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1、平行四边形及其性质例题精析及练习思维导图平行四边形的定五|一两组对边分别平行的四边形平行四边形面积公式：S=ah边：对边平行且相等平行四边形的性质I角：邻角互补、对角相等J对角线：互相平分重点分析重点分析：1 .平行四边形的定义可以应用在两个方面：一是由定义可知平行四边形的两组对边分别平行（性质）;二是只要四边形中有两组7寸边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形（判定）.2 .平行四边形的性质可以归纳为：（I）边：对边平行且相等（2）角：邻角互补、对角相等.对角线：互相平分.同时与三角形的稳定性不同，四边形具有不稳定性的特点.3 .平行四边形的性质可以通过全等三角形的性质推导出来，平行四边形
2、的性质为证明线段的平行与相等、角的互补与相等以及两条线段互相平分提供了重要的依据.难点分析：1 .平行四边形可以看作由三角形旋转得到，以任意三角形的一边中点为旋转中心，将三角形旋转】80。所得的图形与原三角形组成平行四边形，由此特征可以确定平行四边形的相关性质.2 .平行四边形的问题往往可以转化为三角形问题来求解，平行四边形的一条对角线分成的两个三角形全等，两条对角线相交将平行四边形分成四个小三角形，其中两对对顶三角形全等，这些全等三角形对研究平行四边形中的边角关系有很大作用.3 .若一条直线过平行四边形的对角线交点，则这条直线平分该平行四边形的周长和面积.例题精析f7彳例1如图.在口ABCD
3、中,DB=CD,NC=7（）o,AE_1.BD于点E.求NDAE的度数/C1.思路点拨由平行四边形对边平行可得内错角相等，即ADB=ZDBC,然后利用“等边对等角”可得NDBC=NC,而根据条件可知AED是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可以求出NDAE.解题过程:DB=CD,NDBC=NC=70。./四边形ABCD是平行四边形,.,.ADBC.ZADB=ZDBC=700.VAElBD,/.NAED=90。.工ZDAE=20o.方法归纳平行四边形中的邻角、对角关系为几何计算提供了重要的依据.易错误区要明确CBD是等腰三角形，三角形中的等角不要播错.例2已知口ABCD的周长为60.它的对角线
4、AC和BD交于点O.且AOB的周长比BOC的周长大1(),求AB,BC的长.思路点拨先根据题意画出图形，观察可知在AOB和BOC中，BO为公共边，AO和CO相等，所以它们的周长之差即AB和BC的长度之差.又根据平行四边形的周长以及对边相等这T质得出AB+BC的长，从而可以求出AB,BC的长.解题过程根据题意画出图形如图.,AOB的局长比BOC的周长大10.,.AO+BO+AB-(BO+CO+BC)=1().四边形ABCD是平行四边形,AO=CO.AAB-BC=K).qABCD的周长为60,AB+BC=30.AB=20,BC=10.方法归纳本题是根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分这些性质来
5、求边长，运用了方程思想.易错误区解答本题的关键是根据题意分析出408和BOC的周长之差即AB和BC的长度之差，注意不要忽略平行四边形对边相等这一隐藏条件.例3如图,在nABCD中.BD_1.AD,NA=45E,F分别是AB.CD上的点.且BE=DF,连接EF交BD于点O.(D求证:BO=DO.若EF_1.AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=I时,求AE的长.思路点拨由平行四边形的性质和AAS证明。8EMODF,得出对应边相等即可.证出AE=GE,再证明DG=DO得出OF=FG=I,即可得出结果.解题过程四边形ABCD是平行四边形,DCAB.ZOBE=ZODf.(0BE=乙ODF,在OB
6、E和AODF中工.乙BoE=乙DOF,(BE=DF,：.0BE50DF(AAS).，BO=DO.(2);EF1AB,AB/DC,/.NGEA=NGFD=90.YZA=450,NG=NA=45.JAE=GE.VBDAD,.ZADB=ZGDO=90o./.ZGOD=ZG=45o.*.DG=DOAOF=Fg=1.由(1)可知QE=OF=1.GE=OE+0F+FG=3.：.AE=3.方法归纳本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题(1)的关键.易错误区图中有多个等腰直角三角形，根据特殊图形的特征判断问题中的特殊图
7、形是解决几何问题的关键.例4分别以UABCD(NCDAr90。)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形:ABE,CDGqADF.如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF,EF请判断GF与EF的关系.(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.思路点拨(1)根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出1.FDG=KsF进而得出.GDF三EAF,从而可得结论(2)根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出ZFDG=NEAF,进而得出GDFgAEAF,从而可得结论.解题过
8、程(I)：四边形ABCD是平行四边形，：.AB=CD,ZDAB+ZADC=180.VABE,CDG.ADF都是等腰直角三角形,.DG=CG=AE=BE,DF=AF,NCDG=ADF=/DAF=NBAE=45。.ZGDF=G=ZFAE.在GDF和EAF中,ZGDC+ZCDA+ZA1.OF=90o+CDA,EAF=360o-BAE-DAF-BAD=270o-(180o-ZCDA)=90+ZCDA.NFDDF=AF,.9ZFDG=ZFAE,GDFEAF(SAS).DG=AEf.,.GF=EEZDFG=ZAFE.*.ZDFG+ZGFA=ZAFE+NGFA.,.NGFE=90。,即GFlEE/.GF与E
9、F的关系是垂直且相等.(2)中结论成立.理由如下：,.四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,DAB+ADC=180.VABE,CDG,ADF都是等腰直角三角形，ADG=CG=AE=BE,DF=AF,ZCDG=ZADF=ZBAE=450.：ZCDF+ZFDA+ZDAF+ZFAE+ZBAE=180o.NCDF+NFAE=45.又:NCDF+/FDG=45,ZFDG=ZFAE.DF=AF9在AGDF和AF中，,、V/FDG=ZFAE,EAF(SAS).DG=AE,GF=EF,NDFG=NAFE,即ZDFG+ZGFA=ZGFA+ZAFE.：,NGFE=90。,即GFEF.方法归纳本题主要考查了平行
10、四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识,根据已知得出GDF9aEAF是解答本题的关键.易错误区注意本题中GF和EF的关系是垂直且相等，考虑问题要全面，不要只得出了相等或者垂直一个结论就不再深入思考问题了.探究提升例如图.在口ABCD中,DE_1.BC于点E,DHAB于点H.AF平分NBAD,分别交DC,DE,DH于点F,G,M,且DE=AD.(1)求证2ADGFDM.猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想.思路点拨(1)由OABCD中DE_1.BC于点E,DHAB于点H.AF平分NBAD,可证得DA=DF由ASA证得ADGgFDM.(2)延长GD至点N
11、,使DN=CE.连接AN,先证明ADNgZSDEC,再证AN=NG=CD=AB即可得出AB与DG+CE之间的数量关系.解题过程（I）；四边形ABCD是平行四边形，：.AB/CD,AD/BC.,.NBAF=ZDFA.VAF平分ZBAD,：ZDAF=ZBAf=ZDFA.AD=FD.ZDAG=ZDFM.VDEBC,DHAB,.ZADG=ZDEC=90o,ZFDM=ZAHD=90o.(DAG=DFM,在ADG和FDM中.AD=FD,ADG=FDM=90。,：.AADGdFDM(ASA).猜想:AB=DG+CE.证明:如图.延长GD至点N,使DN=EC,连接AN.TDE_1.BC,ADBC,二NADN=
12、NDEC=90.(AD=DE,在ADN11DEC中，乙力ON=DEC,(DN=EC,ADNDEC(SAS).ZNAD=ZCDe,AN=DC.：NNAG=NNAD+NDAG,ZNGA=ZCDE+NDFA,：.ZNAG=ZNGa.：.AN=GN=DG+DN=DG+CE=DC.,.四边形ABCD是平行四边形.，AB=DC./.AB=DG+CE.方法归纳本题考有了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质.注意掌握常用辅助线的作法及数形结合思想的应用.易错误区题的辅助线主要是为了构造全等三角形，构造全等三角形是常见的辅助线作法，但要注意准确描述辅助线并合理证明全等.专项训练拓展
13、训练A组1 .如图，在QABCD中，下列结论中一定正确的是（）.（第1题）D.ZAZC（第3题）2 .如图产ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O.ACAB,E是BC中点,AOD的周长比AOB的周长多3cm,则AE的长度为（）.A.女mB.4cmC.5cmD.8cm3 .如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD,若AB+BC=6,则四边形ABCD的面积是（）.A.4B.2C.8D.64.如图在ABCD.AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则CDE的周长是（）.（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）ED5 .如图是用平行四边形纸条沿对边
14、AB,CD上的点E,F所在的直线折成的V字形图案.已知图中N1=62。,则N2的度数为一.6 .【临沂】如图,在。ABCD中,AB=10,AD=6,AC_1.BC贝UBD=.7 .如图在QABCD中EF分别是边AD,BC的中点,AC分别交BE,DF于点MN给出下列结论:AABMgACDN;AM=AC;DN=2NF;circle4SAMB=齐j4bc其中正确的结论是.8 .【曲靖】如图在口ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EFMN是线段EF上的两点且EM=FN,连接AN,CM.（1）求证2AFNgZXCEM.（2）若NCMF=I07。,NCEM=72。,求NNAF的度数
15、./FB（第8题）9 .如图,在必8CD中，对角线AC与BD相交于点O,P为线段BC上一点（除端点外），连接PO并延长交AD于点Q,延长BC到点E,使（CE=8C,连接DE.求证:BP=DQ.A.SSi+S2B.S=Si+S2(2)已知AB=5.AC=6,若CD=BE,BDE的周长（第9题）10 .如图.M是口ABCD的边AD上任意一点,若ACMB的面积为S.CDM的面积为S1,ABM的面积为S2,则下列S,S1,S2的大小关系中正确的是（）.11 .【盘锦】如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心、大于T8F的长为半径画弧，两弧交
16、于点M,作射线AM交BC于点E,连接EF.下列结论中，不一定成立的是（）.A.BE=EFB.EF/7CDC.AE平分NBEFD.AB=AE12 .如图.在。ABCD中过对角线BD上一点P作EFAB,GHAD与各边交点分别为点E,F,G,H,则图中面积一定相等的平行四边形的对数为（）.A.3B.4C.5D.613 .如图,在”ABCD中,乙4BC=45,AB=42,FC=9,直线MN平分口ABCD的面积,分别交边AD,BC于点M,N,若BMN是以MN为腰的等腰三角形,则BN=.】4.如图，在DABCD外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE,NFAB=NEAD=90。.连接ACEF在图
17、中找一个与4FAE全等的三角形.并加以证明.（第14题）15.如图,在QABCD中,NA=45。,NABD=90。,F为OABCD外一点连接CF,BF,且BFCFTF.如图1,若Sabcd=詈,CF=5,求BF的长度.如图2,延长BFQC交于点E,过点D作DG_1.DF交FC的延长线于点G,若C为DE的中点,求证:CG=CF+EE（第15题）走进重高1 .【丽水】如图ABCD的对角线ACBD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则AOBC的周长为（）.A.13B.17C.20D.262 .【德阳】如图，四边形AOEF是平行四边形，B为OE的中点，延长FO至点C,使F0=30C.连接AB
18、.AC.BC,则在ABC中.Sabo：SAOc：Sboc等于（A.6:2:l）.（第3题）3 .【梧州】如图在ABCD中,NADC=I19。,BE_1.DC于点E,DF_1.BC于点RBE与DF交于点H则NBHF=4 .【安徽】如图,点E在口ABCD内部,AFBE,DFCE.求证:BCEADE（2）设。ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求李的值.高分夺冠1.如图，以。ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角三角形CDE.若AD=DE=CE,NDEC=90且点E在平行四边形内部,连接AE.BE.则NAEB的度数是（）.A.120oB.135oCJ50oD.45o2 .如图,E,F分别串A
19、BCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若Sapd部分的面积为_(CmN15cm2,SBQC=25c112,则涂色3 .如图1,点P为RSABC所在平面内任意一点(不在直线AC),ZACB=90o,M为AB边上的中点.(第2题)操作:以PA,PC为邻边作平行四边形PADC.连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.探究：(1)请猜想与线段DE有关的三个结论.请你用图2、图3,选择不同位置的点P按上述方法操作.(3)经历(2)之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明.(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明即可)(4)若将“内ABC”改为“任意AB1.其他条件不变利用图4操作.并写出与线段DE有关的结论值接写出答案).(第3题)
