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1、高三数学试卷(理)一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A=H-x2,00,集合8=yy=,xa(其中0).若BqA,则的取值范围是A.,jB.C.1,+)d.(0,11 .【解析】由题，知/(x)=d在卜4,2单调递增，故其值域为一诡城,即二卜小初,cc*NCt11要使得B=A,则1,解得-,所以的取值范围是0,-,故选B.8f221.2【答案】B2.已知i是虚数单位，则(l+2)(l】)=()1+iA.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i,如C(l+2i)(l-i)(l+2i)(l-i)2(l+2i)(-
2、2i),.痂4R【解析】=2-1,故选B1+i(l+i)(l-i)2【答窠】B3 .在5C中，“ARA(j0是A5C为锐角三角形”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A3AC0等价于NA为锐角，但不能确保A5C为锐角三角形，充分性不成立；反之，BC为锐角三角形，则NA为锐角，故A3A0,必要性成立.故选B.【答案】B.4 .已知Sn是等差数列%的前项和，且S2=S7,S6=Skf则欠的值为OA.2B.3C.4D.5【解析】由S2=5?可知，a3+a4+a5+a6+a7=0f即6=0另一方面Se=Sjt,所以S6-S*=4+6=0,故&=3
3、.故选B.【答案】B.5.已知函数y=cos(沈+0)(690,000时的图象即可。对于选项A,当10时，/(x)=x2-21nx,所以尸(力=2彳_：=2(一1),因此/*)在X=I时,19V2-1取得极小值，故A错误；对于选项B,当x0时，/(x)=x2-lnx,所以/(%)=2工一二一,因此/(%)在1=方-时，取得极小值，故B正确。对于选项C,当x0时，/(x)=x-21nx,所以2r-2(x)=l一一=，因此/(x)在x=2时，取得极小值，故C错误。对于选项D,x0时，XX/(x)=x-lnx,所以广(力二1一二七4，因此/(x)在X=I时，取得极小值，故D错误。综上，故选B【答案】
4、B8 .设点。是双曲线C:一亲=l（qb0）右支上任意一点，设NP耳鸟=,APF2F,=,若4tanq=tan2,则双曲线。的离心率是（）22545，A.B.-C.-D.4433【解析】设/为APE6的内心，连结尸/,y,并作）_1.鸟于点O,则有atan2IDtan_IDIM2DF2因为4ta吟=tan,所以IM=4明.而mI叫十号一匹!=叫”I+?H叫c5S所以+c=4（c-）,所以上二士，即离心率e=2.故选C.v7a33【答案】C.9 .在AABC中，AB=I,AC=2,点P为A48C内（包含边界）的点，且满足AP=XA8+yAC（其中x,y为正实数），则当孙最大时，上的值是（）XA.
5、-B.1C.2D.与NA的大小有关2【解析】过点尸分别作A8,4C的平行线，与AB,4C的公共点分别是RQ.由基本不等式，知冲x+y2首先，对于固定的NA,要使得个最大，仅需移网用最大，即个网国卜in4最大，即平行四边形AWW的面积最大，显然P需与比C共线，此时x+y=l.I=-,当且仅当x=y=1.时，取到等号，此时2=1.142X【答案】B10 .已知四面体A5CD被平行于AB和CO的平面0截成两部分，a与四条棱4C,BC,40,B。的公共点分别是区尸,H,G,且满足AE:EC=2:1,则多面体ABER汨和COEEG”的体积比是（）.一JK-；【解析】如图，将四面体ABCO放入相应的平行六
6、面体中，不妨设该平行六面体的体积为6,则ABCO的体积为2.现利用割补的思想和图形相似，仅需求平面上侧的体积即可.Vh=IX6-2x()1一2X.所以其比值为一，故选B.【答案】B.二.填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知抛物线C:y2=2x,则其焦点尸的坐标是,；若C上的点M到尸的距离为一，则2的面积是.（其中0为坐标原点）【解析】由题可知尸由焦半径公式与+；=羡,所以XM=8,因此IyM=4,故SAoFM=Jg4=l12 .个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是；体积是,便视图【解析】由三视图可知，原图为单位正方体和直径与高都为1的圆柱所构成
7、的简单几何体.+211-=4+(2+1),易求得表面积5=4j2+2xx【答案】4+-,1+-.242x-y013 .已知实数x,y满足+lO,且点尸(x,y)所在区域面积为1,则加的值是.4x-3y+w0z=x2+y2-2x的取值范围是.【解析】由题作出可行域(如图所示)，则点A(1,O),8(1,2).l=lyc-lyfl,所以%=4,因此C(2,4),故m=Y2+34=4;因为Z=f+y2_2=(x)2+y2一,所以由几何意义知Zmin-o+,M(T)2,T=1，ZmaX=(2-l)2+42-l=16,14 .设20必必各个数位上不同数字的个数为景规定：万万各个数位上不同数字的个数为1)
8、,则J=4时的概率是,J的数学期望E(J)是【解析】由题，知J可取123,4.P(D=I;S二生铲;%=3)=C；CC+用432To-7or,P(E=普嘴所以土)=Jt+2T+3x华+4x普=生tIOIO3IO3IO3100O【答案】0.504,鬻15.已知四边形为单位正方形,点P为直线BC上任意一点，Q为射线AP上一点,且满足卜斗卜。|=1,则ICQl的最小值是【解析】分别以B,A。为X轴和)，轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),C(1.l),直线BUx=I,设=2P(l),Q(x,y),则有一工，消去，知f+y2t=o(o)x+yt=1所以点Q的轨迹方程为卜-gJ+y2=jo),是以(
9、；,o)为圆心，；为半径的圆.所以ICQ1.=-f+T=亨【答案】尘.2a2h116.已知正数,b满足3+=14,则一十的最小值是.a,且上+bb+24a+2b力+2【解析】因为。,力0,所以上一+竺竺a+2b42因此一十a+2bb2b+2a+h-a+2b4b+24)3cZ?2_*J,4a+2ha+2b4b2_b+2J+2-l-【答案】3.17.若不等式2%f-l）-lk）g2Uy0,对任意的正整数X恒成立，则Z的取值范围是1.f+1_fx_ni0由不等式的几何意义可知，当cN“时，函数）=，的图象位于=4+1和=尢一,之间.24设g(x)=x-；-(+l=X一!一;在1,)单调递增,且g(l
10、)=_q0.由零点存在定理，知，有且仅有一个a0（1,2）,使得g（x0）=0.作出函数y=-+l和y=x的图象（如右所不）.24现仅需当X=I和X=2时，满足），=，在=4+1和y=X-!的图241rF1象之间，即=5.5219 .(本小题满分15分)如图，三棱台ABC-O石尸中，G为AB的中点，M,N分别是CEGE的中点.(I)求证：MN平面ABC；(11)若平面3。在1_平面43。，A5C是以C为顶点的等腰直角三角形，E=EF=FC=1.bC,2求二面角M-AD-N的余弦值.【解析】(I)连接EM并延长交BC于点H.EMFM因为EF/BC,且M为尸。的中点，所以MHMC而叫=旦二故生=空
11、，所以MN/IGH.MCNGMHNG又MVo平面A3C,GHu平面A8C,因此MN/平面A3C.(II)如图，连结B/，在平面ACFD内，过点尸作户KJ,AO,连结BK.在等腰梯形5C庄中，因为BE=EF=FC=1.BC,所以/FEB+/FCB=兀.2由余弦定理，在ABC尸中，BF2=CF2+CB2+2CF-CBcosFCB；在Eb中，BF2=EF1+EB2+2EFEBcosAFEB.所以COSN/C8=1，且BF=且BC,由勾股定理知3b1.R7.22因为平面3CFE_1.平面ABC,且C4J_C8,所以C4_1.平面BCFE,所以C4_1.B/.又BF.FC,所以区/，平面AcTO,因此3
12、尸J_A.而FKl.AD,所以ADJ_平面BFK,所以Az)J_5K,故NBKr即为二面角MADN的平面角.在直角MZS中，KF=1.BC,BF=BC,所以BK=巫BC,故COSNBKF=巫，42413即二面角M-AD-N的余弦值为巫.13Y4-Y4-120 .(本小题满分15分)设函数F(X)二-(R)(e为自然对数的底).e(I)当=l时，求函数/(幻的单调区间；(11)当1时,求函数/(x)在区间上的最大值.解：(I)当环1时，/()=2+1,=ee所以/(x)=0时，x=0y2=1；当x1时，/()O所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-?,0),(1,?)11，/
13、-(x-l)x-(l-tz)人,7八11(II)f(x)=，令/(x)=O,xi=1,2=1-a；et当IVI-a2,即IVaVo时，f(x)在-1,1)单调递减，(1,1-。)单调递增，(1-2单调递减所以/(x)三=max(-1),/(1-Q)=f(-D=Q-a)e；当I-4=1,即4=O时，/(x)在-1,2单调递减，所以/(x)11三=/GD=(2-)e；当-Kl-a(i),/(x)max=/(-1)=(2-)e,当埠D?c2时，/(1)?/(1),f()ma=AD=N;e+1e当1。？1,即32时，/3)在卜1,1)单调递增，(1,2单调递减，所以/(X)max=/(1)=-；综上所
14、述:/Wmax=(2-)e,ab0)的离心率为与,且原点到过点A(0,)和B(AO)的直线的距离为当(I)求椭圆C的标准方程；(II)已知8为椭圆的左顶点，M为直线x=b上异于8的一动点，直线DW交椭圆C于N,记直线OM,8N的斜率分别为(1)证明：&为定值;(2)过M且与BN垂直的直线交椭圆C于P,Q两点，求BPQ面积的最大值.,所以设直线AB的方程为：+kb42b=1,即缶+丁-伤=0.【解析】(I)由题知，2=也，因此Q=J%a2所以华=显,因此力=1,所以椭圆C的标准方程为X+f=1；332(II)设M(IJ)(w),N(0,%),所以9+片=1,因此y；=2(l-片).所以左.“=.
15、+二二=一2,即M)MM2=-2+1XOTXOT又dm17i=Kkln=1.所以K=2kdm，故k/k)=2kDMk2=-4.设P(x1,y1),(2,y2).因为直线QQJ_8N,所以即0=J_k()M_t444,OM因此设PQ:yf=；(xl),即y=j(x+3).=；(1-3)联立方程2,消去y并整理，得(产+32卜26产X+9产32=0+x2=l2其中A=1O24(4-2)o,6户9r-32由韦达定理知，Xx+%,=-,X1X2=-,r23212/+32设w=1.产+32J_S=16(1-32m)(36m-1)=胎a(9-288m)(288m-8)潘-；=芈17当且仅当=时，取到等号.
16、576故ABPQ面积的最大值是手.22.(本小题满分15分)已知数列满足：%=l,a2=应,且+(I)是否存在实数%,使得对任意N均有Mc可？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.(II)证明：4A+C5(N*).4%【解析】(I)由递推关系式，知4+2=等+4M向等+百迄，即2a3+2+a；+a,，,所以当3时，2%+也，(T)+232a：3+a；+al2a；3+d+4；,将上述各式相加，可知+rcct+(-1)+4+3即C、2/+42a：+a.T2假设存在满足条件的上,则o.2,12/i2+”+42kn+kn-)即3欠2/一222+攵2工+2对于任意的曰均成立，所以3%21.,因此且2226现仅需说明Z=三满足题意即可.显然，当=1时，逅lvl=%;当M=2时，66假设的（一2）.2，器（，一1）-（At即ann.6由数学归纳法知，上述结论成立.（II）由（I）知，,所以当2时，6可所以当2时，-4+1+I2I-a生anIA35,=1+12flm5132w+lJ当几=1时，显然成立.综上，-22+25（N）.%2an-.2=a、；Kg)W2乂6.24(11.n2(2z2-1)(2w+1)(2-12/1+1(1IYl卜157J+2n-2n+l)
