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1、第三章流体流动的基本概念和方程一、本章的教学目的及基本要求目的：使学生理解连续性微分方程、理想液体运动微分方程、实际流体的运动微分方程，掌握恒定总流连续性方程、理想液体元流的能量方程与实际液体总流的能量方程、恒定总流动量方程以及恒定平面势流。基本要求：本章主要讨论理想流体运动的基本规律，要让学生了解研究流体运动的两种基本方法、流动的分类和流体动力学的基本概念，掌握流体流动的连续性方程，掌握理想流体运动的微分方程，特别是理想流体微元流束的伯努里方程和定常流动的动量方程，是学习后续知识及其它专业课的基础，应重点掌握；还应掌握几种流速、流量计的测量原理。二.本章各节的教学内容及分钟分配31研究流体运
2、动的两种方法20分钟军2流动的分类30分钟33流体动力学的几个基本概念20分钟34流体流动的连续性方程30分钟35理想流体运动的微分方程50分钟3/理想流体微元流束的伯努里方程50分钟37伯努里方程应用100分钟3-8定常流动的动量方程100分钟习题课WO分钟实验200分钟共8学时+2学时+2学时三、本章教学内容的重点和难点重点：连续性微分方程，理想液体运动微分方程。难点：应用连续方程、伯努里方程及流体静力学方程联立解决一维流动的流速（或流量）和压强的计算问题。对这部分内容应结合例题加强训练。四、本章教学内容的深化和拓宽深化：理想流体的能量方程的推广，实际流体总流的能量方程在实际工程中的应用，
3、恒定总流动量方程在实际工程中的应用，恒定平面势流的实际意义。拓宽：实际流体的运动微分方程在三维流场中的数值计算，理想液体元流的能量方程的推广，实际流体总流的能量方程在实际工程中的应用，恒定总流动量方程在实际工程中的应用，平面势流的应用。五、本章教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题教学方式：讲授一提问一讲授一习题课实验注意问题：1）概念、原理、计算方法的理解、掌握。注意实际流体能量方程和动量方程计算断面的选取，以及解题步骤与方法；注意有涡流与势流2）注意复习高等数学的导数、微分与曲线积分等基本方法六、本章的主要参考书目工程流体力学（管楚定北京电力专科学校）工程流体力学（上海电力学院成教院）工
4、程流体力学（毛羽冲江西电力专科学校）七、本章的思考题和习题思考题：3-13-3、3-4、3-6、3-7、3-8、3-9、习题：3-2、3-5、36、3-7、3-8、3-11、3-173-193-22、3-23、3-26、3-27一、包含教材章节3-1研究流体运动的两种方法3-2流动的分类3-3流体动力学的几个基本概念二、本单元教学内容（具体到各知识点）3-1描述液体质点运动的两种方法20分钟1）欧拉法2）拉格朗日法3-2流动的分类30分钟1）恒定流与非恒定流2）均匀流与非均匀流3）一元流与二元流、三元流4）有压流与无压流、射流3-3流体动力学的几个基本概念50分钟1）流线与迹线2）流管、流束、
5、元流3）流量4）过流断面5）断面平均流速。三、本单元的教学方式（手段）教学方式：讲授四、本单元师生活动设计教师提问学生思考教师讲授五、本单元的讲课提纲、板书设计（电子教案）电子教案：六、本单元的作业布置思考题：3-1习题：3-1、3-2、3-6七、课后总结一、包含教材章节分分分钟钟钊3-4流体流动的连续性方程253-5理想流体运动的微分方程253-6理想流体微元流束的伯努里方程50二、本单元教学内容（具体到各知识点）3-4流体流动的连续性方程25分钟1）流体流动的连续性方程推导2）恒定总流连续性方程的应用。3-5理想流体运动微分方程25分钟1）理想流体的特点2）理想流体运动微分方程3）理想流体
6、的能量方程4）理想流体能量方程的应用（比托管）3-6理想流体微元流束的伯努里方程50分钟1）理想流体微元流束的伯努里方程2）方程的物理意义和几何意义三、本单元的教学方式（手段）教学方式：讲授四、本单元师生活动设计讲授提问学生思考讲授五、本单元的讲课提纲、板书设计（电子教案）电子教案六、本单元的作业布置思考题：3-3习题：3-3七、课后总结一、包含教材章节3-7伯努里方程的应用习题课二、本单元教学内容（具体到各知识点）3-7伯努里方程的应用100分钟1）均匀流与渐变流的压强分布规律2）恒定总流伯诺里方程（即能量方程）3）能量方程各项意义4）能量方程的应用条件与注意事项5）能量方程的应用（文丘里管
7、）：例题分析（一）6）能量方程的推广（有分流的能量方程与水泵）：例题分析（二）三、本单元的教学方式（手段）教学方式：例题讲述与课堂练习四、本单元师生活动设计讲授提问学生思考讲授五、本单元的讲课提纲、板书设计（电子教案）电子教案六、本单元的作业布置思考题：3-7习题：3-20、3-23、3-24七、课后总结一、包含教材章节3-8定常流动的动量方程二、本单元教学内容（具体到各知识点）3-8定常流动的动量方程100分钟1）动量方程的适用条件2）动量方程的解决问题三、本单元的教学方式（手段）教学方式：讲授四、本单元师生活动设计讲授提问学生思考讲授五、本单元的讲课提纲、板书设计（电子教案）电子教案六、本
8、单元的作业布置思考题：3-3习题：3-27一、包含教材章节第三章小结与习题课二、本单元教学内容（具体到各知识点）15分钟35分钟50分钟第三章小结连续性方程的例题与练习伯努里方程的应用例题与练习三、本单元的教学方式（手段）教学方式：讲授四、本单元师生活动设计讲授提问学生思考讲授五、本单元的讲课提纲、板书设计（电子教案）：电子教案六、本单元的作业布置思考题：36习题：3-25、3-26、第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体薪动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流
9、体的运动参数与所受力之间的关系31研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场(flowfield)：流体质点运动的全部空间。流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日(1.agrange)方法，另一种是欧拉(Euler)方法。一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法,是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。2、位置位示:这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t,任一流体质点的位置可表为：z三(a
10、b,c),y=y=W=(a,brOw=7=(a,b,c,)=r=az(a,bfCrOar%=N-明(.b,c)at*W_QiSIT*0?=o*(a.b,c4、密度表示：流体的密度(density)、压强(pressure)和温度(temperature)写成a、b、t的函数，即P=P(a,b,c,t),p=p(a,b,c,t),t=t(a5b,c,t)二、欧拉法1、分析方法:又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。2、表示：流体质点的流动是空间点坐标(x,y,z)和时间t的函数，流体质点的三
11、个速度分量表示为：u=Cr”,，)Vw-y,)(34)P喻喻.喻式中，u、v、W分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：v=ui+vj+wk式(34)中，当参数X、y、Z不变而改变时间t,则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改变X、y、z,则代表某一时刻，空间各点的速度分布。流体质点压力表示:P=(x,y.t)流体质点密度表示:P=3、流体质点的运动轨迹方程Z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标X
12、、y、z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数:T=N(QZ-第。)(36)式（36）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量d.dydz.五8=五(37)4、流体质点的加速度现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将式（34）中三个速度分量对时间t取全导数，并将式（37）代人，即可得流体质点在某时刻经过某空间点时的三个加速度分量+“空势+w理WxW.彳的二呼+w吧+7兜4卬”adr史V%=罢+笆I口螃四(38)用矢景：表示加速度，即：=
13、.T十”Hi,根据矢量分析的点积公式工g三是矢性微分算子分析：式（38）,流体质点的加速度由两部分组成:OI第一部分，当地加速度（IOCaIaCCeleration）：是由于某空间点上的流体质点的速度随时11yw间的变化而产生的，即式（38）中等式右端的第一项一、“一：ttt。2第二部分，迁移加速度（accelerationoftransport）：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（38）中等式右端的后三项u四、回、W四等“氏说当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（totalacceleration）5、流体质点的加速度的物理意义如图31所示，不可压缩流体流过一个中间有
14、收缩形的变截面管道，截面2比截的速度大。所以当流体质点从1点流2点时,K3-1中向有收缩账的变截面管道内的流动面1小，则截面2的速度就要比截面1由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度；如果在某一段时间内进管道的流体输人量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。6、空间点流体质点和空间点是两个截然不同的概念,空间点指固定在流场中的一点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式（3一9）的形式，即(310)式中，括弧内可以代表描述流体运动的任
15、一物理量，如密度、温度、压强等，可以是标量（scalar）,也可以是矢量（VeCtor）。旦J称为全导数，称为当地导数，（V.）称nta为迁移导数。三、欧拉法比拉格朗日法优越的原因采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三:Ol是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。2是采用欧拉法，加速是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。03是工程实际中，并不关心每质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现的某些问题
16、中还是方便的。象以及计算流体力学（numericalntridme-anics四、例题讲解3.2流动的分类流坏越勒在流体力学中，为掌握流体流动的基本规律，对不同类型的流动从简到繁，由浅人地进行研究，也要对流体的流动进行分类。通常，流体的运动可以从流体的性质，运动特征分成如图32所示的几类。一、定常流动和非定常流动（steadyflowandnon-steadyflo、V）或稳定流动和非稳定流动可乐尢徙漉劲1、分类依据：根据流体的流动参数是否随时间而变lPr日图33流体的出流2、定义：图32流体运动分类定常流动：运动流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而只随空间点位置
17、不同而变化的流动。非定常流动：运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动。3、举例说明:如图33所示装置，将阀门A和B的开度调节到使水箱的水位保持不变，则水箱和管道中任一点（如1点、2点和3点等）的流体质点的强和速度都不随时间而变化，但由于1、3各点所处的空间位置不同，故其压强速度值也就各不相同。这时从管道中流出的射流形状也不随时间而变。这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的流动，称为定常流动。现将阀门A关小，则流人水箱的水量小于从阀门B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流体质点的压强
18、和速度都逐渐减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动，称为非定常流动。4、定常流动参数表示定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标X、y、z的函数，而与时间t无关。V=DGrQW三u（x,7,）b11）由于是定常流动，故其速度、压力和密度等流动参数对时间的偏导数等于零，即”竺W冲印_088rX(3-12)因此，定常流动时流体加速度在各坐标轴方向的分量可简化成at-l9V”a.u-Vw-9Over皿lM.awuFFw(313)结论：由式（313）可知，在定常流动中只有迁移加速度。例如图33中，当水箱的水位
19、保持不变时，2点到3点流体质点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，例如流体质点在等截面管道中的流动（3点到4点）。5、定常流动研究意义在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流动都是定常流动。又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。一维流动、二维流动和三维流动(OIledimenSioIlalflOW、twodimensionalflowandthreedimensinalflow)1、定义：一
20、般的流动都是在三维空间的流动,流动参数是X、y、Z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维流动。当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流动参数在某些情况下，仅是x,y两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流动。2、说明如图34所示的带锥度的圆管内粘性流体的卜流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴线距离X的函数，即：u=u(r,-1.X)O显然这是二元流动问题。工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值U。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标X有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：U=U(X)o如图35所示的绕无限翼展
21、的流动就是二维流动，写成：V-u(：x,J)t+tCry)j如图36所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动可写成：T=Ii(Z,yz)i4-(x*y,x-一VtW3-43内汽动速度分布二维流动的参数以速度为例，可,三维流动的参数以速度为例，)JUi,jrbr)k三第35烧右跑冥胫的澹动第35绕无限翼展的械功3.3流体动力学的几个基本概念一、迹线(pathline)1、定义流场中某一质点运动的轨迹称为迹线。例如在流动的水面上撒一片木屑，木烟随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地
22、看出质点的运动情况。2、数学表达式迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：虫=Owdx“d,-O上式又可写成tr_4ydzm(,v,z,r)DGry.zr)to(,r)口_式(315)就是流线的微分方程，式中时间I是个参变量。三、流管和流束(streamtubeandstreambundle)1、流管定义:在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。2、流管特性：因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流人或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流
23、体限制在管内流动。3、流束定义：过流管横截面上各点作流线,则得到充满流管的/7/一束流线簇，称为流束。11JU4、流束特性:如图38所示。在定常流动中，流束的形状9J阳3-3不随时间而改变；在非定常流动中，流束将随时间而改变它的形状和位置。四、有效截面1、定义：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线互相平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图39所示。有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的五、流量和平均流速1、流量单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量（Vohimetricffowrat
24、e）,以qv表示。其单位为m3/S、m3/h等。单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量（massffowrate）以qn表示，其单位为kg/s、t/h等。由于微元流束有效截面上各点的流速V是相等的，所以通过微元流束有效截面积为dA的体积流量dqv和质量流量dqm分别为：-VdA（36）d-=WdA（317）由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为A的流体体积流量qv和质量流量qm分别由式（316）和式（317）积分求得，即（319）2、平均流速以上计算必须先找出微元流束的速度V在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是不能用解析法来确定的。在工程计算中为
25、了方便起见，引人平均流速（meanvelocity)的概念。定义：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速V流动时所得到的体积流量相同。若以表示平均流速，按其定义可得：(320)D=生人(321)3.4流体流动的连续性方程连续性方程(equationofcontinuity)是质量守恒定律(IaWOfmaSSConSerValion)在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流
26、人的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流人的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。一、直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz,如图310所示。图310滩场中的数元平彳了六面体假设微元平行六面体形心的坐标为X、y、z；在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、动情况。W;流体的密度为P。现讨论流体经六面体各面的流1、分析X轴方向由式(34)和式(35)可知，U和P都是坐标和时间的连续函数，即“u=u
27、(x,y,z,t)和P=P(x,y,z,t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿X轴方向从左边微元面积dydz流人的流体质量为=pG,y,w)yw(xy.dzdrTP一氏竽j卜一壬周如Udl同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为k三)(.wS!wz(3_22)上述两者之差为在dt时间内沿X轴方向流体质量的变化，即Ip,d+itIdytird一(pt)d.rdydtdt(32、分析Y轴和Z轴方向同理可得，在dt时间内沿Y轴和Z轴方向流体质量的变化分别为:g()dxdjdzd/w10(326)式（326）为可压缩流体非定常流动的连续性方程。6、可压缩
28、流体定常流动的连续性方程若流体是定常流动，则2：=O,上式成为里出”出一垃Q.O(3-27)7、不可压缩流体的连续性方程若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动p均为常数，故式（327）成为些+空+虹0船”(3-28)物理意义：在同时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流人的体积流量与流出的体积流量相等。在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿X、Y两个坐标轴方向发生变化，则式（328）可以写成由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。二、
29、微元流束的连续性方程在工程上常遇到一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束（图311）。微元流管的形状不随时间而改变。又根S3-11/等中的微元前束假定流体的运动是连续的、定常的，则据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即PMdA.=Qy/4KPVdA-常数（3-JU）式中dA、dA2-分别为1、2两个有效截面的面积；Vi、V2-分别为dA和dA2上的流速，也称为真实流速；P1.P2一分别为dA和dA
30、z处的流体密度。对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（330）进行积分得ftVxdl3=/匕d4-WdA-常敏、%（331）式中Al和A2一分别为总流1和2两个有效截面的面积。式（331）为一维流动积分形式总流的连续性方程。设彳和可：是总流两个有效截面1和2上的平均流速，则式（331）可写(332)式中Pl和P2分别代表截面Al和A2上的平均密度。式（332）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩流体P二常数，则式（332）成为VA-W（333）式（333）为该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数；
31、平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。三、例题讲解3.5理想流体的运动微分方程在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz,如图313所示。由于是理想流体，没有粘性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。3-13推导取找运劭方程用图假设六面体形心的坐标为Xyz,压强为po先分析X方向的运动，在垂直于X轴的左右两个平面中心点上的压强各等于由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质
32、量的质量力分量为fz、fy和大，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在X轴方向的分量为frpdjcdydz又流体微团的加速度在X轴上的投影为DU,则根据牛顿第二定律得X轴方向的运Dt动微分方程*ii11Jjd-黑手IdwZ-I。+黑竽IdJ/t/fI*-fc4t=pdxdydz需将上式各项除以流体微团的流体质量冈xdydz,化简后得：.1OADw九i=而同理这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为欧拉所提出，所以又称欧拉运动方程。对于静止的流体，U=V=W=O,则由式（334）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡方程式（23）。因此欧拉平衡方程只是欧拉运动方程的一个特例。如果
33、把加速度写成展开式，可将欧拉运动方程写成如下形式八一工艾U.3,W.Dh11u-+wPar&az町-l蛇9V.9V.W.-Fu-k+口十Wi3X在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy、fz是已知的，对理想不可压缩流体其密度P为一常数。在这种情况下，式（335）中有四个未知数：u、V、W和p,而式（335）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（3-28）,就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。3.6理想流体微元流束的伯努里方程一、 理想流体微元流束的伯努里方程1、假定条件理想流体的运动微分方程（335）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：（1）不可压缩理想流体的
34、定常流动；（2）沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；（3）质量力只有重力。2理想流体微元流束的伯努力方程（Bemoullisequation）假定流体是定常流动，则有*一、MgaW*ourayar因此式（335）可写成PHX&U.MlU二FVFW-ar9Z_1.?OV=Il-V-4-1,w1.r三udt将式（338）代人式（337）中的对应项；则得fAr1-u-u-dvf-w-dyMdapt9fAy-dy-t,dx+v-ij,+v-ddt,ftdz-d?三wd-4+w-dy+Rdz=wdwPM9X”虹/将式（339）的三个方程相加，得到(/,ds4.yfdz)当u+普可PIa,ay：-HdH+
35、vdv+tt,dtc?(3-40)由于式(340)中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。式（340）中的察c+券9+断-udJ-vdv+WdW-Jd3)/十wt)=-dV*假设质量力只有重力，fx=O,fy=0,fz=g,即Z轴垂直向上，OXY为水平面。则式（340）可写成&dz+-dj0+dV1.0又假设为不可压缩均质流体，即P二常数，积分后得(341)式（341）称为理想流体微元流束的伯努里方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（341）也可写成工科上叭一7444吟港+亚港F
36、（3-42）在特殊情况下，绝对静止流体V=O,由式（341）可以得到静力学基本方程Z=W=常数Pg3、方程的适用范围:理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。二、 方程的物理意义和几何意义1.物理意义理想流体微元流束的伯努里方程式（341）中，第一项z表示单位重量流体所具有的位势能（elevationenergy）：第二项p/（Pg）表示单位重量流体的压强势能（PreSSUreenergy）；第三项V2/(2g)；单位重量流体具有的动能(kineticenergy)质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为mV2/2,则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)
37、即(mV22)(mg)=V2/(2g)。位势能、压强势能和动能之和称为机械能(mechanicalenergy)。因此，伯努里方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努里方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。2、几何意义理想流体微元流束的伯努里方程式(341)中，左端前两项的几何意义，第一项z表示单位重量流体的位置水头(elevationhead),第二项p/(Pg)表示单位重量流体的压强水头(PreSSU
38、rehead),第三项V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于速度V,在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头(velocityhead)。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图314所示.图3-14总水头线和解水头线图因此伯努里方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。3.7伯努里方程的应用理想流体微元流束的伯努里方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管（Pitottube）和文特里（Venturi）流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努里方程的应用。皮托管1、液体流速测量在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速,从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图315所示。
