耳八/4产WkXj=J当且仅当，=、4一八,即r=5时取等号，此时/=2,r=2,由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为坐，故选A.11 .（多选）如图，正方体ABCD-A,B,CD1的
10、棱长为1,E,F分别是棱A4,CC的中点，过直线石尸的平面分别与棱88,DD交于点M,M以下四个命题正确的是（）A.四边形EMFN一定为矩形B.平面EMFML平面088D1C.四棱锥A-MEN尸的体积为tD.四边形EMFN的周长最小值为2小解析：选BC连接8D,BD,MN,ACt曳然AECF,且AE=CF,所以四边形ACFE为平行四边形，所以AC石户.由题意得ACBD,BB,_L平面ABC。，ACU平面ABC。，所以BB.LAC.因为BDCBB=B,BD,BB,U平面BDDB,所以4C_L平面BDD8,则7平面8。8.又MU平面石MRV,所以平面EMFMJL平面80B,故B正确；由正方体的性质
11、得平面8CCB,平面A。4,平面BCCB平面EM尸N=MFf平面ADDA,G平面EMFN=EN,故MF/ENt同理得MENFREFL平面BDDB,MNU平面BDDB,所以MjLMN,所以四边形MEN尸为菱形，故A错误；四棱锥A-MENF的体积VI=VM-AEF+Vn-aef=3dBSmef=WX巾又当=看,故C正确；因为四边形MENF是菱形，所以四边形MENF的周长=J等=44纥+2=2MN2+2所以当点川,N分别为BB,DD的中点时，四边形MEN尸的周长最小，此时MN=EF=如即周长的最小值为4,故D错误.故选B、C.12 .（多选）如图，ABCD-AB,CD1为正方体.任作平面与对角线AC
12、垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/.则（）A. S为定值B. S不为定值C. /为定值D. /不为定值解析：选BC将正方体切去两个正三棱锥A-ABD与CIVc-DB,。后，得到一个以平行平面ABD与D，B。为上、下人省至底面的几何体匕如图，在AB,上取一点灯,作ET/BD,E,S/A,B,再作TMAD,MRCD,RQ/BDtQS/BCf则六边形ETMRQS即为平面4记为WW的每个侧AL二WQ图面都是等腰直角三角形，截面多边形卬的每一条边分别与V的底面上的对应边平行，将V的侧面沿棱“B剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形ABSA,而多边形W的周
13、界展开后便成为一条与AAl平行的线段（如图中4）,显然EE=AAi,故/为定值.图当E位于AB1中点时，多边形W为正六边形，而当E移形面积分别为妻P与兴匕故S不为定值.至A处时，W为正三角形，易知周长为定值/的正六边形与正三角13 .在四棱锥V-ABCD中，底面ABeo是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为6的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为解析：如图，作VO_L平面ABCZ）,垂足为0,则Vo_LA8.取AB的中点”,连接177,0”,则V7/JLA8.因为VHHVO=V,所以A8_L平面V77O,所以A8JLO”，所以NV77O为二面角V-AB一C的平面角.易求VH2=%2-
14、aM=4,所以w=2.而0H=8C=l,所以NV4O=60.故二面角V-AB-C的大小是60。.答案：6014 .在空间四边形ABCQ中，平面A8O_L平面BC。，/840=90。，且AB=A。，则A。与平面BCD所成的角是解析：如图，过A作Aoj3f）于点0二平面AB。J平面8CO,平面ABQG平面BCQ=BO,AOU平面ABQ,.AOJ平面BC。，则NAf）O即为A。与平面8C。所成的角.N8AO=90,AB=AD,.ZDO=45o.答案：4515 .如图，AB是。的直径，%_L平面。O,C为圆周上一点，AB=5cm,C=2cm,则8到平面C的距离为cm.解析：由以_L平面。，得出_L平面
15、A8C因为BCU平面ABc所以以_L5C.由AB是。的直径，。为圆周上一点，得AC_L8C.因为如GAC=A,且ACU平面小。，RlU平面外。，所以BCJ平面肉C所以BC为点8到平面附C的距离.在RlZA8C中，AB=5cm,AC=2cm,得BC=NA-AC2=T（cm）.答案：2116 .已知直线/不在,0内,给出下列三个论断：LL0;/a_L/?；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.（填序号）解析：为条件，为结论，命题正确，证明如下：若/人I邙,过/作平面y与平面夕相交于直线凡则/A.因为/_La,所以J.又aU3所以a邛;为条件，为结论，命题错误，如图
16、，长方体中/从at但是/不垂直:为条件，为结论，命题正确，如图，因为/_La,a,?,则/民答案：为条件，为结论（或为条件，为结论）二、压轴考法增分练17 .(多选)如图，在几何体ABC-ABCiD中，平面ABC平面AiBiCiDi,BBi/CCifABBC,88i_L平面AIBlGo,底面4SGOl为直角梯形，AlBJBiCi,E为ABi的中点,CG=A山I=BIG=2AB=2Gd=2,贝J()A.AACDB. BC_LC)iC. AC与QG所成角的余弦值为平D.几何体ABC-AiEA的体积为2解析：选ABDAiB】的中点、为E,连接BE,D1E,则办后。，且SiE=CiDi,二四边形BiC
17、iDiE为平行四边形，：.DiE/CiBhDiE=C由I.：平面ABC平面AifiiCiDi,平面A8C平面BBGC=BC,平面A3Cdl平面33CC=BCI,又BBiCCl,，四边形BBlClC为平形臼边形.：BICl=BC,BCMBC,：.BCDE,BC=DiE,，四边形CBEDl为平行四边形，则B石Cd.Y平面ABC平面A6GO,平面ABC平面AA418=AB,平面461GO平面A山8=A8,.A84S.易知AB=AI&J四边形ABEAI为平行四边形，：.AAi/BEtAACD,故A正确.VBBiCCi,88平面AIBlG。，CC+面481GOI.TBiGU平面AiBiCiDhJCCi-
18、LBiG.又;四边形AiBiCiDi为直角梯形，4lB-LBC,ABi=2CDtBCLCD.CDCCi=Ci,CD,CGU平面CCiDi,BC_L平面CCQ.CAU平面CGoGCDi,故B正确：AACD,AA=CDtJ四边形A4。IC为平行四边形，AC4。，AC与OIej所成的角即为NAQIG或其补角.NAIoIG=NEDlG+NAOE,ZEDiCi=90,而SinNAIOIE=坐，,cosN4OG=CoS(90+N4。IE)=-SinNAIOIE=一坐，即AC与。IG所成角的余弦值为乎，故C错误：三棱柱ASC-AEQi的体积V=3X2X1X2=2,故D正确.18. （2023漳州三模）（多选
19、）在正方体ABCD-ABCD中,P为线段SC上的动点，则（）A. AP平面4G。B. 8O_L平面AeQlC.三棱锥GPDAi的体积为定值7TTD.直线Ap与AQ所成角的取值范围是匕，2AR平面AeBl平面解析：选ABC对于A,YAiBiCQ,48=CD,，四边形AlBcO是平行四边形.ADBCfAIOU平面AIG。，BICC平面AIG。，：.BIC平面AIGO.VBG#AD,BiCi=ADf，四边形G8AO是平行四边形，:ABCD,GOU平面AIG。，A8C平面AlGO,/.Afii/7平面AIGD又BCGA8=8,且BcU平面ACS,AelU平面ACBi,AiGD.而P为线段BC上的动点，
20、APU平面ACB,AP平面AIGO,正确；对于B,.COJ平面AoOlAAGU平面Aoz14,CDAD1.VAlDAD,AiDQCD=DfA1D,CDU平面AIBlCD,.AZ)L平面AHC。，而8。U平面A山ICO,ADBlD,同理可证,CDBD.又CDlAO=O,CDi,Az)IU平面AC。，.8QL平面ACO,正确；对于C,三棱锥G-PDAl的体积即为三棱锥尸一。4G的体积，由选项A可得，P平面ACS,平面ACBl平面AGO,则P到平面AIG。的距离为定值.又底面积为定值，J三棱锥G-PQ4的体积为定值，正确：对于D,.A05C,，直线AP与4。所成的角即直线AP与Bc所成的角.在4AC5中，当点尸与点S或点C重合时，取到最小值去当点P在线段SC中点时，取到最大值去错误.故选A、B、C.ncC. .正方体ABC。-AIBIGn的棱长为1,当EF,G分别是8C,RzIGCiDi,3出的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为.解析：延长EG交CB延长线于点Q,则BQ=1c3,过点。作Q”L,故Er_L平面PW,：.EFA.PF.
