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1、3.4实际问题与一元一次方程屈单础知IBC基本技Ie-一1 .配套问题(1)一般状况下，配套问题总有两种事物，一般不是1个配1个，而是1配多，或按比列配置.比如螺钉、螺母，且一个螺钉配两个螺母；桌面、桌腿，一个桌面配四条桌腿，等.(2)常用等量关系：个数相等.不管是2个配1个，还是4个配1个，通过乘以扩大倍数，得到两种事物个数相等从而列出方程.这是配套问题中的等量关系，也是列方程的方法.析规律配套问题一般是用式子表示出各自的个数，再通过乘以倍数扩大数目少的或列比例式列出方程.【例1】某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个，若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套，那么要在30天内生
2、产最多的成套产品，应怎样支配生产甲、乙两种零件的天数？分析：可设支配生产甲种零件X天，那么(30X)天生产乙种零件,x天生产甲种零件180x个，(30一)天生产乙种零件120(30-)个，依据比例关系可知甲：乙=3：2,或甲X2=乙3,列出方程求解.解：若支配生产甲种零件X天，那么生产乙种零件(30一1)天，依据题意，得180-：120(30-X)=3：2(或列式子：2X180x=3120(30x).化简，得360x=360(30x),解得K=15,30X=I5.答：支配生产甲、乙两种零件各15天，能生产最多的成套产品.2 .工程问题(1)基本关系量：主要有三个量：工作量、工作效率、工作时间.
3、在工程问题中，通常把全部工作量表示为1,假如甲单独完成一项工作须要小时，那么平均每小时完成的工作量就是!.其中!即是1小时的工作量，也是甲的工作效率(工作效率：单位时间完成的工作量).(2)基本关系式子：工作量=工作效率X工作时间；工作量=人均效率X人数X工作时间.(3)常用等量关系：各阶段完成的工作量之和=完成的工作总量；各人完成的工作量之和=完成的工作总量.解技巧工程问题的解法在同一工程问题中，一般都有两个或两个以上的工作效率，相对应的就有两个或两个以上的工作时间，但不论何种状况，应留意：必需是相对应的工作效率乘以工作时间才是工作量.先干、后干或是甲干、乙干，只有全部完成，才等于1,只是完
4、成部分，工作量就不是1,工作量要由详细状况得出.UJ2-1一件工作，甲单独做20小时可以完成，乙单独做12小时可以完成.现在先由甲先做4小时，余下的工作由二人合作完成.问余下的部分二人几小时可以完成？分析：把总工作量看作T,由题意可知，甲的工作效率是去，乙的工作效率是吉若设余下的部分二人合作须要X小时完成，则依据“甲先做4小时的工作量+甲、乙二人合作的工作量=总工作量1”列方程解出.解：设余下的部分二人合作须要X小时完成，则&+/+云=,解得x=6.答：余下的部分甲、乙二人用6小时可以完成.【例2一2】某中学的学生自己动手整修操场，假如让初一学生单独工作，须要7.5小时完成；假如让初二学生单独
5、工作，须要5小时完成.假如让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？分析：初一学生的工作总量+初二学生的工作总量=全部工作量.解：设还须要X小时完成，得5+5=1*解得k?所以共须要：1+学=?（小时）.13答：共需争卜时完成.3 .营销问题营销问题是应用题中最重要的一部分,也是在中考中出现最多的题,这类问题术语较多、数量关系较困难，使得题目改变较多，题目难易程度不一，并与我们的生活联系最亲密.（1）关键词：成木价（进价），标价，零售价；利润，利润率；折扣数（打X折），盈利、亏损、让利、买入（价）、卖出（价）等.（2）常用等量关系售价、进价、利润、利润率的
6、关系式：商品利润=商品售价一商品进价.商品利润=商品进价X利润率.（利润率=进价X1。%J标价、折扣数、商品售价关系：商品售价=标价义里数.商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=进价X（l+利润率）.（3）列方程常用等量关系同一个量的不同表示结果相等.最常用的就是售价一进价=进价X利润率.依据上面的公式设未知数列方程.谈重点营销问题运用方程解决有关市场营销问题的关键：一是抓住其中的两个基本等量关系：利泗=售价一进价，利泗=进价X利泗率，再就是弄清成本价(有时是进价)、售价、零售价、标价、打几折、打折后的实际售价、利泗、实除利润、实际利润率等的关系，只有理清它们之间的关系，才能找寻正确的等量关
7、系，列出方程.例3某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折(即原价的90%),并再让利40元销售，仍可获利10%,求该商品的进价.分析：实际售价是900X90%,实标利泗是在原利润的基础上让利40元，设进价为每件X元，依据实际获得的利润(不同的表示法)相等列方程求解.解：设该商品的进价为每件X元，依题意，得9000.9-40=10+x.解得X=700.所以此商品的进价是700元.4 .销售中的盈亏(1)意义：学会通过计算进行比较推断的理性决策方式，相识盈亏须要通过计算，用数据说明问题.(2)依据营销问题中的计算公式、法则分别进行计算，综合比较推断是盈是亏，方案是优是劣，以及怎样
8、才能获得更大利润效益.【例4】新华书店一天内大批量销售了两种书籍，甲种书籍共卖得1560元；为了发展农业科技，乙种书籍送书下乡共卖得1350元，若按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍可盈利25%,乙种书籍亏本10%,试问该书店这一天两种书籍共盈利(或亏本)多少元？分析：分别计算出两种书籍的进价支出，与售价收入对比求出.解：设甲种书籍的成本为X元，乙种书籍的成本为y元，则甲种书籍：(l+25%)x=1560,解得X=I248.乙种书籍：(l-10%)j=l350.解得y=l500.所以盈利：(1560+1350)-(1248+1500)=162(元).答：该书店这一天售出两种书籍共盈利162
9、元.5 .球赛积分表问题(1)意义：了解现实生活中的体育学问，学会用数学的思想分析竞赛，学会推断、决策,相识有些问题符合题意但不符合实际.(2)相关学问：赛制：单循环、双循环、淘汰赛、决赛、半决赛等.积分方法：篮球：胜一场积2分，负一场积1分，没有平局状况；足球：胜一场积3分，平一场各积1分，输一场积O分.(3)理解：通过视察表格发觉、筛选有用数据，进行分析、计算、推断、决策.利用方程不仅能计算未知数的值，而且可以进一步进行推理.对于解决实际问题，检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的.【例5】下表是某赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜：队名竞赛场次胜场负场积分八一双鹿2218440上海东
10、方2218440北京首钢2214836吉林恒和2214836辽宁盼盼22121034广东宏远22121034前卫奥神22111133江苏南钢22101232山东润洁22101232浙江万马2271529双星济军2261628沈部雄师2202222(1)列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？分析：(1)从表格中最终一行看：负22场，积22分，可知负一场积1分.所以若设胜一场积X分，从表中其他任何一行可以列方程，求出胜一场的积分.(2)依据输赢积分及输嬴场次列方程计算，视察结果，得出结论.解：(1)设胜一场积X分，从第一行得出方程：18x+1X4=
11、40,解得x=2.所以胜一场积2分.假如用M表示胜场，则负(22-M)场，胜场积分为2M分，负场积分为(22-M)分，总积分W,那么W=2M+(22M)=(M+22)分.(2)设一个队胜了X场，则负了(22一%)场，假如这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程2x=(22x).22解得X=年.因为X=至虽是方程的解，但场数只能是正整数，所以任何一队都不行能有胜场总积分等于负场总积分的状况.基本方法基本能力Q1.一6 .图表信息题的应用图表信息题，就是依据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题.主要考查同学们识图看表的实力以及处理信
12、息的实力.解答这类试题的关键是对图表信息仔细分析、合理利用，依据题意要求，精确地输出信息，结合所学学问，运用数学的手段加以解决.解这类题的一般步骤是：(1)视察图象，获得有效信息；(2)对己获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系；(3)选择适当的数学工具，通过建模解决问题.【例6】长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校七年级(1)、(2)两个班级共104人去游长风乐园，其中班人数较少，不到50人，(2)班人数较多，有50多人.经估算，假如两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；假如两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约不少钱.问两班各有多少学生？购票人数150人51100人10
13、0人以上每人门票价13元11元9元分析：若设(1)班有X人，那么(2)班有(104幻人，依据(1)班购票款+(2)班购票款=总支付款1240元.列方程求出(1)班人数，再求(2)班人数.解：设(1)班有X人，那么(2)班有(IO4x)人,依据题意，得13x+ll(104-)=l240.解得x=48,所以，班人数是104-X=IO4-48=56(人).答：(1)班、(2)班分别有48人，56人.7 .银行利率问题解法银行利率问题是应用题一种常见题目，也是居民生活和企业经营中常常遇到的问题.是与生活休戚相关好用性较强的数学问题.(1)相关量名称：存款利率、贷款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息
14、和.(2)主要等量关系式：利息=本金X年利率X年数.利息=本金X月利率X月数(或X12个月X年).本息和=本金+利息.(3)应用特点：一般都是依据所给数据干脆计算，以算式干脆进行运算的方式较多，如计算所得利息，本息和，应交贷款利息等.随着人们投资理财意识的增加，通过计算选择最优方案问题最常见，且好用性较强.破疑点银行利率银行利率问题是比较简洁的问题，改变不大，许多时候就是用公式代入计算，只是许多学生不理解专业术语，这与接触、相识较少有关.【例7一1】某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元，甲种存款的年利率为5.4%,乙种存款的年利率为&28%,该企业一年可获利息收入12240元，
15、问该企业存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元？分析：甲种存款利息收入+乙种存款利息收入=12240元.解：设甲种存款为X万元，则乙种存款为(20劝万元，依题意，得x5.4%(20-x)8.28%=1.224.解得X=15.20x=5(万元).答：甲、乙两种存款分别是15万元，5万元.【例7-2银行开办的教化储蓄，一年期、三年期、六年期的定期存款利率分别为2.26%27O%288%.小华的父母为打算她六年后上高校的费用，确定现在就参与教化储蓄，他们打算存入100(X)元，下面有两种储蓄方式：(1)干脆存一个六年期.(2)先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存下一个三年期.小华的父母不知选择哪一
16、种储蓄方式获利较多，你能帮助他们吗？解：(1)设干脆存一个六年期期满后获利息为y元，依据题意，得y=10000X2.88%X6=I728(元).(2)设先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存下一个三年期.期满后获利息为X元，依据题意，得x=l0(X)2.70%3+(10000+100002.70%3)2.70%3=1685.61(元).明显yx,.小华的父母选择干脆存一个六年期获利较多.8 .百分比问题(1)意义：百分比问题在应用题中出现许多.百分比是最常见的描述数量改变问题的数据，随着经济在人们生活中重要性的改变，关于用百分数来描述经济问题的状况越来越多，因此在中考中出现的次数也越来越频繁
17、.(2)主要题型：关于百分数的计算特殊是在工作效率问题，营销问题中出现最多，此外在农业种植、工业生产、经济、人口改变、溶液浓度等问题中也常常出现.常常与增长(增加)、提高、降低、削减等联系在一起，用来描述事物等的改变.(3)应用留意事项：应用百分比问题最主要的是弄清谁比谁的问题，也就是基数问题，比谁谁作分母，这是关键点也是易错点，如标价。元的某商品降价10%后，再提价10%,价格就不是。元，两个10%的基数不同(分母不同)；含百分数的问题大多不易理解，计算也较困难，一般是实行类似于去分母的方法去掉百分数，变为整数解决.【例8一1】某石油进口国这个月的石油进口量比上个月削减了5%,由于国际油价上
18、涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率.分析：把上个月石油进口量看作1,则这个月的进口量是1X(15%),上月的价格也为1,那么这个月的费用就是1X(15%)XlX(1+增长率)，实际这个月费用是1X(1+14%),所以相等，列出方程.解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为X,依据题意，得(l+x)(l5%)=1+14%.解得x=20%.答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.【例8一2】一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%,而售价没变,所以该商品的销售利润率变成了多少？分析：可设原来的进价为4元，原来的利润就是4
19、7%4,进价提高了5%,现在的进价就是(l+5%),现在的利润就是47%-5%.解：设这种商品原来的进价为。元，原来的利泗就是47%,进价提高了5%.,所以现在的利润率=47%-5%0(1+5%)=40%.也可设现在该商品的利润率变为%,得47%Q-5%=(l+5%)ox%,解得x=40.所以该商品的销售利泗率变成了40%.嚏继拓展A创新应用9 .日历表中的方程问题日历题也是一元一次方程中常见的问题，要解决这类问题，就要先熟识一下月历，以2013年6月份的月历为例(其他月历也一样),每一行表示一周，而且每周是从星期日起先的,自左向右，后一个数都比前一个数大1；每一列表示相同的星期几，自上而下，
20、下一个数都比上一个大7.日期，从而推断是周几或其他状况.【例9一1】本周的星期三到星期五这三天的号数之和等于18,你知道星期三是几号吗？解：星期三为X号，那么星期四就是+l)号，星期五就是(x+2)号，依据题意，得X+(-+1)+(x2)=18,解得x=5,所以本周的星期三是5号.【例9一2】小明和小莉诞生于2001年12月份，他们的诞生日期不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉诞生早，两人诞生日期之和是22,那么小莉的诞生日期是().A.15号B.16号C.17号D.18号解析：因为两人的生日不是同一天，但都是星期五，且两人都是12月生日，则两人的生日可能相差7天或14天或21天或28天，又
21、依据两人诞生日期之和为22,则两人生日不能相差28天，即两人生日只能相差7天或14天或21天三种状况.设小莉诞生日期为”号，则小明的诞生日期为(x7)号或(X14)号或(X21)号，依据题意，得比+(x7)=22;X_2943+(X-14)=22;x+(-21)=22.分别解这三个方程，得X=2，或x=18,或X=E.因为日期为正整数，所以符合题意的只有x=18,即小莉的诞生日期是18号.故应选D.答案：D10 .设参数解应用题在解百分比问题过程中，有些题目中的量必需用到，但又未给出，为使题目直观、明确，我们一般在设未知数的同时也设一个协助未知数(参数)，以便于题目的理解和应用，这就是设参数解
22、题法，这种解法，在解题过程所设的参数未知数在解题过程中自然约掉，从而帮助我们顺当理解问题，解决问题.如：某商品降价20%后，若想复原原价，须要在现价的基础上提高百分之几？此题要求“提高现价的百分之几”，但题中没有给出原价，也未给出现价，由题意知，现价与原价有联系，若将原价设为。元，则现价就是(1一20%)，再设需提富现价x%,那么价格就是。(l-20%)(l+x%),这样与原价持平，所以。(l-20%)(l+x%)=,这就可以使题目明显化、直观化.在解题过程中，就是协助未知数，并且在解的过程中，依据等式的性质，。自然约掉.从而解得x=25.即须要在现价的基础上提高25%.【例1011苹果的进价
23、是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗.为避开亏本，商家把售价应当至少定为每千克元.解析：有两种方法，一种是假设只进1千克苹果，那么设定价至少为X元，那么3.8X1=(-5%K解得x=4.另一种设共购进4千克苹果，那么损耗就是5%4千克，同样设定价至少为X元，那么总进价就是3.8。元，损耗后的总售价是35%)X元.列出方程，可求得x=4.所以定价至少应当是4元.答案:4【例10-2】高一某班在入学体检中，测得全班同学平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%,而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重各是多少？分析：设女生平均体重为X千克，则男生平均
24、体重为1.2X千克.设男生有y人，则女生有1.2），人，则男生的体重是1.2%女生的体重为1.2yx,依据男生的体重+女生的体重=总体重列出方程.解：设女生平均体重为X千克，财男生平均体重为1.2X千克；男生有y人，则女生有1.2y人，由题意，得1.2XVH.2yx=48（y+1.2y）.整理，得2.4Xy=48X2.2），.VyO,2.4x=482.2.解得x=44,1.2r=52.8（千克）.答：男、女生平均体重分别为52.8千克和44千克.11 .一元一次方程自编型题在近几年中考题中，出现了一种新题型一自编题，它对实力的要求更高，要求同学们能在真正理解教材、驾驭教材的基础上，达到变“学会
25、”为“会学”的境界，同时也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.自编题一般给定条件，让编出一道符合条件的题目，答案都不唯一，并具有开放性.一元一次方程这章的自编题一般分为两类，一是自编方程，给出一个方程的解或再加其他条件限制，编写一道适合的方程；另一种是自编应用题：一般是给出一个一元一次方程，结合这个方程特点，发挥自己的想象力，从生产、生活的各个方面取材编写，编写一道符合所给一元一次方程的应用题，有时还要求出解.【例11一1】绽开你想象的翅膀，尽可能多的从方程%+等=1中，猜想出它可能会是哪一类的应用题并将其编写出来.分析：此题的方程可从教材中找到类似的原型，等于1,含分母，可
26、以当作工程问题的Vr+2原型，也可从其他方面入手编写，只要符合实际，所列方程是言+C=I即可.解：如：向电脑输入一篇文章，若单独输入，小红需10分钟输完，小华需15分钟输完，若由小华先输入2分钟，余下的两人合作，问还需多少分钟输完？【例11一2】小明依据方程5+2=6-8编写了一道应用题.请你把空缺的部分补充完整，并求出结果.某手工小组支配老师节前做一批手工品赠给老师，假如每人做5个，那么就比支配少2个；.请问手工小组有几人？（设手工小组有X人）答案：假如每人做6个，那么比支配多做8个；解方程5x+2=6-8,得X=10.答：手工小组有10人.12 .选择最优方案的问题运用数学学问解决生活、生
27、产实际问题，一般地说要求学生具备以下三种实力：一、阅读理解实力，即要把实际问题转化、抽象、提炼为数学问题.二、数学建模实力，即列出数学式子并能对整个问题作出合理的数学分析.三、数学求解实力，要以科学学问为依据，擅长敏捷地、创建性地运用学问解决问题.最优方案选择，则是运用数学学问，选择最经济、效果最好的方法.从而在科学探讨、生产实践等方面取得事半功倍的作用.最优方案问题常见的题目背景一般有：(1)买赠活动(2)活动组合选优(3)买赠活动与打折(4)电话计费问题解决选择最优方案问题的基本的思路是简化事物，使问题变得简洁而清晰.可以压缩表述事物的文字，使语言更加精炼.文字少了，自然简洁弄清晰事物之间
28、的关系.也可以重新整理描述事物的依次，使应用题的脉络更加清晰.(1)用列表法化简应用题(2)用图示法表示应用题简洁的说就是：一般设两种方式花费一样多时的状况，列出方程，求出临界点时的状况,再依据改变通过探讨，选择最优方案.【例12】依据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题.(1)若一个月内在本地通话250分，按哪种方式交费更合算？(2)在某地每月通话时间为多少分时，两种计费方式收费一样多？方式一方式二月租费30元/月0本地通话费0.30元/分0.40元/分公告用方式一每月收月租费30元，此外依据累计通话时间按().3()元/分加收通话费；用方式二不收月租费，依据累计按0.40元/分收通话
29、费.分析：(1)分别计算一个月内在本地通话250分时，两种收费方式下需缴纳的费用，进行比较即可；(2)分别列出收费方式一、二下费用与通话时间的关系，即收费方式一，费用=30元+0.30元X通话时间，收费方式二，费用=0.40元X通话时间，令二者相等解出答案即可.解：(】)一个月内本地通话250(分)时，按方式一交费为：30+0.30X250=105（元），按方式二交费为：0.40X250=100（元），因此本地通话250（分）时，按方式二交费更合算.（2）设每月通话X分，按方式一要收费（3O+O.3x）元，按方式二要收费0.41元.假如两种计费方式的收费一样，则0.4x=30+0.3x,移项得：0.4%O.3x=3O,合并同类项得：0.Ix=30,系数化为1得：x=300.答：假如一个月内通话300分，那么两种计费方式的收费一样多.
