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1、第三章导数及其应用J3.1导数的概念及运算基础知识自主学习知识回顾理清教材I要点梳理1 .函数.V=/5)从内到2的平均改变率函数尸兀0从XI到回的平均改变率为凡二若X=X2m，y=2)-y(),则平X2Xl均改变率可表示脸.2 .函数.V=U)在X=XO处的导数(1)定义称函数y=在x=xo处的瞬时改变率蚂J氏=蚂J+黑火”)为函数y=W在X=Xo处的导数，记作F(Xo)或yx=Xo,即/(Xo)=蛔),=如?)於()+然加)(2)几何意义函数yw在点XO处的导数/(Xo)的几何意义是在曲线尸仙)上点(的，外出)处的切线的斜率.相应地，切线方程为Xo)=v(XO)(X即).3 .函数Ar)的
2、导函数称函数/(X)=妈於+黑为於)的导函数,导函数有时也记作.4 .基本初等函数的导数公式原函数导函数J(X)=C(C为常数)f(X)=-Q-M=a(eQ*)f(x)=x-夯实拮础突破疑睢1.推断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(13)与(m)表示的意义相同.(X)(2)求/(的)时，可先求Kro)再求/().(X)(3)曲线的切线不肯定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线肯定是曲线的切线.(X)(5)若Ar)=/+.-/,则/(x)=3a22x.(X)(6)函数v)=2lnx的导函数为，(K)=25=2.(X)AX)=SinXf(X)=COSJ段)=CO
3、SXf()=sin_x=30)f(x)=Tw?二Ff=乏y(x)=logx(0,且al)fw-xI11/W=Inx/(%)=:5 .导数的运算法则(1)伏X)+g()=尸(X)婷(x)；(2)(x)g(x)=f(X)Ha)+/(x)e(x)；teCv)O).I夯基释疑A.-1B.+1C.1D.3答案B解析由y=x3知y=3舄，切线斜率女=)，x=302.又切线与直线x+3y+l=0垂直，32.(一=-l,；即2=,6r=+,故选B.4.如图所示为函数y=r),y=g(x)的导函数的图象，那么y=(x),y=g(x)的图象可能是mIl利用导数的定义求函数兀O=X3在K=XO处的导数，并求曲线Kr
4、)=/在X=KO处的切线与曲线兀O=X3的交点.答案D解析由y=/(X)的图象知y=/(x)在(0,+8)上单调递减，说明函数y=x)的切线的斜率在(0,+8)上也单调递减，故可解除A,C.又由图象知y=/(x)与y=g(X)的图象在X=M)处相交，说明=%)与y=g(x)的图象在X=X。处的切线的斜率相同，故可解除B.故选D.5.己知点P在曲线y=晟*上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是答案氤11)4解析Yy=+,-4er-4er-47=C+1)2=e2t+2e+=2+2CAX),ex2,.y-1,0),tan1,0).又a0,11),.,11).题型分类深度剖析题型一利用定义
5、求函数的导数思维启迪驾驭导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键.取一,、/)一/(Xo)r/一舅解f(0)=1.Xo=K=vlip(x2+xxo=.-2,o+2故有Iyo=一焉+幽+b=2a(+2)xo+2一8=0由消去汨)，可得+力=均6分(2)由(1)知：b=2a.b=(-)=一(-j2+,9分S75：.当时，(加大值=启12分温馨提示审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P(X0,州)，交点处的切线相互垂直，通过审题路途可以清楚看到审题的思维过程.思想方法感悟提高方法与技巧1 .f(XO)代表函数Kr)在X=XO处的导数值；(f(x
6、o)Y是函数值回)的导数，而函数值贝XO)是一个常量，其导数肯定为0,即(mO)=0.2 .对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特殊留意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必需留意变换的等价性，避开不必要的运算失误.失误与防范1 .利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2 .求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区分，前者只有一条，而后者包括了前者.3 .曲线的切线与曲线的交点个数不肯定只有一个，这和探讨直线与二次曲线相切时有差别.练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择
7、题1 .设y(x)=xlnx,若/(XO)=2,则即的值为()A.e2B.eCriD.In2答案B解析由火X)=JdnX得，(X)=InX+1.依据题意知InXo+1=2,所以InXO=1,因此XO=e.2 .若函数/)=f+加+c满意/(1)=2,则/(1)等于()A.-1B.-2C.2D.0答案B解析f(X)=4+2bx,V/。)为奇函数且，(1)=2,/(-1)=-2.3 .若曲线y=/的一条切线/与直线+4y-8=0垂直，贝J/的方程为()A.4-y-3=0B.x+4y5=0C.4-y+3=0D.x+4y+3=0答案A解析切线/的斜率攵=4,设y=f的切点的坐标为(向，y0),则A=4
8、=4,.o=l,切点为(1,1),即y-l=4(1),整理得/的方程为4-y-3=0.4.曲线y=3在点(Ij)处的切线与X轴及直线X=I所围成的三角形的面积为()ab6c3d2答案B解析求导得y=3/,所以y=3x2E=3,所以曲线y=/在点(1,1)处的切线方程为y1=3。-1),结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，2三个交点的坐标分别是q,0),(1,0),(U),于是三角形的面积为9(1)X1=，故选B.5.已知力(X)=SinX+cos斯5+()是t(x)的导函数,即力(X)=力(x)，力(X)=及(幻，f11+I。)=/J。)，N*,则及015。)等于()A.sinxcosxB
9、.SinX-cosxC.sinxcosxD.SinX+cosx答案A解析*Vi(x)=SinX+cos,*()=力(x)=COSX-sinxt.*.fi(x)=f(X)=-sin-cosxt/.fi(x)=fi(X)=cosxsinxfA(x)=A(x)=sinxcos,立(X)是以4为周期的函数，oi5(x)=力(x)=SinXcosx,故选A.二、填空题6 .已知函数兀的导函数为/(X),且满意AX)=3f+2x(2),则/(5)=.答案6解析对7(x)=32+R*(2)求导，得/(x)=6x+2f(2).令x=2,得/(2)=12.再令x=5,得/(5)=6X5+4(2)=6.7 .已知
10、函数y=(x)及其导函数y=/(X)的图象如图所示，则曲线y=F段)在点P处的切线方程是.y1/,y=/a)答案-y-2=0j解析依据导数的几何意义及图象可知，曲线y=%)在点P处的切4(2,o)线的斜率2=/(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为-y-2=0.8 .若函数V)=*-ar+lnX存在垂直于y轴的切线，则实数的取值范围是.答案2,+8)解析vy(x)=p2axlnx,.*.f,(x)=-.:Ax)存在垂直于)，轴的切线，/(X)存在零点，x-=0,fi=x2.三、解答题9 .求下列函数的导数.(I)J=Zlgx;(2)y=:+p;、sinX(3)y=Vn：解(i)y=加门
11、igx+炉高=?(川g+i)(2)y=,+),+,=(x,)z+(2x=XCOSX-SinX=-F1-410.已知曲线y=?*3+1.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.14解(1);2(2,4)在曲线)，=孑3+上，且y=x1i在点P(2,4)处的切线的斜率为yk=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为)，-4=4(1.2),即4xy4=0.(2)设曲线y=*+g与过点P(2,4)的切线相切于点A(X0,细+，则切线的斜率为y仅=A=.，切线方程为y一(W君+=(-o),4点P(2,4)在切线上，4=谒一耕+1,即需一3焉+4=0,-4.4=
12、0,.xo+1)4(xo+1)(沏-1)=0,；(m+l)(xo2)2=0,解得Xo=-I或Xo=2,故所求的切线方程为1.y+2=0或4-y-4=0.)z+(”)，=x-24B组专项实力提升3x(时间：25分钟，满分：43分)1.在函数y=x3-9x的图象上，满意在该点处的切线的倾斜角小于：，且横、纵坐标都为整数的点的个数是143G，zSinx,yr(sinx)(炉)SinX(3)y=(-)=24-3+-osX,lsinxA.OB.1C.2D.3答案A解析依题意得，V=3-9,令OW)JVl得3Wfv学，明显满意该不等式的整数“不存在，因此在函数)，=9一9X的图象上，满意在该点处的切线的倾
13、斜角小于去且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A.若函数以)=/+区+c的图象的顶点在第四象限，则函数/(X)的大致图象是()由於)的图象的顶点在第四象限得一号0,，b0.又F(X)=2r+b,斜率为正，纵截距为负，故选A.3.已知曲线C:7(X)=AJ公+a,若过曲线C外一点A(IQ)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则。的值为.答案解析设切点坐标为(f,f,-at+a).由题意知，f(x)=3x2-,切线的斜率为2=yk=r=32-。，所以切线方程为y-(P-G+a)=(3尸一)。一。.将点(1,0)代入式得，一(户一+)=(32-)(lr),3-2分别将f=O和f=5代入式，得k=
14、和=彳一小由题意得它们互为相反数得。=半设函数段)=一曲线y=(x)在点(2,犬2)处的切线方程为7x4)，-12=0.(1)求大幻的解析式；(2)曲线r)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解方程7X4)，-12=0可化为尸土3.当x=2时，丁=去又/(x)=6f+A,3(2)设P(XO,泗)为曲线上任一点，由y=1+7知曲线在点P(XO,M)处的切线方程为丫一k(+)e即M。T)=(I+水一砌令X=0,得产一器从而得切线与直线X=O的交点坐标为(0,一端)令y=x,得y=x=2从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2xo2to).所以点P(xo,比)
15、处的切线与直线尸0,y=x所围成的三角形的面积为5=12xol=6.故曲线y=r)上任一点处的切线与直线K=0,y=x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5.设有抛物线Cy=-+p-4,过原点。作C的切线y=，使切点P在第一象限.(1)求A的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.解(1)设点P的坐标为(X1,y),则y=如,9=一后+中1-4,9代入得x(-z)x4=0.；P为切点、,l-2-或172-得O-611-29?M当山=为时，Xi=-2,i=-17.当=1时，x=2,y=.p在第一象限，所求的斜率(2)过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5.将代入抛物线方程得/一热+9=0.设。点的坐标为。2,V2)即2X2=9,y2=-4.9，Q点的坐标为仿，4).2.(2013江西)设函数加0在(0，+8)内可导，且e)=x+e,则/(1)=.答案2解析设9=/,则X=In。0),.W=lnt+t：f=:+l,：.f(1)=2.3.己知曲线y=/在点3,份处的切线与直线x+3y+l=0垂直，则的值是()
