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1、矩形(基础)【学习目标】1 .理解矩形的概念.2 .驾驭矩形的性质定理及判定定理.【要点梳理】要点一，矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠雅：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二，矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1 .矩形具有平行四边形的全部性质；2 .矩形的对角线相等；3 .矩形的四个角都是直角；4 .矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的随意直线可将矩形分成完全全等的两部分.(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别通过对
2、边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).(3)矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的全部性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线相互平分且相等.要点三，矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.5 .对角线相等的平行四边形是矩形.6 .有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释，在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四，直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：假如一个三角形
3、一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形.要点诠释：(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不行运用.(2)学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半.(3)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一，矩形的性质1, (2015云南)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点，P是AD上的点，且NPNB=3NCBN.(1)求证：ZPNM=2ZCBN；(2)求线段AP的长.【思路点拨】(1)由MNllBC
4、,易得NCBN=NMNB,由已知NPNB=3/CBN,依据角的和差不难得出结论；(2)连接AN,依据矩形的轴对称性，可知NPAN=NCBN,由(1)知ZPNM=2ZCBN=2ZPAN,由ADIIMN,可知NPAN=ZANM,所以NMN=NPNA,依据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理列方程求出AP.【答案及解析】解：(1)四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，/.MNIIBC,/.ZCBN=ZMNB,/ZPNB=3ZCBN,.ZPNM=2ZCBN；(2)连接AN,依据矩形的轴对称性，可知NPAN=ZCBN,/MNIIAD,ZPAN=ZANM,由(1)知NPNM=2ZCBN,.
5、ZPAN=ZPNA,AP=PN,/AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点，.DN=2,设AP=x,则PD=6-,在RtPDN中PD2+DN2=PN2,(6-x)2+22=x2,解得：X=W3所以AP=W.【总结升华】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等学问的综合运用，难度不大，依据角的倍差关系得到NPAN=PNA,发觉AP=PN是解决问题的关键.举一反三：【高清课堂417081矩形例7】【变式】如图，RtAABC中，NC=90,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点，过P分别作PE_1.AC于E,PF_1.BC于F,则线段EF的最小值是.【答案】-55提示：因为ECFP为矩形，所以有E
6、F=PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二，矩形的判定2, (2015内江)如图，将OABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC于点0.(1)求证：ABD2BEC；(2)连接BD,若NBoD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.【答案及解析】证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD=BC,AB=CD,ABIICD,则BEIlCD.又AB=BE,.BE=DC,.四边形BECD为平行四边形，.BD=EC.在ABD及4BEC中，ABD毁BEC(SSS);(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE,OC=OB.四边形ABCD为平行四边形，.ZA=ZBC
7、D,即NA=ZOCD.又ZBOD=2ZA,ZBOD=ZOCD+ZODC,ZOCD=ZODC,/.OC=OD,OC+OB=OD+OE,即BC=ED,平行四边形BECD为矩形.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等学问点的综合运用，娴熟驾驭特殊几何图形的性质及判定是解决问题的关键.举一反三：【变式】如图，在aABC中，AB=AC,D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：四边形ABDE是平行四边形，AE/7BC,AB=DE,AE=BD.D为BC的中点，ACD=BDCD/7AE,CD=AE，四边形ADCE是平行四边形VAB=ACAAC=D
8、E平行四边形ADCE是矩形.C3,如图所示，QABCD四个内角的角平分线分别交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是矩形.【思路点拨】AE,BE分别为NBAD,NABC的角平分线，由于在OABCD中，ZBAD+ZABC=180,易得NBAE+NABE=90,不难得到NHEF=90,同理可得NH=NF=90.【答案及解析】证明：在QABCD中，AD/7BC,ZBAD+ZABC=180,.AE,BE分别平分NBAD,NABC,：ZBAE+ZABE=-ZBAD+-ZABC=90.22NHEF=NAEB=90.同理：NH=NF=90.四边形EFGH是矩形.【总结升华】（1）利用角平分线，垂线得到9
9、0的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定.（2）本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形.类型三，直角三角形斜边上的中线的性质（2012佳木斯）如图，ZABC中，AB=AC=IO,BC=8,AD平分NBAC交BC于点D,点E为AC的中点，连接DE,则ACDE的周长为（）A.20B.12C.14D.13B/d【答案】C；【解析】解：VAB=AC,AD平分NBAC,BC=8,ADBC,CD=BD=-BC=4,2点E为AC的中点，DE=CE=-AC=5,2/.CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角
10、形三线合一的性质，熟记性质并精确识图是解题的关键.举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD,AC,BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点，且NAPC=NBPD=90.求证：平行四边形ABCD是矩形.【答窠】解：连接op.四边形ABCD是平行四边形.：.A0=C0,BO=DO,VZAPC=ZBPD=90,OP=-AC,OP=-BD,22：AC=BD.四边形ABCD是矩形.【巩固练习】一.选择题1.（2015春宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线相互垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且相互平分2 .若矩形
11、对角线相交所成钝角为120,短边长3.6cm,则对角线的长为（）.A.3.6cmB.1.2CmC.1.8cmD.14.4cm3 .矩形邻边之比3：4,对角线长为IOC则周长为（）.A.14CWB.28cmC.20cmD.22cm4.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中NI及N2确定不相等的是（）A.B.C.D.5 .在数学活动课上，老师和同学们推断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三角形是否都为直角6 .如图，ABC中，AC的垂直平分线分别交AC,A
12、B于点D,F,BElDF交DF的延长线于点E,已知NA=30,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是（）A.23B.33C.4D.43二.填空题7 .矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于0,NAoB=60,AC=IoC加，则AB=cm,BC=cm.8 .在aABC中，ZC=90o,AC=5,BC=3,则AB边上的中线CD=.9 .如图,矩形纸片ABCD中，AD=4c11,AB=IOcw,按如图方式折叠，使点B及点D重合,折痕为EF,则DE=cm.10.（2015重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且NAED=90。，AD=IO,则AB的长为.I1.如图，0ABCD的顶点
13、B在矩形AEFC的边EF上，点B及点E,F不重合，若AACD的面积为3,则图中阴影部分两个三角形的面积和为12 .如图，RtABC,NC=90,AC=BC=6,E是斜边AB上随意一点，作EF_1.AC于F,EG_1.BC于G,则矩形CFEG的周长是一三.解答题13 .如图,矩形ABCD的对角线相交于点0,OFBC,CEBD,OE：BE=I：3,0F=4,求NADB的度数和BD的长.14 .如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DE_1.AG于E,且DE=DC,依据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15 .（2015通州区一模）已知菱形
14、ABCD的对角线AC及BD相交于点E,点F在BC的延长线上，且CF=BC,连接DF,点G是DF中点，连接CG.求证：四边形ECGD是矩形.【答案及解析】一.选择题1 .【答案】D；【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，A不正确；对角线相互垂直的四边形不愿定是菱形，B不正确；平行四边形的对角线相互平分，菱形的对角线平分一组对角，C不正确；,矩形的对角线相互平分且相等，D正确；2 .【答案】B；【解析】直角三角形中，30所对的边等于斜边的一半.3 .【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6c机和8cm,则周长为28。%.4 .【答案】D；【解析】Z2Z1.5 .【答案】D；6 .【答案】A
15、；【解析】先证AADFgABEF,则DF为AABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE=3,可求面积.二.填空题7 .【答案】5,53；【解析】可证AAOB为等边三角形，AB=AO=CO=BO.8 .【答案】孚；【解析】由勾股定理算得斜边AB=用，CD=1.AB=卑.229【答案】5.8；【解析】设DE=X,则AE=AB-BE=AB-DE=10-x.RtADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即42+（IO-Xp=X2,解得X=5.8.10.【答案】5；【解析】矩形ABCD中，E是BC的中点，.AB=CD,BE=CE,ZB=ZC=90o,可证得ABEDCE(SAS),.*.AE=D
16、E,/ZAED=90o,/.ZDAE=45,ZBAE=90o-ZDAE=45o,/.ZBEA=ZBAE=45o,.AB=BE=Iad=Ix10=5.2211 .【答案】3；【解析】依据平行四边形的性质求出AD=BC,DC=AB,证AADCgZiCBA,推出aABC的面积是3,求出ACXAE=6,即可求出阴影部分的面积.12 .【答案】12；【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC=EG,FE=CG,EF/7CG,EGCA,求出NBEG=ZB,推出EG=BG,同理AF=EF,求出矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=AC+BC,代入求出即可.三.解答题13【解析】解：由矩形的性质可知OD
17、=OC.又由OE：BE=I：3可知E是OD的中点.又因为CE_1.OD,依据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD,即aOCD是等边三角形，故NCDB=60.所以NADB=30。.又因为CD=20F=8,即BD=20D=2CD=16.14 .【解析】证明：Y四边形ABCD是矩形，AD/7BC,DC=AB.：.ZDAE=ZAFB.VDE=DC,DE=AB.VDElAG,ZDEA=ZABF=90.ABFDEA.15 .【解析】证明：/CF=BC,C点是BF中点，.点G是DF中点,一.CG是乙DBF中位线，.,.CGIIBD,CG弓BO四边形ABCD是菱形，.ACBD,DE=Agp,ZDEC=90o,CG=DE,.CGIIBD,四边形ECGD是矩形.
