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1、概率论与数理统计练习(一)注意：以下是可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值:zO-OlZO.O25Z0.05(24)%.O25(24)%05(24)(0.4)(0.8)(1.2)2.3261.961.6452.49222.06391.71090.65540.78810.8849一、填空题1 .A、B、C是三个随机事件，且A与B相互独立，A与C互不相容。已知P（八）=0.2,P(B)=O.6,P(BC)=O.5,P(BC)=0.4。请计算以下事件的概率：P（八）=,P(AB)=,P(AC)=,P(C)=,P(A+B)=,P(CIB)=o2 .假设有某种彩票叫“10选2”，每周一期。其规则
2、是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注，每注1元。如果所选的2个数与本期出奖的结果(也是从1到10中不重复选出的2个自然数)完全相同，则中奖，奖额为40元。则购买一注彩票能中奖的概率是o引进随机变量X,如果买1注彩票中奖了则令X等于1,否则令X等于0,那么X服从分布，X的数学期望等于o3 .已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有丫个儿子，如果生男孩的概率为0.5,则Y服从分布。这对夫妇恰好有一个儿子的概率是o他们的孩子的男女性别比例最可能是O4 .假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(POiSSon)分布乃(100)来描述。则东莞市公安机
3、关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为。东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为次。5 .指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命(单位:小时)的密度函数为=o.oo0001zo,t0其它则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为,这种电器的平均寿命为小时。6 .根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有%新生婴儿身长超过53厘米，有%新生婴儿身长不足48厘米，身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占%。7 .设随机变量XN(20,9),YN(20,16)
4、,且X与Y相互独立，则X+Y服从分布,X-Y服从分布。P(X-Y0)=,P(X+Y36)=。8 .已知E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=3,E(Y2)=17,X和丫的相关系数PXy=-1/6则D(Y)=,E(X2)=,D(X+Y)=,D(Y-2X)=。9 .设X1,Xz,先是来自总体X的简单随机样本，则X.(是或不是)总体均值的无偏估计,X2-X1(是或不是)总体均值的无偏估计，(Xz+X)2(是或不是)总体均值的无偏估计。以上属于无偏估计的统计量中最有效的一个为，10 .已知随机变量X与y相互独立，且x(40),y-z2(80)o则2xy服从分布。11 .设X.,X20及,.,Xo分别是
5、总体N(20,10)的容量为20和30的两个独立样本，这两组样本的样本均值分别记为兄,Z。则反服从分布,N-P服从分JO(yi-y)2布，上1月10二、计算题2y,0yl,0,其它1 .设随机变量X,Y的概率密度分别为：f(y)=fx(X)=21.5=_,152S：-7Dl_9彳016,S；此题中(l)=0.8413,(2)=0.9772,(3)=0.99878、设X,Xz,X3是总体X的样本，下列的统计量中，一是E(X)的无偏统计量，E(X)的无偏统计量中统计量最有效。A.X1+X,-X3B.2X,-X,C,-(X1+X2-XJD.X1+X29.设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布
6、;rU),X,.,X7为总体X的样本，E(X)的矩估计量为,160,168,152,153,159,167,161为样本观测值,则E(X)的矩估计值为10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一-类错误是指：也称为错误。二、已知随机变量X的密度函数/(X)=X2,O2x+00,其它求：(1)常数,(2)p(0.5X4)(3)X的分布函数F(X)。P*()r三、设随机变量X,Y的概率密度分别为：fx()=0,其它fl,Oy1,f(y)=廿，且随机变量x,y相互独立。O,其匕(1)求(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)(2)计算概率值pY2X。求Z=1-2X概率密度fz(z)四、从总体XN(,2)
7、中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本方差分别是:X=80,S2=9,Z0025(24)=2.0639,X975(24)=12.4,x025(24)=39.36求的置信度为0.95的置信区间和2的置信度为0.95的置信区间。五、设总体X服从均匀分布U(。,份，X,X是X的一个样本，求的矩估计量六、某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布N3,b2),%0,有-1成立14、若XU(-1,5),方程了2+2乂+5*-4=0有实根的概率为。15、一箱产品，A,B两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是A厂生产的概率为C16、一个系统由1
8、00个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为0.2,已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为。17、设总体X服从参数为2(40)的指数分布才2,弱为1的一个样本,其样体均值X=2,则4的矩估计值;1=。r-1X1,-y1;18、设二维随机变量(尤K)的概率密度为/(%,y)=4.0,其他，则p(x+yD=。19、乂（1,4）,丫7（1,16）,且*与丫相互独立，令Z=2X-y,则=。20、设%,乙，*”是取自总体（。2）的样本，则统计量士力（X）2服从。七!,1“_2分布，则统计量一1Z（,-又）服从分布。/=I21、设小,
9、松,必为来自总体I的一个样本，5?）,则的置信度为0.90的置信区间长度为o（o5=1.645）22、设样本X,X2一,X自总体XN（4q2）,已知，要对/作假设检验，统计假设为“o：b2=cr；,”|：b2wb；,则要用检验统计量为。给定显著水平,则检验的拒绝域为。23、若。，幺，o相互独立，4N（从,62）,j=1.2,，10,则。，$，o的函数/2=-Z2(IO)二、二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(,y)=,AeF+2%0,x0,y0其他求：（1）系数A；（2）X,丫的边缘密度函数；（3）问X,丫是否独立。三、设（x,y）的密度函数为、（8孙Oxy,Oyl,“Q=t,其它.求：（1
10、）求EX,（2）分别求X、Y的边缘密度；（3）X、丫是不独立？四、设总体X的密度函数为,0=kI0,i其中未知参数万,x,x?，X”为取自总体X的简单随机样本，求参数月的矩估计量和极大似然估计量.五、设总体XnJ,2）,其中且与02都未知，-OOVZZ0.现从总体116X中抽取容量=16的样本观测值（七，x2,，X16）,算出5=Zw=503.75,s=QN(Xi-元F=6.2022,试在置信水平1一。=0.95下，求的置信区间.V15j=(已知FO5(15)=1.7531,r0,05(16)=1.7459,025(15)=2.1315,0.025(16)=2.1199).六.某厂生产的一种元
11、件，其寿命服从方差的正态分布，现换一种新工艺生产该元件，从生产情况看，寿命的波动比较大，现随机取26个，测得样本差二12,试判断用新工艺生产后，元件寿命波动较以往有无显著变化.（=0.05）（附:Jd.o25(25)=40.65,N(1975(25)=13.12)七、某批矿砂的5个样品中的锲含量，经测定为（）3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在=0.01下能否接受假设：这批矿砂的银含量的均值为3.25O（f0.005（4）=4.6041）概率论与数理统计练习四注意：以下是可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：&)25(15)ho5(15)
12、%心（24）小。5（24）(2)(0.8)(l)2.13151.75312.06391.71090.97720.78810.8413一、选择填空题1 .A、B是两个随机事件，P（八）=0.3,P（B）=0.4,且A与B相互独立，则P（AjS）=;（八）0.7（B）0.58（C）0.82（D）0.122 .A、B是两个随机事件，P（八）=0.3,P（B）=0.4,且A与B互不相容,则P（AJB）=-（八）0（B）0.42（C）0.88（D）13 .已知B,C是两个随机事件,P（BC）=0.5,P（BC）=0.4,则P（C）=;（八）0.4（B）0.5（C）0.8（D）0.94 .袋中有6只白球,
13、4只红球,从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为:;84126（八）T?-（C）不（D）-5 .袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只,如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为:；84126（八）（B）77（C）（D）16 .在区间0,1上任取两个数,则这两个数之和小于5的概率为:（八）1/2（B）1/4（C）1/8(D)1/167 .在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2,通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3,通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是I（
14、八）1(B)1/2(C)1/3(D)1/68 .己知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有丫个儿子，如果生男孩的概率为0.5,则丫服从分布.（八）(0-1)分布(B)5(4,0.5)(C)N(2,l)(D)万9 .假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X可以用泊松(PoiSSon)分布11()来描述.已知PX=99=PX=100.则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为次.（八）98(B)99(C)100(D)10110 .指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命(单位:小时)的密度函数为O.OO2-oo2z0,r0其它则这种电器的平均寿
15、命为小时.（八）500(B)5000(C)250000(D)25000011.设随机变量X具有概率密度kx,0x20)（八）97.72%(B)2.28%(C)84.13%(D)15.87%20.已知XB(10,0.1),则E(x2)=（八）1（B）0.9(C)1.9(D)1.8121.己知E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=3,E(Y2)=10,X和Y相互独立,则D(X+2Y+1)（八）4(B)5(C)6(D)722.已知E(X)=1.D(X)=2,E(Y)=3,E（Y2尸10,X和Y的相关系数夕Xr=-近/6.则D(2X+Y)19（八）了23(B)29(C)T31(D)23.设随机向量（X
16、,Y）具有联合密度函数f(,y)=O,yO,0,其它.则密度函数中的常数A=.24.1. 随机变量X,Y的概率密度分别为：2x,Oxl,X3Oy1.fx一0,其它,人一0,其它,己知随机变量X和Y相互独立.则概率?y-X0I1 234（八）-(B)-(C)-(D)-25 .设X,X2,X3是来自总体X的简单随机样本，则下列统计量Tl=X=g(Xl+X2+X3)Z=gXl-2-3中是总体均值的无偏估计量.（八）7；不口石(B)(和与(C)石不口7；(D)TT211T326 .在第25小题中,属于无偏估计的统计量中最有效的一个为.（八）7)(B)T2(C)T3(D)T,227 .已知随机变量X与y
17、相互独立，且X(20),y(40),则2y服从分布.（八）Z2(60)(B)F(20,40)(C)F(l9,39)(D)/(80)28 .设X1,.,Xzo是总体N(20,10)的容量为20的一个样本，这个样本的样本均值记为又.则X服从分布.（八）N(20,10)(B)N(20,g)(QN(l,；)(D)N(1.lO)29 .设XN.,Xzo及K，)分别是总体N(20,10)的容量为20和30的两个独立样本，这两组样本的样本均值分别记为X9Y.X-Y服从分布I2255（八）N(O,)(B)(20,-)(C)N(20,7)(D)N(0,7)556630.在第29小题中，PX-Y-=.(D)15.
18、87%（八）57.62%(B)78.81%(C)84.13%20_W(Xj-x)231.在第29小题中,但服从分布10（八）Z2(20)(B)z2(19)(C)Z(19)(D)r(20)32.设总体X在区间(0,。)上服从均匀分布,参数。末知,XiX2，x是来自总体X的样本,则。的矩估计量为.（八）=X(B)=2X(C) =3X(D) =4X33 .设总体XN(q2),参数/已知，4末知,X,X2,，X是来自总体X的样本,则的极大似然估计量为I（八）=X(B)A=2又(C)=3X(D)=MX34 .假设检验的第一类错误(弃真)是指:（八）o为真且接受“o(B)（八）H0为真但拒绝HO(C)o为
19、假但接受o(D)o为假且拒绝HO35 .两个正态总体的方差的假设检验中选择的检验统计量为IX-X-40（八）Z=TT2(11-D52f7S12(C)Z=2(D)卜=三？b()二、计算题1.欲调查某地居民每月用于食品的消费支出.随机抽取了16户家庭进行调查,发现平均每户家庭每月用于食品的消费支出为810元，标准差为80元.假设该地区每户家庭每月用于食品的消费支出服从正态分布.(1) 以90%的置信度构造该地区平均每户家庭每月用于食品的消费支出的置信区间。(2) 以95%的置信度构造该地区平均每户家庭每月用于食品的消费支出的置信区间。(3) 从以上两个置信区间找出置信度与置信区间宽度的定性关系。.2.随机抽取某班25名学生的概率统计课程的成绩,算得他们的平均成绩为70分标准差为5分.假定该班的学生成绩近似服从正态分布,请解答下列问题：(1)取0.05的显著性水平检验“该班学生的平均成绩是75分这一命题能否接受。显著性水平为=0.05,问该班学生的成绩的方差?是否为30.。其中Zo三(24)=39.364,忌加(24)=12.401,z,05(24)=36.415.
