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1、2024几种由递推式求数列通项的方法介绍几种由递推式求数列通项的方法介绍1.a=a11+f(n)型C1.l=75-1)2)。3-。2=/(2)a2-ai=/(1)所以各式相加得an=i+/(0tf(2)+?/(n-2)+(n-l)即an=tl+X()k2all+=arl*f(n)型同1an+1=an+f(n)S的处理情况我们得到an=tz1*(l)V(2)/(11-2)*(11-1)即一1a11=11cwJt=I3.an+1=pan+q(p,夕为常数)型当P=O或1时的情况很简单，略。当pU且p0时，an+l-x=p(an-x)t则=即一丁=P(4-J，由此我们构造了一个等比数列。1-p1-p
2、所以an=(4一qI-P)pM+-f-i-p4an+=p()4+gS)型其实前三种情况都可以看作a,=p5)q,+q5)型的一个特例用常数替代了其中的p()或以)。因此只要这种情况掌握了前三种就基本上没问题了。之所以分开来讲，是因为前三种在高考中是比较常见的。如果对任意的n都有P()0,则我们可以对它进行如下处理；将a11=P(n)4+)两边同时除以Pa)*PQ)*p(n-l)p(n)得二p()q+g()p(l)p(2)p(T)p(%)P(I)P-S-l)p()4,4()P(I)P(2)p(w-l)PPp(-l)p()构造新数列=小*CE，并且令/W=小*力叫、P*p(2)*p(nT)p(l)
3、*p(2)*p(11-l)p(n)则有bn+=b.+f(n)到此我们就发现数列仿J刚好是第一种类型的，因此可以求出仿“然后就可以得到4=xp(l)*p(2)*p(nT)几种由递推式求数列通项的方法介绍5.an+1+pa,l+q%=与4+】+pan+qa,_=i+1+pbll+q=O,利用an.1+pan+qan_x=0型将也J求出即可以得到勺=2十人2)当l+p+4=0,由于rW0,所以X的值不存在。但此时有p=-(l+q)代入原等式得用一(l+q)/+q*=r=(an+l-a11)-q(a,l-an)=r令(%+i-4-y)r(%-%-y)=,则y(i-q)=r当1qWO则y=一q若令数列么
4、二%-y,则-x=ra+$入一。二1女S,十s(p-ra)(an-a)1/ra+sx1zpraxr1(r+)=-(r+-)=-+Cp-ra)(an-)(Pfa)(an-a)Cp-ra)an-a11r1即一-二!十,、,构造CU=，为等差数列,得解.an+1-aan-(PTa)an-a7an+1=/(w)*an+2=A*d(A为常数)这两类根据题目可以化为对数类型,然后应用上面介绍的方法就可以解决.第一个可以化为Inan+1=In+Inf()=Inan+1=Xnan+Inf(n),利用第三种数列解第二个可以化为Ina2=Zln(+/Inan+InA,利用第四种数列解.1.次联立递推式这种递推式主
5、要是引入a。+2消去有关数列。“的各项得到an+2-(P+s)an+i+(ps-qr)an=O又与前面的方法有关.若求可以引入么+2得+2-(p+s)。+(ps-qr)bn=O去解.解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键.(一)由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的
6、中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到.结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.例1、个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直/底面,9已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为-,8底面周长为3,则这个球的体积为.y例2、已知各顶点都在同个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是.24兀例3、在巴三棱柱49C-44G中，i5=4,JC=6,J=J,1.41=4,则直三棱柱/8C-44G
7、的外接球的表面积.竿例4、三极锥A-BCD中，BD,BCCD,fl,AB=l,AD=J1.则此：枝锥外接球的体枳为.3例5、沿矩彬ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD使得.面角B-AC-D为120。，若AB-2,BC=I,则此时四面体ABCD的外接球的体枳为.片房6（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体
8、和正方体.途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.例6、正四棱椎S-48C。的底面边长和各侧极长都为行，4点S、力、B、C、。都在同一球面上，则此球的体积为.y例7、如果一棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面枳分别为6e1.4c和35。29xz9那么它的外接球的体积是.6例7、在三棱锥力一BCD中.AB1平面灰Z,CD1BC.AB=3,8C=4,CD=5,则三棱锥力-8CO外接球的表面枳.50%例8、在三棱锥4-68中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的体积.例9、
9、已知一个三棱饰的一:视图如图所示，其中：.个视图都是直角.角形,则在该三棱锥的四个面中.直角三角形的个数为.例10、若三棱锥S-BCD的所有顶点都在球O的球面上，弘1.平面/SC,SA=2瓜AB=I,C=2,N84C=60,则球。的表面积为.611（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心Ol的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.例12、三棱锥S二ABC中，SAJ.面ABC,SA=20,b0)的左，右焦点分别为K,F2,点尸在双曲线的右支上，且IPFII=41PBI，则此双曲线中的取值范围是.a解析根据双曲线定义IPQITP尸2=2,设IPBI=，则IPFll=4小
10、故3r=2,即r=专,PF2=y.根据双曲线的几何性质，PBIl。，即专c-,即,即e又el,故双曲线的离心率e的取值范围是(1,雪.故填(1，2例3已知P点在圆x2+(y-2)2=l上移动，Q点在椭圆5+y?=1上移动,试求PQ1的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心G时IPQ最大，因此要求IPQ的最大值，只要求IQQl的最大值.设Q(x,y),WJOiQ2=x2+(y-4)2因Q在椭圆上,则2=9(l-y2)将代入得IoQ2=9(l-y2)+(y-4)2=-8(y+g)+27因为Q在椭圆上移动，所以一ly4l,故当y=时，依。皿=36，此时间1.=36+1方法3：切线法例
11、4、求椭圆:+),2=1上的点到直线y=+25的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.解设椭圆的切线方程为y=x+4代入椭圆方程，得3/+4法+2按-2=0.由/=(46)2-4X3X(2022)=0,得方=1当b=5时，直线y=x+5与y=x+25的距离4=坐将b=5代入方程3+4+2b22=0,解得x=一邛此时y=坐，即椭圆上的点(平，坐)到直线y=x+25的距离最小，最小值是当；当6=一4时，直线y=-5到直线y=x+25的距离必=手，将6=一小代入方程3/+4法+2-2=0,解得X=邛此时y=一乎，即椭圆上的点呼，一坐)到直线y=x+2小的距离最大，最大值是乎.方法4：参
12、数法选取合适的参数表示曲线上点的坐标；求解关于这个参数的函数最值。例5、点P(JGy)是椭圆与+y2=l上的一个动点，则S=x+y的最大值为.fx=3cos解析因为椭圆会+)2=1的参数方程为VS为参数).DIJ=Sin%故可设动点P的坐标为(小cos%sine),其中0Wg解：(1)设椭圆E的方程为=+与=1(abO),由e=-=PCrbZ。V3.a2=3b2故椭圆方程2+3f=3b?设A(x,yj、B(x2,y2),由于点C(1.0)分向量AB的比为2,x1+2x,=7即卜+1=-2(/+1),一=0I-2y2.ov2_ol2由消去y整理并化简得(3k2+l)x2+6k2x+3k2-3b2
13、=0J=Z(X+1)由直线1与椭圆E相交于A(xby),B(x2,y2)两点得：A0恒成立(点C是A的内分点)6k2,23213k2-3b2中2二声了I1333而SAOAB=51%-%I=51-2%一%I=/1%1=21(“2+1)I=耳IAllX2+11由得：xz+一Y-,代入得：sB=-o)3&2+13a2+1(2)因S三红=J-3二走，当且仅当女=且,Sb取得最大3213R-1.2623值，此时x1+X2=1,又Y*+2*=1,.*.=l,X2=-2.3将x,x2及k=!代入得Sb?=5,椭圆方程2+3y2=5.3X2V2训练题：1.已知双曲线=-2=l(aO,bO)的右焦点为F,若过点
14、F且倾斜角为60的ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是.2,+)2 .P是双曲线二一1.二I的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)*+y2=4和(x5)?+/=1916上的点，则PMlIPNl的最大值为.943 .抛物线y=-上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是.-3X2v24 .已知双曲线=一J=l,(O,bO)的左、右焦点分别为件、F2,点P在双曲线的右支ab上，且IPFIl=4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为.-35 .已知抛物线y2=4x,过点(4,0)的直线与抛物线相交于人区,1)，8区32)两点，则y.2+y22的最小值是.326 .对于抛物线=4x上任意一点Q,点P(,0)都满足PQa|,则。的取值范围是(B)（八）(8,0)(B)(一8,2(C)0,2(D)(0,2)
