《2024指数函数与对数函数的交点个数问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024指数函数与对数函数的交点个数问题.docx（15页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2024指数函数与对数函数的交点个数问题指数函数y=优与对数函数y=iogfl交点个数问题论题：指数函数y=优3Ofia1)与对数函数T=IOgaX(a0且1)交点个数问题.分l及0l时,过原点O(0,0)作y=的切线/,设切点为P(XO,%)*V=优Ina*=J71=QIn。IX=Xor厢又,&=&=Q.=*in从而M=QkgInQ=GlnQ当g=1,即eln=l,亦即八时，P在y=%上，/.x0=y0这样就有ax=X09/.IogrtXO=X0，P(XO,打)是y=A与y=IOgax的公共点.当M1,即eln41,亦即。y时，y=与y=X相离，y=,与y=log”x没有公共点.当&1,即e
2、lnvl,亦即1Qye时，y=1与y=%有两个公共点M(X,y)那(七,当)，同理可知”(阳，弘)，阳%2，为)均是V与y=bgx的公共点.引理：当l时，y=优与y=Iog.%不可能有不在y=x上的公共点.证明:用反证法.假设y=”与丁=108“工有公共点2(5),50,-1,由得=S.y=单增,又S，优由此式结合可知，S,与S，矛盾.同理当，5时亦矛盾.从而假设不真.所以，引理得证.由上可知：当1。八时，y=与y=log有两个公共点，当=C时，y=与log,/有唯一公共点，当4加时，尸优与y=kg,M没有公共点.()：当OVaVl时,作函数/CO=。*-Ioga%,易知Hm/(x)=一co,
3、Iimf(x)=+x0+x+不妨设=e(ZnV0),贝I/(X)=/-1.lnx,m过原点作V=1.的切线,则切线的斜率左=elne=-me当-me,即m_e时,/(幻0恒成立.从而/(x)单增，/3有唯一的零点.当-me疝,即m-e时,不妨设y=emx与y=m2x父于两点M(M,y),N(GX2),(M0,当XW(X,电)时,f(%)v,当X*2,)时，fx)0，f(x)的单增区间为(0,x1),(x2,),单减区间为(x2)f(x)在R=M处取得极大值,且/(xl)0,f(x)在X=X2处取得极小值,且U2)0及/(/)0的结论,可证明如下：设y=ewx(n-e)与y=X的交点为(称七)1
4、tn-1 11peV0 m-e/7Z-1ce即当x时，y=的函数值小于y=冗的函数值，数形结合可知七eey=*t(m-)与y=%的交点为(当X3从而InX3=nvc3于是/(X3)=e-Inx3=X3-mx3=0mm又.f()=-m2x3-mx2temx3em3_1一-%；(1+nx3)(l-nx3)-mxjemx3-*1.Vtn0,1-frc30,一wcemxy01又.3一，Inx3-1,/.1+mr31+Inx30ez()0,当xC,X2)时，,(x)O.X3(x1,x2)又:/(x)在区间(X,%2)单减及F(X3)=。可知/(斗)O且/*2)Vo由上可知：当机-e即6一Vl时，y=优与
5、y=log有唯一公共点,且此公共点在y=x上，当加一6即OVaVee时，y=相与y=10gflX有三个公共点,且有两个不在直线X上，但关于X对称，而第三个公共点在直线y=x上.综合上述,我们可以得到如下结论：当12atcosa+=O,1的长度=，I_U=(+r2)2-4r2同理可证所以4的长度和4的长度相等。注：（1）双曲线不与渐近线平行的平行弦系中点的轨迹称为双曲线的直径;（2）若双曲线-j=1的一条直径为y=mx，则其共挽直径为户5/My=。（限.2于篇幅，这里不作证明），故两条共挽直径的斜率之积为KW?=7性质五若等轴双曲线经过直角三角形的三个顶点，则直角顶点处的切线垂直于斜边。角形AB
6、C其余两顶点别为证明：如图4,设等轴双曲线方程为孙二c2,直角三的三顶点在等轴双曲线上,设直角顶点A的坐标为(d,)，t为B(Ch,与、C(ct29-)t则直线A8、AC、BC的斜率分八Ffl1),CC力111*=不厂一飞AC=-三，kBc=-瓦。：ABA-AC,：.，一二-1。产品过点4的切线为X+y=2Cf,此切线的斜率为欠二一，kkffc=一=-1,即直角顶点A处的切线垂直于斜边Ba产牡性质六若等轴双曲线经过一个三角形的三个顶点，则它也经过此三角形的垂心。X=Ct证明：如图5,设等轴双曲线的方程为Ic,A8C三个顶点在双曲线上，坐标分别为y=一ItA(cp-)、B(CfB，)、(cQ，)。G过点A、8的直线方程为：y-=一一-(x-ca),屋NBAB边上的H所在直线的为：y=tAtfi(xctc),即y+ctAttc=C(+一)。同理，BC边上的高所在直线为：y+ctAtBtc=tBtc(x+-)-.BBfC从、式可以解得垂心H的坐标为(二-,-CC)，Nbc它满足等轴双曲线方程肛二。2,故等轴双曲线经过这个三角形的垂心。X=Ct最后，需要指出的是：将等轴双曲线的方程设成一般式f-y2=q2还是参数式，C(或k=7者町,=/),会影响到变形的繁简程度，故要视不同的条件、结论来选定。
