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1、专题28单变量恒成立之参变分离后导函数零点可猜型【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是式公，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若儿/)沟在X上恒成立，则y()%(l)ma;若/马。)在XW。上恒成立，则()min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数小另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若沟(X)在XWo上恒成立，则。幺(成皿；若。与在XD上恒成立，则0(x)min利用分离参数法来确定不等式y(%,)0(xZ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为力(。)。)或方3)9(x)的形式.(2)求力在x三D时的最大值或最小值
2、.(3)解不等式/()(X)max或力()(x)min,得到。的取值范围.【例题选讲】例1已知函数7(x)=e-xlnx,g(x)=ex-戊2+x,R,其中e为自然对数的底数.(1)求函数Ar)的图象在点(1,U)处的切线方程；(2)若g(xE(x)对任意的Xe(0,+8)恒成立，求，的取值范围.解析(1)由兀O=exxlnx,知/(x)=e-Inx1,则/(l)=e1,而y11)=e,则所求切线方程为Je=(e-l)(-1),即y=(el)x+l.(2)V(x)=e-xlnx,g(x)=ev-戊2+x,R,；g(x心/(x)对任意的X(0,+8)恒成立等价于ex-a2+-ex+xlnxO对任
3、意的x(0,+s)恒成立，rre-exxlnx一一即r对任意的x(0,+8)恒成立.aev-ex+xlnXxexe-2er-xlnx2ex.、令尸(X)=P，则Ft(X)=P=+e-InxJ,2er令G(x)=eve-Inx,则G3=一专史V=型二乎z三。对任意的旧0,+恒成立.G(x)=eX+e与Inx在(0,+8)上单调递增，且G=0,当x(0,1)时，G(x)V0,当x(l,+8)时，G(X)0,即当x(0,1)时，户(x)V0,当x(l,+8)时，F(x)0,，尸(外在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，.F()尸(I)=1.&,即f的取值范围是(一00,1.例2已知函数(
4、1)当=0时，求曲线y=(x)在点(0,7(O)处的切线方程;(2)当x2时，v)恒成立，求a的取值范围.解析(1)当a=0时，凡T)=(X2)廿，0)=(0-2)e0=-2,/(x)=(-l)e&=/(O)=(Ol)e=l,所以切线方程为y+2=-(x0),即x+y+2=0.(2)方法一(%)=(X1)(e*-a),当始0时，因为应2,所以-l0,ev-crO,所以/(x)0,则_/(%)在2,+oo)上单调递增，儿力字(2)=0成立.当OQe?时，/(x)K),所以/)在2,+8)上单调递增，所以/闫(2)=0成立.当e?时，在区间(2,lna),/(x)0,所以AX)在(2,Ina)上单
5、调递减，在(Inm+8)上单调递增，风外知不恒成立，不符合题意.综上所述，。的取值范围是(一8,e2.方法二当应2时，y(x)K)恒成立，等价于当x2时，(-2)ex-%+r0恒成立.即(*-xr(-2)e，在2,+0)上恒成立.当x=2时，00,所以R.当x2时，r2-0,所以耳生-=恒成立.,a1)e设g(x)=T，则g(x)=1p，因为X2,所以gO,所以g(x)在区间(2,+8)上单调递增.所以g(x)g(2)=e2,所以呼2.综上所述，。的取值范围是(一8,e2.【对点精练】1.已知函数40=缺乜mR).(1)讨论人处的单调区间；(2)若ytr)ec+/-l恒成立，求实数的取值范围.
6、1-n-InX1 .解析(iyU)的定义域为e,+),且)=令/(x)0,得l-4-lnx0,解得。.令/(x)0,得l-lnx0,解得Qe1.故外)的单调递增区间为(0,单调递减区间为(e,+oo).(2)因为/(x)e1.+;-l恒成立，即，:土+：I对(0,+s)恒成立,所以xeriXlnx+l对(0,+s)恒成立,令g(x)=xe*ixlnx+l,则gx)=e-+xerI=(X+l)(e*当x(0,1)时，gx)v,所以g(x)在(O,1)上单调递减.当x(l,+8)时，gO,所以g(x)在(1,+oo)上单调递增.故当X=I时,g(x)取到最小值g(l)=l,所以l.故实数。的取值范
7、围是(-8,1.I32 .函数j(x)=lnx+1x2ax(aR),g(x)=e+那2.(1)讨论AX)的极值点的个数；(2)若对于任意x(0,+),总有0),令/(x)=0,即f+=o,J=2-4.当/=/一仁0,即一22时，f+r+l0对x0恒成立，即/(x)=z0对QO恒成立，此时Ar)没有极值点当/=/40,即2时，若2,设方程x2+1=O的两个不同实根为内，x?,不妨设Xl0，XlX2=1。，故X2X0.；当0X2时，/(x)0;当XlrX2时/(x)2,设方程x2+ox+l=0的两个不同实根为乃，血，则X3+X4=0,故冷0,故函数兀0没有极值点.综上，当。)Wg(X)QeX-In
8、x+x2ax,因为x0,所以aO),(x)=P=P,V0,当x(0,D时,(x)Oi3(%)单调递增,.*(x)(l)=e1,/.670t()0,(x)在定义域(O,+s)上单调递增；当。0时，若Q小则/(x)0,U)单调递增；若0x,则/(x)0时，兀0在区间(0,公上单调递减，在区间3,+8)上单调递增.(2)(x)llnl-lnx1-xlnxx对任意x三(0,1恒成立.令g(x)=xlnx+x,x(0,1.则g(x)=Inxx+l=lnxO,x(O,1,.g()在(0,1上单调递增，.g()max=g(l)=l,l,故。的取值范围为1,+).5 .已知函数於)=以善.(1)若函数段)在区间(小。+乡上存在极值，求正实数。的取值范围；(2)当xl时，不等式,备恒成立，求实数k的取值范围.6 .解析(1)函数段)的定义域为(O,+),/(x)=,InA=令/()=o,得X=1.当x(0,1)时，/(x)0,於)单调递增；当x(l,+8)时，/()V0,於)单调递减.所以x=l为函数外)的极大值点，且是唯一的极值点，所以OVaVIVa+/O,所以g(x)在1,+8)上单调递增,所以g(磋g(l)=2,故长2,即实数攵的取值范围是(-8,2.
