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1、经典例题透析类型一：求函数的平均改变率例1、求y=2f+l在/到+x之间的平均改变率，并求XO=1,Ar时平均改变率的值.思路点拨：求函数的平均改变率，要紧扣定义式包=十)一,“)进行操作.xx解析：当变量从与变到/+x时，函数的平均改变率为/(x0+r)-/(x0)_2(x0+)ArTOA.rO八丫1-2x+1十lJixx当XO=1,Ar=1.时，平均改变率的值为：4l+2-=5.22总结升华：解答本题的关键是娴熟驾驭平均改变率的概念，只要求出平均改变率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=52+6在区间2,2+x内的平均改变率。【答案】y=5(2x)2+6-(522+6)
2、=20x+5x2,所以平均改变率为包=20+5Ax【变式2已知函数/(幻=/，分别计算/()在下列区间上的平均改变率：(1) 1,3；(2) 1,2；(3) 1,1.1；(4) 1,1.001.【答案】(1)4；(2)3；(3)2.1；(4)2.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为s=g,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.0OIS各段内的平均速度(位移S的单位为m)。【答案】要求平均速度，就是求竺的值，为此需求出As、nt设在3,3.1内的平均速度为W,则r1=3.1-3=0.1(三),1919As1=5(3.1)-5(3)=-g32-g3=O.3O5g(m)。所以/=詈=：T=3
3、05g(m/S)l-17111520.03005g.a./.、同理=-=3.OO5g(ms)St20.01_0.0030005gy而一O.OO13.()0()5g(ms).【变式4】过曲线y=(x)=上两点P(1.l)和。(1+小)作曲线的割线，求出当A=0.1时割线的斜率.【答案】3.31当x=0.1时,d+y)-lAy/(l+r)-(l)(l+x)3-l1.l3-I771(l+x)-lxxx0.1类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数y=/(x)在x=l处的导数。解析：Ay=f(l+x)T(l)=-rJ=T1+1 -+xl-l-x=-=-l+x(1+l-x)l+x-x(1+Jl+
4、)Jl+Ax.包=J(1Jl+)Jl+x/=Iim包=。r2总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量Ay；其次步求平均改变率电；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数y=五X(1)求函数在x=4处的导数.(2)求曲线y=1.-五上一点尸(4,-2)处的切线方程。X4【答案】,(4)=Iim4+AX)f(4)=lim4+x+(WD*=IimArO4+1扑(向石-2)-Arx7Hm4(4+x)j4+x+2ArToX1.(-11)5=Iim1=，2o14(4+x)4+x+2J167(2)由导数的几何意义知，曲线在点P(4,-1.)处的切线斜率为尸(4),4所求切线的斜率为-
5、9。1675，所求切线方程为y+=(x-4),整理得5x+16y+8=0o416【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：f(x)=c；f(x)=X;(3) f(x)=X2;(4) /(x)=-oX【答案】(1) y=(x+x)-(x)=c-c=0,.y(xr)-(x)n-,一V9xx.*.y,=Iim=IimO=O0ArTOArAXTO(2) =(x+x)-/(x)=x+x-x=x,包q=1,xxy,=Iim=Iim1=1。r0AYAtTO(3) y=/(x+x)-f(x)=(x+x)2-X2=2xzkr+(x)2,.y2xx+(x)2=2x+x,xx.*.V=lim=lim(2x+x)=2
6、xov0AktO/“、AI/A、11X-X-X-x(4) y=(x+)-(x)=-_=-_-x+xX(+x)x(+x)xa!x(x+x)x.y,=Iim=Iim=-ArToAXAD(X+Ax).X尸例3、求曲线y=x3+2x在X=I处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x2x在x=l处的导数值，再由导数的几何意义,得所求切线的斜率，将x=l代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设/(X)=X3+2./=lim川+=Hm(+2(1+词TSxi)ArX-X1. x(x)2+3x+51.r/A2oxGU=Iim=lm(x)+3x+5=5xoArxo由f(l)=3,故切
7、点为(1,3),切线方程为y3=5(-1),即y=5x2.总结升华：求函数y=/(x)图像上点尸(XO,%)处的切线方程的求解步骤：求出导函数在X=XO处的导数/(%)(即过点P的切线的斜率)，用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三，【变式】在曲线y=2上过哪一点的切线：(1)平行于直线y=4-5;(2)垂直于直线2x6y+5=0;(3)与X轴成135。的倾斜角。C、1./(x+x)-(x)1.(x+x)2-X2_答案f(X)=Iim-八=Iim=2x,xx设所求切点坐标为P(xo,yo),则切线斜率为k=2xo(1)因为切线与直线y=4x5平行，所以2xo=4,x0=2,yo=4,即P(
8、2,4)。139(2)因为切线与直线2x6y+5=0垂直，所以2工0乂=一1,得XO=-5，y0=(3)因为切线与X轴成135的倾斜角，所以其斜率为一1。BP2x0=-1.得/=一；，%=:，即呜例4.已知函数f(x)可导，若/=3,/(1)=3,求limfdXTlx-1解析飞喑阿答+）（川）=3）!叩d0+i)(令t=xXf1.t-*l)r/(xy=i(2)y=X)-(l)1.,lIim-lm(x+l)xl1.tl=2Hmd世ft-=2,(1)=23=6举一反三，【变式】已知函数/(X)可导，若/(3)=2,r(3)=2,求Iim在二叟生Xf3X-3.0、1.2x-3(x)1.(2x-6)+
9、6-3(x)答案Iim=匕江Xf3X-313x-3=Hm2+-r(叫.v3X3=2+3Iim/史x3X3=2-3Iim/-/13X-3=2-3,(3)=2-3(-2)=8类型三：利用公式及运算法则求导数例5.求下列函数的导数：(3)Vy=Iog2X2-Iog2X=Iog2x,y,=(log2x)=XIn2总结升华：娴熟驾驭导数基本公式，细致视察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三，【变式】求下列函数的导数：(1) y=x-fx；(2) y=-2sin(l-2cos2(
10、3) y=6j-4j+9-6【答案】(2)(1) j,=(xx),=(x),=x2.y=-2sin(1-2cos2)=2sin-(2cos2-1)=2sin-cos=sinx242422：.y=cosx.(3)y=6(),-4(x2)+9(x),-(6)=l8x2-8x+9例6.求下列各函数的导函数(1)/()=(x2+l)(2x-3)；(2)y=x2sinx;、e+lz.X+cosx(3)y=；(4)y=ex-1x+sinx解析：(1)法一：去掉括号后求导.f(x)-2x3-3x2+2x-3f,(x)=6x2-6x+2法二：利用两个函数乘积的求导法则fx)=(X2+l)(2x-3)+(x2+
11、l)(2x-3)r=2x(2x-3)+(x2+1)X2=6x26x+2(2) y=(x2),sinxx2(sinx)=2xsinxx2cosx,“、.,(ev+iy(ex-l)(er+l)(ej-iy-2e(3)y=二r/,、，(x+cosx),(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx),(4) y=；(x+sinx)2(1-sinX)(X+sinx)-(x+sX)(Isx)(x+sinx)2一xcosx-xsinx+sinx-cosx-1=；：-(x+sinx)举一反三，【变式1】函数y=(x+l)2(x-l)在x=l处的导数等于()A.1B.2C.3D.4【答案】D法一：y*=(+
12、l)2(-l)+(+l)2(-l)=2(x+l)(x-l)+(x+l)2=32+2-11=1=4.法二：Vy=(x+l)2(-l)=(x2-l)(x+l)=x3+x2-x-lJ歹=(V)+(x2)*-x-1=3x2+2x-1y,1.=4.【变式2】下列函数的导数(1)y=(x+1)(2x2+3x-1)；(2)y=2丁3xx1【答案】（1）法一:y=2x3+3x2-x+2x2+3-1=2x3+5x2+2x-1.*.y,=6x2+10x+2法二:V=(X+1),(2x2+3x-1)+(+1)(2x2+3x-1)=2x2+3x-l+(x+1)(4x+3)=6x2+10x+22_1(2)y=2x2-3
13、x2+xl-X1QQ_2y=32+-X2-2+x222【变式3】求下列函数的导数.(1)y=x(x2+-+-);(2)=(7+1)(-=-1);(3)y=+sinXXyjX【答案】(1) y=y=e,+-2+l,：,y,=3x2-2x3.(2) y=(x+1)-=-=-=x2,xxy,=-x2-x2223(3) *：y=X3+X+X2sinx,3y,=3x2-x2+(-2),snx+x-2(sinxy3-,=3x2X22Tsinx+-2cosx.2类型四：复合函数的求导例7.求下列函数导数.(1)y=!-7；y=ln(x2)；(If)，(3) y=e2r+,：(4)y=cos(2xl).思路点
14、拨:求复合函数的导数首先必需弄清函数是怎样更合而成的,然后再按复合函数的求导法则求导.解析：(1) y=u4fu=i-3x.y=yx=34)(i-3x)=-4w-5(-3)=12w512=(l-3x)5y,x=y,llux=(nuyx+2y1 11=1=ux+2y=y)=(e)(2+D=2e11=2e2x+,(4) y=cosu,M=2x+l,J,t=y,u,u=(cosw),(2x+1)=-2sinu-2sin(2x+l).总结升华，复合函数的求导，肯定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，留意不要漏层。娴熟以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样
15、可以使书写简洁；求更合函数的导数的方法步骤：(1)分清更合函数的复合关系，选好中间变量:(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，留意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数：(3)依据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式1】求下列函数的导数：(1)y=(l+2x2)8;(2)y=Vx+Vx.(3) y=ln(x+yx2)；(4)f(x)=e-A(cosx+sinx)【答案】令=l+2d,y=us,y,x=y,uux=(w8),(l+2x2)=874x=32x(1+2x2)7.12(2)令w=x+3,y=3,.,.y,x=储)(x+J)
16、(3)V=7=(x+l+X2)三T=0-r=)=-7=x+lxx+l+x-1+l+x2(4) ,(x)=ex(-x),(cosX+sinx)+ex(cosx+sinx)=-e(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx)=ex(-Sinx+cosx-cosX-SinX)e-x(-2sinx)=-2exsinx类型五：求曲线的切线方程例8.求曲线y=x3+2x在x=l处的切线方程.解析：y=3x2+2,y*U1=3l2+2=5x=l时，y=3,切点为(1,3),切线斜率为5切线方程为y-3=5(x1),即y=5-2.总结升华：求函数y=/(x)图像上点尸(XO,%)处的切线方程的求解步骤：
17、求出函数y=/(X)的导函数y=f,(x)求出导函数在X=/处的导数/(XO)(即过点尸的切线的斜率),用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线y=1.在点(1,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.X2解析：=(3=一XX 切线的斜率k=yl=-4.X=-2 切线方程为y2=-4(x-g),即4x+y-4=0.【变式2已知P(T,1),Q(2,4)是曲线y=V上的两点，则与直线P0平行的曲线y=/的切线方程是.【答案】y=f的导数为y=2.设切点M(Xo,%)，则y1.=而=2%o P。的斜率ZPQ=E=1，又切线平行于P。，Z=yx=乩=2%o=l,.,Xo=g,切点 切
18、线方程为一；=工一；，即4x-4y-l=0.【变式3】已知曲线Uy=X3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【答案】(I)将X=I代入曲线C的方程得y=l,切点尸(1,1). *y=3-V29yl,r=3. .过点尸的切线方程为y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.(2)由,N=?;-?可得(X-D(X2+X2)=。，解得X=I或=-2.y=x从而求得公共点为尸(1,1),或(一2,-8). 切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点.例9.已知直线4为曲线y=f+-2在点(1.0)处的切线，I为该曲线的另一条切线，且(
19、1)求直线4的方程；(2)求由直线/一，2和X轴所围成的三角形的面积.解析：(1)y,=2x+,y,rs=21+1=3直线4的方程为y=3x-3设直线4过曲线y=/+工2上的点B(b,b?+b-2),则4的方程为y(白2+-2)=(3+I)(X-b),即y=Qb+V)x-b2-2.12因为44，则有2b+1=b.12331721a=6,5J=-T所以直线I2的方程为y=-x-.y=3x-39(2)解方程组，122得V=一一X,39所以直线Z1和I,的交点坐标为2,一9).6222八。与X轴交点的坐标分别为(1,0)、(一一,0),31255125所以所求三角形的面积为S=-X-Xl-I=-.2
20、3212举一反三：【变式1】假如曲线y=+一K)的某一切线与直线=4x+3平行，求切点坐标与切线方程.【答窠】y,=3+l设切点坐标为M(X0,y0)，切线在点M的斜率为*气=(3x7S=-2-4=-.33【变式3】曲线y=e2cos3x在(0,1)处的切线与/的距离为正，求/的方程.【答案】由题意知，y=(e2r),cos3xe2r(cos3x),=2e2xcos3x+(3x),(-sin3x)e2r=2e2vcos3x-3e2vsin3x曲线在(0,1)处的切线的斜率=yIu=2工该切线方程为y-l=2x=y=2x+l设/的方程为y=2x+w,mj=!=5,+1).=3x02+1切线与直线
21、y=4x+3平行，斜率为4：3x+1=4,x0=1=1HJXo=TJO=-8E=72，切点为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y+8=4(x-l)或y+12=4(x+l)即y=4x-12或y=4x-8.【变式2】曲线)，=/在点(1,1)处的切线与X轴、直线x=2所围成的三角形的面积为【答案】由题意，切线的斜率为yz=3xl2=3,切线方程为y-l=3(x-l),2与X轴交点为(,0),直线=2的交点为(2,4),解得，刀=-4,或m=6.当机=-4时，/的方程为y=2x-4:当初=6时，/的方程为y=2x+6综上可知，/的方程为y=2x-4或y=2x+6.(3)y=Iog2X2-Iog2X：(4)y=2x3-3xz+5x4解析：(1)y,=,=(x4Y=-4x4,=-4x5=-4，XX(4)y=2(x3)-3(x2),+5(x),+(4),=6x2-6x+5
