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1、332函数的极值与导数一、选择题1.若x)是R上的可导函数,则下列结论中,正确的是()A.导数为零的点肯定是极值点B.假如在向旁边的左侧尸(x)0,右侧Fa)o,右侧Fa)o,那么/)是微小值D.假如在向旁边的左侧F(X)0,那么人Xo)是极大值答案:B解析:依据极值的概念,左侧F(X)0,单调递增;右侧/(x)0,单调递减以为极大值.2.函数y=P3x2-9x(2vv2)的极值状况是()A.极大值为5,微小值为-27B.极大值为5,微小值为-11C.极大值为5,无微小值D.微小值为-27,无极大值答案:C解析y=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3),令y=0,得X=J或x=3.当20;当
2、JaOC.0D.40答案:D解析y)=3加+1.时/(x)20恒成立U)在R上递增,无极值；a0时,令V)=0,解得X=+可推断知产时区幻取微小值；X=时U)取极大值.故0;当x(-2,+8)时/()0,此时若x(-2,0)M(x)0,所以函数y=W()的图象可能是C.5 .已知函数=2x3+r2+36x24在冗=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+o0)C.(2,+)D.(-8,3)答案:B解析:因为函数兀0=2+加+36424在x=,2处有极.值,所以有(2)=0,而/(x)=6x2+20r+36,代入得册-15.现令人#0,解得无3或大2,所以函数的一个增区
3、间是(3,+8).二、填空题6 .若函数)，=-x3+6f+?的极大值为13,则实数相等于.答案：-19解析y=-3x2+12x=-3(x-4).由y=0,得x=0或4.且(8,0)U(4,+8)时Jy0；x(0,4)时yo.x=4时取到极大值.故-64+96+/=13,解得/W=-19.7 .若函数y=2在X=Xo时取微小值,则Xo=.答案：-解析:令y=2+x-2Xn2=2%l+xln2)=0,得X=当x时j0,函数递增；当x-时jv,函数递减.，X=-时取微小值.8 .已知函数y(x)=?+bW+cx,其导函数y=(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图,则下列说法中不正确的是.(
4、填序号)当X二时,函数取得微小值；x)有两个极值点二当x=2时函数取得微小值；当X=I时函数取得极大值.答案:解析:由.图象可知内=1,2是函数的两极值点,正确；又工(-8,1)1)(2,+8)时小、0；X(1,2)时jO,.x=l是极大值点/=2是微小值点,故正确.三、解答题9 .设a为实数,函数yU)=eX-2x+2R求火幻的单调区间与极值.解:由火X)=ev-2x+24WR知Fa)=CJ2WR.令/(x)=0,得X=In2.于是当X改变时一(X)/的改变状况如下表:X(-,ln2)ln2(ln2,+)Fa)-O+於)单调递减2(l-ln2+a)单调递增/故火X)的单调递减区间是G8Jn2
5、),单调递增区间是(ln2,+8);且”)在X=In2处取得微小值.微小值为4n2)=*2.21n2+2a=2(l-In2+a),无极大值.10 .已知函数以)=/+引nX和g(x)二的图象在x=4处的切线相互平行.(1)求b的值；(2)求/U)的极值.解:(1)对两个函数分别求导,得/(x)=2x+,g3=依题意,有八4)=g4),即8+=6,Z?=-,8.(2)明显/U)的定义域为(0,+8).由知b=-8,f(x)=2x-.令Fa)=O,解得x=2或X=2(舍去).当0x2时/(x)2时Xfa)0.於)在(0,2)上是单调递减函数,在(2,+8)上是单调递增函数.於)在X=2时取得微小值,且微小值为42)=48k2.
