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1、线代练习题注：此为手打，如有错误，不要找我，嘿嘿（*人_八*）第一部分选择题单项选择题。在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式aIla12二m,a3a=n,则行列式ana12+a13等于（d)2122a23a2la21a22a23A.mnC.n-mB.-(m+n)D.m-n100、2.设矩阵A=020则AT等于（33.设矩阵A=1-2-12、O-1,A“是A的伴随矩阵，则A中位于（1,2）的元素是（14,A.-6B.6C.2D.-24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=Ac则必有（d）A.A=OBBWC时A=OC.Aw0时B=
2、CD.A工0时B=C5.己知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组,2,a,和B,02，BS均线性相关，则（d）A.有不全为0的数人入2，入S使入Ia+入2a2+入$a$=0和入IB+入2B2+入SBs=0B.有不全为0的数入I，入2，入S使入1（a+j）+2（a22）+入S（as+s）=0C.有不全为0的数人入2，AS使入1（a1.B|）+入2（a2B2）+入$（aBS）D.有不全为O的数人,入2，入S和不全为。的数U1，2，US使入I+入22+入SaS=O和1B1+2B2+u、BS=O7 .设矩阵A的秩为r,则A中（c）A.所有r-1
3、阶子式都不为OB.所有r-1阶子式全为OC.至少有一个r阶子式不等于OD.所有r阶子式都不为O8 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，n,的是其任意2个解，则下列结论错误的是（八）a.n+n2是Ax=O的一个解CEr%是AX=O的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（八）nCA=OB=n+g是Ax=b的一个解22D.2。1-n2是Ax=b的一个解）B.秩（八）=II-ID.方程组Ax=O只有零解10.设A是一个n（23）阶方阵，下列陈述中正确的是（b）A.如存在数人和向量使Aa=入,则是A的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a,使（E-A）a=0,则人是A的特征值C.A的2个
4、不同的特征值可以有同一个特征向量D.如人2，入3是A的3个互不相同的特征值，a|,a2,a3依次是A的属于,入2，入3的特征向量，则a”a2,a3有可能线性相关11.设入O是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入。的线性无关的特征向量的个数为k,贝1必有（八）A.k3B.k312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（b）AJA/必为1B.A必为1C.A-,=AD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CtAC-M（d）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同14 .下列矩阵中是正定矩阵的为（c）D. 12OJO2)1.D2.
5、B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C第二部分非选择题二、填空题(不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.35253616.设A=(；J，B=C：)则A+2B=i17 .设A=(aij)33,A=2,Aij表示IAl中元素a,的代数余子式(i,j=l,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=4.18 .设向量(2,-3,5)与向量(4,6,a)线性相关，则a=-10.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若
6、n,n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r(n),则齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有解的个数为n-r.21 .设向量a、B的长度依次为2和3,则向量+B与a0的内积(+B,-B)=X.22 .设3阶矩阵A的行列式A=8,己知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为-2.023.设矩阵A=1-2106、-3-31()8;2)已知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为J.24 .设实二次型f(X,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.(337、25 .616.J717.418.-1019.n+c(
7、。2-n1)(或n2+c(n2-q),c为任意常数20.n-r21.-522.-223.124.zf+z5+z5-z三、计算题T20)25.设A=340,B；：一.求(1)AB;(2)4A.3、03(A-2E)-,=1-11.l232-28-912-6、-6928.给定向量组1-53试判断CU是否为,2,a3的线性组合；若是，则求出组合系数。-2130、51-30-128.解一02241035、0112008800-14-14V1035、01120011OO2、OlOl0011100O(V所以a4=2a+a2+(X3,组合系数为(2,1,I).解二考虑a4=Xa+2a2+x3a3，-2X+2+
8、3x3=0X-32=-122+2x3=43x+42-X3=9.方程组有唯一解(2,1.1）,组合系数为（2,1,1）.1-2-129.设矩阵A=-220328-2.0963-2,P-2-102)(-2-102)0328-30328-3=B0006-20003-1l00-217；0000Oj(1)秩（B）=3,所以秩（八）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）,030.设矩阵A=-22-22、-3
9、4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使4-3；T-1AT=D30.解A的属于特征值=的2个线性无关的特征向量为I=(2,-1,0),2=(2,0,I).r255经正交标准化，得n=-550r2515n2=4515石/3,-=-8的一个特征向量为力11/3、3=2,经单位化得n3=2/3-2)1-2/3,所求正交矩阵为r255215151/3、T=-5545152/3、053-2/3,rI00、对角矩阵D=01000一&255(也可取T=0.552i5151/3-532/3-4515-2/3,31.试用配方法化下列二次型为标准形222f(x,X2,X3)=+22-33+4x1
10、x2-4x1x3-4x2x3，并写出所用的满秩线性变换。31.解f(xi,X2，X3)=(X1+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X1+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2-5X32.y=Xl+2X2-2x3设y2=2x3,即经此变换即得f(Xl,X2,X3)的标准形y2-2y22-5y32.四证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且(E-A)-,=E+A+A2.32 .证由于(E-A)(E+A+a2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-,=E+A+A2.33 .设no是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，,
11、2是其导出组AX=O的一个基础解系.试证明(1) 11=11o+I,n2=n0+，均是Ax=b的解；(2) n(l,1,S线性无关。33.证由假设AnO=b,A1=0,A2=0.(1)A11I=A()+1)=AnO+A=b,同理A112=b,所以明,n2是Ax=b的2个解。(2)考虑4)no+介n+2n2=0,即(0+2)Ho+41+/2C2=0.则/阳2=0,否则no将是AX=O的解，矛盾。所以/1C1+/22=0.又由假设，2线性无关，所以/1=0，/2=0,从而/)=0.所以n(),n1,n?线性无答案:15.617.418.-1019.n+c(n2-n)(或n2+c(n2-n1),C为
12、任意常数20.n-r21.-522.-223.124.z；+z；+ZiZZ三、计算题25.解(1)ABr=31.l2OY240321八1-2、40一单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题181()、31012OA=340=-2.-12126.解所以4A=64(-2)=-12827.解1120-50-62=30+10=4().-5-5AB=A+2BBP(A-2E)22(A-2E)-1=1-11.l2B=A,而所以B=(A-2E)-,A=1-4-56-33、O3,f3-8-6、2-9-628.解一r-2130、1-30-1
13、02240000-14-14；1002、010100111035、01120011所以cu=2+a2+a3,组合系数为（2,1,1).解二考虑a4=xa+2a2+x3a3,-2X2+3x3=OXj-32=-122+2x3=43x+42-X3=9.方程组有唯一解（2,1,1）,组合系数为（2,1,1）.29.解对矩阵A施行初等行变换1-2-102、0006-20328-20963-2,q-2-102、0328-30006-2000-217）03200000000；(1)秩(B)=3,所以秩（八）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向
14、量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为I=（2,-1,0）,2=（2,0,1）.2515n2=4515石/3,2石/5、经正交标准化，得n=-55=-8的一个特征向量为（1/3、经单位化得n3=2/3所求正交矩阵为r255215151/3、T=-5545152/3、053-2/3?100、对角矩阵D=010、（）0-8；1/32/3.)-2/3Z25521515(也可取T=0-53、石/5-451531.解f(xi,X2，X3)=(X1+2X2
15、-2X3)2-2X22+4X23-7X32=(x+2X2-232-2(X2-X3)2-5X32.X=y-2y2即经此变换即得f(x,X2,X3)的标准形y2-2y22-5ys2.四证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32 .证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-,=E+A+A2.33 .证由假设Ano=b,A1=0,AS2=0.(I)An=A(110+1)=A11o+A=b,同理A2=b,所以明，是Ax=b的2个解。(2)考虑4)no+ni+，2n2=0，即(0+2)110+/1C1+/22=0.则o+eo,否则nO将是AX=O的解，矛盾。所以lC+hC2=0.又由假设，62线性无关，所以/1=0,/2=0,从而4)=0.所以n(),n,n?线性无
